四川省资阳市天立学校2024-2025学年高一上学期期末数学复习六试卷（Word版附解析）

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1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数单调性解不等式得到，利用交集的概念求出答案.
【详解】由题意知，则．
故选：A．
2. 当时，的最小值为（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，可得，则，
当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为2．
故选：C．
3. 函数的图象的一个对称中心是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用正切型函数的性质，准确运算，即可求解.
【详解】由函数，令，解得，
令，可得，所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心.
故选：B．
4. 若为奇函数，则的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合，列出方程，即可求得的值.
【详解】由函数为奇函数，可得，
可得，解得，
经检验，当时，，
满足，符合题意，所以.
故选：D.
5. “”是“函数的定义域为R”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先求出对数复合函数定义域为R的充要条件，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由于函数的定义域为R，则在R上恒成立，
故满足，解得，由成立得一定成立，
反之成立时，不一定成立，
所以“”是“函数的定义域为R”的必要不充分条件.
故选：B
6. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合二倍角的余弦公式解二次方程得，然后根据同角三角函数关系求得，最后利用二倍角正切公式求解即可.
【详解】因为，所以，
即，解方程得或（舍）.
因为，所以，，
所以.
故选：D
7. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据定义，结合分类讨论，即可求解.
【详解】当时，；
当时，,；此时
当时，,．
故,则的值域为．
故选：A．
8. 已知函数在区间上恰有一个最大值点与一个最小值点，则正实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合正弦型函数的图象性质计算即可得.
【详解】根据题意，当时，有，
而函数在区间上恰有一个最大值点与一个最小值点，
因此，可得．
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 第一象限角都是锐角
C. 在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为
D. 终边在直线上的角的集合是
【答案】AC
【解析】
【分析】根据弧度制、象限角、终边相同的角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，A正确；
角也是第一象限角，不是锐角，B错误；
在半径为的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为，C正确；
终边在上的角的集合是，D错误．
故选：AC
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用指对数函数的单调性判断AC；举例说明判断BD作答.
【详解】由知，，则，A正确；
取满足，此时，，BD错误；
由，得，C正确.
故选：AC
11. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用诱导公式化简的表达式，可判断A，B；利用齐次式法求值，可判断C；化为，求值，即可判断D.
【详解】由题意得，A错误，B正确；
当时，，C正确；
若，则，D正确．
故选：BCD．
12. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据基本不等式判断ABC，举反例判断D.
【详解】由题目可知，，当且仅当时，等号成立，故A正确；
，当且仅当时，等号成立，故B错误；
因为，则，当且仅当时，等号成立，故C正确；
当时，，D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据根号下部分大于等于0建立不等式求解即可.
【详解】令，则或，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：
14. 已知函数，则不等式的解集为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的单调性化简不等式，由此求得不等式的解集.
【详解】在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则由得，解得，即不等式的解集为．
故答案为：
15. 已知函数的最大值为2，则_____________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得.
【详解】因为函数由与复合而成，
而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值，
由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得．
故答案为：
16. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，结合三角函数的图象变换，得到，再结合余弦函数的性质，列出方程，即可求解.
【详解】由函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，则，
又由是偶函数，则有，解得，
因为，可得．
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17. 已知命题．
（1）写出命题的否定；
（2）判断命题的真假，并说明理由．
【答案】（1）
（2）假命题，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据全称量词命题的否定的知识写出命题的否定.
（2）根据二次函数的知识进行判断.
【小问1详解】
由命题，
可得命题的否定为；
【小问2详解】
命题为假命题，理由如下：
因为，当时，，
故命题为假命题．
18. 已知．
（1）若为锐角，求的值；
（2）求值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）化简得，结合平方关系求出，再利用两角差的余弦公式，即可求得答案；
（2）由（1）可得，化简为，利用齐次式法求值，即可得答案.
【小问1详解】
由，得，
因为锐角，，所以，
可得；
【小问2详解】
由得，
则
．
19. 已知，.
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值.
【答案】（1）9 （2）5
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式结合二次不等式求解即可；
（2）利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.
【小问1详解】
当时，，即，
所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9；
【小问2详解】
当时，，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为5.
20. 某大学科研小组自2023年元旦且开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为（单位：），此后每隔一个月（每月月底）测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了，二月底测得绿球藻的生长面积为，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢，绿球藻生长面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0.
（1）请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；
（2）该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积的7倍？
【答案】（1）第二个模型满足需求，理由见解析，其解析式为
（2）该水域中绿球生长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍
【解析】
【分析】（1）根据函数增长速度选择函数模型，然后利用题目条件列式求解即可；
（2）根据条件结合函数解析式列方程求解即可解答.
【小问1详解】
函数模型在上都是增函数，
的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢，
因为该水域中绿球藻生长面积的增长速度越来越慢，
所以第二个函数模型满足要求，
由题意知，解得，
所以；
【小问2详解】
由题意，解得，
所以该水域中绿球藻生长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍.
21. 已知函数满足.
（1）求实数的值；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出后代入方程即可求解；
（2）先求出，令，利用二次函数性质即可求解值域
【小问1详解】
，由题意有，
化简得，解得（舍去）或，故；
【小问2详解】
由（1）可知，所以，
令（当且仅当时取等号），
所以所求函数为，
由函数在上单调递增，所以，
即函数值域为.
22. 函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为．
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形面积求得，进而求得，利用点求得，从而求得的解析式.
（2）先求得在区间的取值范围，根据绝对值不等式的解法化简不等式，根据恒成立问题以及对数不等式等知识求得正确答案.
【小问1详解】
由题意可知：的面积，可得，
所以周期，则，
由，得，又，于是，
所以；
【小问2详解】
由，则，得，
即．由，得，
即上恒成立，
亦即，
因为，
所以，解得，
即实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用函数图象与性质求得三角函数的解析式，其中往往是通过周期，用来进行求解，往往通过函数图象上一个点的坐标来进行求解.求解不等式恒成立问题可转化为函数的最值来进行求解.