四川省资阳市天立学校2024-2025学年高一上学期期末模拟考试数学试卷（Word版附解析）

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一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角差正弦公式可得结果.
【详解】.
故选：C
2. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
则下列结论正确的是（ ）
A. 在内恰有3个零点B. 在内至少有3个零点
C. 在内最多有3个零点D. 以上结论都不正确
【答案】B
【解析】
【分析】根据根的存在定理，判断函数值的符号，然后判断函数零点个数即可．
【详解】解：依题意，（2），（3），（4），（5），
根据根的存在性定理可知，在区间和及内至少含有一个零点，
故函数在区间上的零点至少有3个，
故选：．
3. 设，，，则下列结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦函数与正切函数的单调性进行比较即可．
【详解】因为，
因为函数在上单调递增，
由，
则，
故，
函数在上单调递增，
由，
则，
所以，
则．
故选：．
4. 函数的图象可以看成是将函数的图象（ ）得到的．
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦型函数图象的变换规律进行求解即可.
【详解】因为，
所以函数的图象可以看成是将函数的图象向右平移个单位得到，
故选：B
5. 已知若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出函数的图象与直线，观察图象，得到直线与曲线有两个交点的情况的的取值范围．
【详解】作出函数的图象与直线，
观察图象，或时，直线与曲线有两个交点，故实数的取值范围是．
故选：D
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角关系得到，进而利用配角法与两角差余弦公式可得结果.
【详解】∵，∴，
又，∴，
∴
.
故选：A
7. 人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从（）级别跃升到（），（）乃至（）级别.国际数据公司（IDC）统计了从2008年至2011年全球产生的数据量如下表：
研究表明，从2008年起，全球产生数据量y（单位：）与时间x（单位：年）的关系满足函数，记，，则下列最符合上述数据信息的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题得选项AC显然错误，再代入验证即得解.
【详解】解：由题得选项AC显然错误，指数不可能是.
如果选D, ，2009年的数据量为，
如果选B, ，2009年的数据量为，
由于0.7595更接近0.8，
故选：D
8. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用两角差正弦公式化简函数，结合正弦函数的图象与性质得到结果.
【详解】
又，∴，
∴，
∴，
∴函数的值域为.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 不论取何实数，命题“”为真命题
B. 不论取何实数，命题：“二次函数的图象关于轴对称”为真命题
C. “四边形的对角线垂直且相等”是“四边形是正方形”的充分不必要条件
D. “”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合一元二次函数和一元二次不等式的性质可判断AB；根据充分条件、必要条件的概念可判断CD.
【详解】对于，关于的一元二次方程满足，
即有不等实根，显然，即，
因此不等式的解集为，
当时，，故A正确.
对于，二次函数图象的对称轴为直线，即轴，故B正确.
对于，对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形可能为菱形，反之成立.故错误.
对于，令，则，即充分性不成立，
令，则，而，故必要性也不成立，
即“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知，则下列结论正确有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据同角三角函数的平方关系可求出的值，根据角的范围得出角，进而求解.
【详解】因为，所以，
因为，也即，解得：或，
因为，所以，则，
所以，
故选：.
11. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为B. 其图象关于点对称
C. 对称轴方程为D. 单调增区间
【答案】AC
【解析】
【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的对称性可判断BC选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，由，可得，
即函数的对称轴方程为，C对；
对于D选项，由，解得，
所以，函数的单调增区间，D错.
故选：AC.
12. 已知函数则以下判断正确的是（ ）
A. 若函数有3个零点，则实数取值范围是
B. 函数在上单调递增
C. 直线与函数图象有两个公共点
D. 函数的图象与直线有且只有一个公共点
【答案】AC
【解析】
【分析】作出的图像如图所示，B可直接由图像或二次函数单调性判断；AC零点及交点问题均可以通过与交点个数判断；D通过图像或者联立方程求解即可判断.
【详解】当，
故的图像如图所示，
对AC，函数有3个零点，相当于与有3个交点，
故的取值范围是，直线与函数的图象有两个公共点，AC对；
对B，函数在上先增后减，B错；
对D，如图所示，联立可得解得或，由图右侧一定有一个交点，故函数的图象与直线不止一个公共点，D错.
故选：AC
二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中横线上）
13. ___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式化简后利用二倍角公式求值.
【详解】,
故答案为：
14. 某简谐运动的图象如图所示，则该简谐运动的函数解析式为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由的部分图象确定其解析式
【详解】由图象可知，振幅为3，，
所以周期，
可设函数的解析式为，
因为曲线过点，
则，解得，
所以所求解析式为．
故答案为：
15. 已知实数满足，满足，则___________.
【答案】1
【解析】
【分析】由题意，，，令，从而得，判断函数在上为增函数，进而得，所以求得.
【详解】解：由题意，，，
令，则，所以，
令，
函数在上增函数（增+增=增），
所以可知，所以，即.
故答案为：.
16. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，，从而可得结果.
【详解】由题意可知，，即，
∵函数在区间上单调递增，
∴，
当时，，即；
当时，，即；
故的取值范围为.
故答案为：
三､解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）
17. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）1； （2）2.
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算法则计算化简求值；
（2）利用对数的运算法则和换底公式计算化简求值.
【小问1详解】
解：原式=.
【小问2详解】
解：原式===2.
18. 已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，两边平方求解；
（2）根据，，确定的范围，再平方求解；
（3）利用商数关系化简，将（1）（2）的结论代入求解.
【小问1详解】
解：由，两边平方得：
，即，
所以；
【小问2详解】
因为，，
所以，
所以，
所以，
；
【小问3详解】
，
.
19. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求使成立的x的取值集合.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换公式，化简得，再由三角函数的周期公式可得的最小正周期；
（2）由（1）化简不等式，得到，再利用正弦函数的图象与性质，即可求出满足条件的实数的取值集合．
【小问1详解】
解：，
，
所以的最小正周期．
【小问2详解】
解：由，得，即，
根据正弦函数的图象，可得，
解之得，
使不等式成立的取值集合是．
20. 已知函数.
（1）求的单调减区间；
（2）求证：的图象关于直线对称.
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差得正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调减区间为，，，求出的范围即可；
（2）要证的图象关于直线对称，即证.
【小问1详解】
，
由，得：，，
的单调减区间为，；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
，
∴，
∴的图象关于直线对称.
21. 已知函数.
（1）求证：是奇函数；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，利用奇偶性定义判断即可；
（2）先证明函数的单调性，借助奇偶性与单调性，把不等式转化为具体不等式即可.
【小问1详解】
，即，
函数的定义域为．
在上任取一个自变量，
则，
为奇函数；
【小问2详解】
任取，
，
由题设可得，，
故，
，
函数在上是增函数；
∵，为奇函数，
∴，
又函数在上是增函数，
∴，
解得：，
∴不等式的解集为.
22. 已知函数，（，），.
（1）求证：函数是奇函数；
（2）当时，求不等式的解集.
【答案】（1）证明见解析.
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，利用奇偶性定义判断即可；
（2）先证明函数的单调性，借助奇偶性与单调性，把不等式转化为具体不等式即可.
【小问1详解】
由 得的定义域为．
所以是奇函数.
【小问2详解】
任取，
，
由题设可得 ，，，
故，
，
函数在上是增函数；
∵，为奇函数，
∴，
又函数在上是增函数，
∴，
解得：，
∴不等式的解集为.
x
1
2
3
4
5
6
y
10
8
2
时间/年
2008
2009
2010
2011
数据量/
增长比例