四川省眉山市仁寿县2024届九年级下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份四川省眉山市仁寿县2024届九年级下学期4月月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了 下列实数， 下面计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
考试时间 120分钟 总分 150分
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1. 下列实数：，0，，，其中最小的是（ ）
A. B. 0C. D.
答案：A
2. 2022年12月31日，仁寿县户籍人口为150.13万人． 其中数据150.13万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
3. 下面计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
4. 如图，直线，且于点，若，则的度数为（ ）
A. 65°B. 55°C. 45°D. 35°
答案：B
5. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
6. 为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：，，，，，，，，，．根据这组数据判断下列结论中错误的是（ ）
A. 这组数据的众数是B. 这组数据的中位数是
C. 这组数据的平均数是D. 这组数据的方差是
答案：B
7. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法． 如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为（ ）米．
A. 7.5B. 7C. 6.5D. 6
答案：D
8. 关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
9. 已知，是方程的两个实数根，则式子的值为（ ）
A. 3B. -3C. -1D. 1
答案：A
10. 如图，四边形的顶点，，都在上，，，，则的弧长为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
11. 对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
答案：C
12. 在正方形中，，点是边的中点，连接，延长至点，使得，过点作，分别交、于两点，连接，，，下列结论：①；②；③；④． 正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
答案：B
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13 因式分解：__________．
答案：
14. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________．
答案：且
15. 如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，斜坡长，斜坡的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移________时，才能确保山体不滑坡．（取）
答案：10
16. 如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________．

答案：
17. 若关于的方程的解是正数，则的取值范围为_____________．
答案：m＞-7且m≠-3
18. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线，为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形以此类推，则正方形的顶点的坐标是_________________．
答案：
三、解答题（本大题共8个小题，共78分）
19. 计算：．
答案：
原式
20. 解不等式组，并将解集在数轴上出来
答案：．数轴见解析
解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
故不等式组的解集为：．
将解集表示在数轴上如下：
．
21. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；
（3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；
（4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
答案：（1）50，7
（2）条形统计图见解析，
（3）该校学生答题成绩为A等和B等共有672人
（4）
【小问1详解】
解：（人），
，
故答案为：50，7；
【小问2详解】
解：成绩为C等级人数所占百分比：，
∴C等级所在扇形圆心角的度数：，
成绩为A等级的人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解：（人），
答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人；
【小问4详解】
解：根据题意，列出表格如下：
由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的有2种情况，
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
22. 如图，是直径，过圆上点的直线交延长线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
答案：（1）见解析 （2）．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，又，
∴，
∴，即，
∴，，
∴．
23. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?
答案：（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
（2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【小问1详解】
解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
【小问2详解】
设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．

（1）求的值；
（2）当为何值时，的值最大?最大值是多少?
答案：（1），
（2）当时，取得最大值，最大值为
【小问1详解】
解：把点代入，
∴，
解得：；
把点代入，解得；
【小问2详解】
∵点横坐标大于点的横坐标，
∴点在点的右侧，
如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，

∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为．
25. 如图，在菱形中，，为对角线．点是边延长线上的任意一点，连接交于点，平分交于点G．

（1）求证：．
（2）若，．
①求菱形的面积．
②求的值．
答案：（1）见解析 （2）①24；②
【小问1详解】
解：证明：如图1，四边形是菱形，

，，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
①如图2，连接交于点，交于点，

，
，
，，
，
，
，
，
；
②，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
26. 已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2）
（3）或或或
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴相交于点，，
∴，解得：，
∴；
【小问2详解】
∵，当时，，
∴，抛物线的对称轴为直线
∵的周长等于，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：存在，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
①当点在点上方时：
过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，
设点横坐标为，
则：，
解得：，
∴或；
②当点在点下方时：设与轴交于点，
则：，
设，
则：，，
∴，解得：，
∴，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴或；
综上：或或或．
第一名第二名
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲
乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙
丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙