新高考数学一轮复习精品讲练测第1章专题05 基本不等式（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
基本不等式
，当且仅当时取等号
其中叫做正数，的算术平均数，
叫做正数，的几何平均数
通常表达为：（积定和最小）
应用条件：“一正，二定，三相等”
基本不等式的推论1
（和定积最大）
当且仅当时取等号
基本不等式的推论2
当且仅当时取等号
其他结论
①eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(ab＞0)．
②eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．
③已知a，b，x，y为正实数，
若ax＋by＝1，则有eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝＝a＋b＋eq \f(by,x)＋eq \f(ax,y)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2.
若eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1，则有x＋y＝＝a＋b＋eq \f(ay,x)＋eq \f(bx,y)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2.
注意1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
注意2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
注意3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．
考点一、直接用基本不等式求最值
1．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知实数，则的最小值为___________.
2．（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）的最小值为______.
1．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
2．（2023·浙江台州·统考模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为_____________.
考点二、巧用“1”或常数关系求最值
1．（2023·湖北·统考二模）若正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
2．（2023·湖南邵阳·统考二模）若，，，则的最小值为______．
1．（2023·重庆·统考一模）已知，则的最小值是___________.
2．（2023·山西晋中·统考三模）设且，则的最小值为_________．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知，且，则的最小值为______．
4．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）若，且，则的最小值为（ ）
A．9B．3C．1D．
考点三、变形为分式的“分母”形式求最值
1．2023·浙江·校联考模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
2．（2023·山西忻州·统考模拟预测）已知，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知都是正数，且，则的最小值为__________．
2．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知，若的最小值大于7，写出满足条件的一个a的值：__________．
3．（2023·河北邯郸·统考一模）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．9
4．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数，且，则的最小值为___________.
考点四、两次应用基本不等式求最值
1．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数，满足，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．1B．C．2D．
1．（2023·吉林长春·统考模拟预测）若，，则的最小值为___________.
2．（2023·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考点五、条件等式变形求最值
1.（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020年新高考全国II卷数学真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知，，若，则的最小值为_____________.
2．（2023·安徽马鞍山·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
1．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（ ）
A．2B．1C．D．
2．（2023·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）若，则的最小值是___________.
3．（2023·全国·模拟预测）已知a，b，c均为正数，且满足，则的最小值为______．
考点六、构造法或换元法求最值
1．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）已知，，，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．6D．
2．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的小值为______．
1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．
2．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为___________.
3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）若，，则的最大值为____________．
考点七、利用基本不等式判断或证明不等式关系
1．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
1．（多选）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
考点八、基本不等式的实际应用问题
1．（2023·江苏常州·校考一模）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（ ）
A．甲更合算B．乙更合算
C．甲乙同样合算D．无法判断谁更合算
1．（2023·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
2．（多选）（2023·安徽淮北·统考二模）设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
考点九、基本不等式多选题综合
1．（2023·全国·模拟预测）已知为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·山西·校联考模拟预测）已知正实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·辽宁·校联考模拟预测）设均为正数，且，则（ ）
A．B．当时，可能成立
C．D．
3．（2023·江苏·二模）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【基础过关】
1．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·吉林四平·四平市实验中学校考模拟预测）已知正实数，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
5．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·湖南邵阳·统考三模）,则下列命题中，正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
三、填空题
8．（2023·吉林延边·统考二模）设，，若，则取最小值时a的值为______．
9．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知a，b为两个正实数，且，则的最大值为__________．
10．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知非负数满足，则的最小值是___________.
【能力提升】
1．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（ ）
A．2B．1C．D．
二、多选题
3．（2023·山东济宁·统考二模）已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·山东烟台·统考三模）已知且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为2
C．的最小值为6D．的最小值为4
三、填空题
6．（2023·山东济南·统考三模）已知正数满足，则的最小值为___________.
7．（2023·山东·校联考模拟预测）设，则的最小值为______.
8．（2023·辽宁辽阳·统考二模）若，则的值可以是__________．
9．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知，，，，则的最小值为________．
10．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知，且，则的最小值为___________.
【真题感知】
1．（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
2．（2020·全国·统考高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
二、填空题
3．（2021·天津·统考高考真题）若，则的最小值为____________．
4．（2020·江苏·统考高考真题）已知，则的最小值是_______．
5．（2020·天津·统考高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
三、解答题
6．（2020·山东·统考高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
7．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
8．（2023·全国·统考高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．