新高考数学一轮复习精品讲练测第2章第06讲 函数与方程（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
函数的零点
一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。
零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得
注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在
函数单调性对零点个数的影响
如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）
（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点
（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点
（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号
是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，
6、判断函数单调性的方法
（1）可直接判断的几个结论：
① 若为增（减）函数，则也为增（减）函数
② 若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数
③ 若为增函数，且，则为增函数
（2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要利用的范围求出的范围），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图象
7、证明零点存在的步骤
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数
（3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
考点一、求函数的零点
1．（2022·安徽宣城·统考二模）已知数列{an}为等差数列，若a1，a6为函数的两个零点，则a3a4＝（ ）
A．-14B．9C．14D．20
2．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·北京·统考模拟预测）的零点为________．
2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则______．
考点二、求函数零点或方程根或图象交点个数
1．（湖南·高考真题）函数的图象与函数的图象的交点个数为
A．3B．2C．1D．0
2．（全国·高考真题）函数在的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
3．（北京·高考真题）函数的零点个数为
A．0B．1C．2D．3
1．（湖南·高考真题）函数的图象和函数的图象的交点个数是
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）函数在区间上的零点个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知函数满足，当时，，则在上的零点个数为（ ）
A．4B．6C．8D．9
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数在函数的零点个数__________.
5．（全国·高考真题）函数在的零点个数为________．
6．（湖北·高考真题）函数的零点个数为_________．
考点三、用零点存在性定理判断零点所在区间
1．（全国·高考真题）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（北京·高考真题）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
A．B．C．D．
1．（2023·海南·模拟预测）函数的零点所在的大致区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．B．C．D．
考点四、根据零点区间或个数求参数范围
1．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数在区间上有零点，则实数m的取值范围是________．
3．（2023·山东临沂·统考一模）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为________．
4．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为__________．
5．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为______．
6．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为__________.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·云南昭通·校考模拟预测）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ ）
A．B．0C．2D．4
4．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）已知关于的方程，存在两个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知函数的零点分别为，，…，（），则（ ）
A．B．C．0D．2
二、填空题
10．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）请估计函数零点所在的一个区间______.
【能力提升】
一、多选题
1．（2023·河北·模拟预测）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．2
2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）设函数有4个零点，分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的取值与无关D．的最小值为10
二、填空题
3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数有三个不同的零点，其中有两个正零点，则实数的取值范围为____.
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为__________.
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）若函数与函数的图象恰有三个不同的交点，其中交点的横坐标成等差数列，则的取值范围为__________.
6．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）设表示不超过的最大整数，如.已知函数有且只有4个零点，则实数的取值范围是___________.
7．（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数，当时，的零点个数为_____________；若恰有4个零点，则的取值范围是______________.
8．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，给出以下三个结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号为________.
9．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数若函数有八个不同的零点，从小到大依次为，，，，，，，，则的取值范围为___________.
10．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知函数有三个零点，且，则__________.
【真题感知】
一、单选题
1．（天津·高考真题）函数f(x)=的零点所在的一个区间是
A．（-2，-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）
2．（山东·高考真题）设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
3．（浙江·高考真题）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是
A．B．C．D．
4．（湖北·高考真题）关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A．B．
C．D．
6．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．（2022·北京·统考高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
8．（湖南·高考真题）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．
9．（2023·天津·统考高考真题）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_________．
10．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．