新高考数学一轮复习精品讲练测第3章第01讲 导数的概念 运算及几何意义（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
1.函数在处的导数
(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq^\(,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝eq^\(,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)。
2.函数的导函数
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝limeq \(,\s\up6(,Δx→0)) eq \f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.
3.八大常用函数的求导公式
（1）（为常数）
（2），例：，，，
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
4.导数的四则运算
（1）和的导数：
（2）差的导数：
（3）积的导数：（前导后不导前不导后导）
（4）商的导数：，
5.复合函数的求导公式
函数中，设（内函数），则（外函数）
6.导数的几何意义
（1）导数的几何意义
函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即．
（2）直线的点斜式方程
直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：
【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．
（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为；
（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标；
第二步：写出过的切线方程为；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程，可得过点P(x0，y0)的切线方程．
考点一、求曲线切线的斜率或倾斜角
1．（2023·全国·高三专题练习）函数在处切线的斜率为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义，求出导函数在该点处的值即可求解.
【详解】因为函数，
则，
所以，也即函数在处切线的斜率，
故选：.
2．（2023·山东潍坊·三模）若为函数图象上的一个动点，以为切点作曲线的切线，则切线倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设出切点，利用处的导数几何意义，即可得出，然后利用正切值即可得出答案.
【详解】设点坐标为，
由，，
得，
则以为切点的切线斜率为，
令切线倾斜角为，，则，
则.
故选：D.
1．（2023·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线斜率为 .
【答案】0
【分析】求出点的导数,即该点处切线斜率.
【详解】解:由题知,
所以,所以,
故在点处的切线斜率为0.
故答案为:0
2．（2023·青海·校联考模拟预测）函数的图象在点处的切线的斜率为 ．
【答案】5
【分析】求出函数的导数，将代入，可求得答案.
【详解】因为，所以,
即函数的图象在点处的切线的斜率为5，
故答案为：5
考点二、求在曲线上一点的切线方程
1．（2023·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
2．（2021·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
1．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）曲线在点处的切线方程为
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】由，
所以，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为2，
所以所求切线方程为，即.
故答案为：.
2．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）函数在处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.
【详解】因为，则，
又，则，
所以函数在处的切线方程为，
即.
故答案为：
3．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）函数在点处的切线方程为 .
【答案】（写成亦可）
【分析】利用导数求得的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】，，则，
因此，函数在点处的切线方程为即.
故答案为：（写成亦可）.
4．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】根据求导公式和导数几何意义和直线方程的点斜式求法即可求解.
【详解】因为，
所以 ，
则，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
故答案为：.
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】首先根据函数是奇函数，求的值，再利用导数的几何意义求切线方程.
【详解】因为是奇函数，
所以对恒成立，
即对恒成立，
所以，则，故，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简得.
故答案为：
考点三、求过一点的切线方程
1．（2022·全国·统考高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】
【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
[方法三]：
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；.
1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）过点作曲线的切线，写出一条切线方程： .
【答案】或（写出一条即可）
【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入求得切点坐标，即可得切线方程.
【详解】由可得，
设过点作曲线的切线的切点为，则，
则该切线方程为，
将代入得，解得或，
故切点坐标为或，
故切线方程为或，
故答案为：或
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，其导函数为，则曲线过点的切线方程为 ．
【答案】或
【分析】设切点为，对函数进行求导，且代入可得，故可由点斜式得到切线方程，将代入即可求得或，即可求得切线方程
【详解】设切点为，由，得，
∴，得，∴，，
∴切点为，，
∴曲线在点M处的切线方程为①，
又∵该切线过点，∴，解得或．
将代入①得切线方程为；
将代入①得切线方程为，即．
∴曲线过点的切线方程为或．
故答案为：或
3．（2023·江苏南通·二模）过点作曲线的切线，写出一条切线的方程 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】设切点坐标，利用导数求切线斜率，代入点求出未知数即可得到切线方程.
【详解】，，
设切点坐标为，则切线斜率为，得方程，
代入点，得，即，解得或，
当时，切线方程为；当时，切线方程为.
故答案为：（或）.
4．（2023·山东德州·统考一模）过点与曲线相切的直线方程为 ．
【答案】
【分析】由导数的几何意义得出切线方程，进而由切点的位置得出，从而得出切线方程.
【详解】设切点坐标为，，.
则切线方程为，因为在切线上，
所以，即
又，所以，
令，，当时，，
所以在上单调递增，
所以方程只有唯一解为.
即切点坐标为，故所求切线方程为，即.
故答案为：
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）过点作曲线的切线，则切点的横坐标为 ，这条切线在x轴上的截距为 ．
【答案】
【分析】设出切点坐标为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，再由两点间斜率公式可得，解得，即可求得切线方程，进而得出结果.
【详解】设切点坐标为，
因为，所以，
即，解得，
所以切线方程为，
可知该切线在x轴上的截距为．
故答案为：，
考点四、已知切线（斜率）求参数
1．（2023·北京·统考高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
【答案】(1)
【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可；
【详解】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
1．（2023·河北邯郸·统考二模）已知直线是曲线的切线，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答.
【详解】函数，求导得，令直线与曲线相切的切点为，
于是且，所以.
故选：B
2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若曲线的一条切线为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义分析运算．
【详解】因为，所以，
设曲线与直线的切点为，
由导数的几何意义可得，解得：，则，
又因为又在上，
所以，则
故选：A.
3．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数在处的切线方程为，则 .
【答案】1
【分析】根据切点在曲线与切线上，代入求解即可.
【详解】，故函数在处的切点为，又切点在切线上，故，故.
故答案为：1
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）若直线和曲线相切，则实数的值为 .
【答案】1
【分析】首先求导的，再假设切点为，根据斜率，得，再将分别代入直线与曲线中，联立方程组，解方程即可求出参数
【详解】已知，得，设切点为，
已知直线斜率，得，再将分别代入直线与曲线中
可得解得.
故答案为：
考点五、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
【答案】(1)3
【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；
【详解】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；
2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
3．（2016·全国·高考真题）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【答案】
【详解】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
【考点】导数的几何意义
【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）．
注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．
1．（2023·安徽合肥·统考一模）函数在点处的切线与直线平行，则实数 ．
【答案】5
【分析】根据导数的几何意义结合平行关系分析运算.
【详解】∵，则，
∴，
若切线与直线平行，则，解得.
故答案为：5.
2．（2023·广西·统考模拟预测）已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求导列式得，即可实数的值.
【详解】因为，所以，
则，则，解得.
故答案为：.
3．（2023·广东茂名·统考二模）已知曲线在处的切线与在处的切线平行，则的值为 .
【答案】
【分析】求导，根据列方程可得.
【详解】，
由题意可知，，即，解得.
故答案为：
4．（2023·湖南·校联考二模）已知函数在处的切线与直线垂直，则a的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】由题可得，即可得答案.
【详解】因的斜率为，则．
故选：B．
5．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得a的值.
【详解】由题设，知处的切线的斜率为，
又因为，
所以，解得.
故选：A.
6．（2023·山西运城·统考二模）已知函数（且），曲线在处的切线与直线垂直，则 ．
【答案】
【分析】求出，分析可得，即可求得的值.
【详解】因为（且），则，
因为直线的斜率为，
又因为曲线在处的切线与直线垂直，
所以，，解得.
故答案为：.
7．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则 ．
【答案】/
【分析】先根据和在公共点处有相同的切线得出在处两函数的导数相等,再由在上,列方程组求解即可.
【详解】因为，
所以，，
因为在公共点处有相同的切线，
所以即，
所以
故答案为：
8．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数，，若直线为和的公切线，则b等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别设直线为和的切点为，，分别利用函数导数求出切点坐标代入直线中，建立关于的方程组解出即可.
【详解】设直线与相切于点，
与相切于点，
由，所以，
由，
则，
即点，代入直线中有：
， ①
由，
所以，
由，
，
即点，代入直线中有：
， ②
联立①②解得：，
所以，
故选：B.
9．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为 ．
【答案】/0.5
【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断.
【详解】，
假设两曲线在同一点处相切，
则，可得，即，
因为函数单调递增，且时，
所以，则，此时两曲线在处相切，
根据曲线的变化趋势，若继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，
所以的最大值为.
故答案为：.
10．（2023·山东烟台·统考三模）若曲线与曲线有两条公切线，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即可．
【详解】令，，则，，
设，则曲线在处切线为，
设，则曲线在处切线为，
由题意，消去得，
由题意，方程有两个不同的实数根，
令，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
故当时，取极大值；当时，取极小值，
又当时，根据以上信息作出的大致图象，

由图可知当，即时，直线与的图象有两个交点，从而方程有两个不同的实数根，
所以，曲线与曲线有两条公切线时，的值为．
故答案为：．
11．（2023·云南保山·统考二模）若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求得公切线方程为，联立方程组，结合，得到，令，求得，令，求得和，得到函数的单调性和最小值，进而得到，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为，设切点为，则，
则公切线方程为，即，
与联立可得，
所以，整理可得，
又由，可得，解得，
令，其中，可得，
令，可得，函数在上单调递增，且，
当时，，即，此时函数单调递减，
当时，，即，此时函数单调递增，
所以，且当时，，所以函数的值域为，所以且，解得，即实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
12．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线与曲线和曲线均相切，则实数的解的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无数
【答案】C
【分析】由题意可求得直线与曲线和曲线分别切于点，，则，化简后得，然后将问题转化为方程解的个数，构造函数，利用导数和零点存在性定理可求得其零点的个数，从而可得答案.
【详解】根据题意可知，直线与曲线和曲线都相切，
所以对于曲线，则，所以，
所以切点，
对于曲线，则，所以，
切点，易知A,B不重合，
因为公切线过两点，所以，
进而可得，
令，则，
令，则
所以在单调递增，
因为，
所以存在使得，即，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
故.
又因为，
所以，
当时，，
因为，
所以在内存在，使得，
当时，，
因为，，
所以在内存在，使得，
综上所述，存在两条斜率分别为，的直线与曲线和曲线都相切，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是求出两切点的坐标后，将问题转化为方程解的个数问题，然后构造函数，利用导数和零点存在性定理解决，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据导函数的图象在区间内的函数的范围，判断出函数区间上各点处切线的斜率的范围，根据导函数的图象得导函数函数值的符号，得函数的单调性，再结合四个选项可得答案.
【详解】由的图象可知，当时，，则在区间上，函数上各点处切线的斜率在区间内，
对于A，在区间上，函数上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确；
对于B，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确；
对于C，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C不正确；
对于D，由的图象可知，当时，，当时，，当时，，
所以函数上各点处切线的斜率在区间内，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
而函数的图象均符合这些性质，故D正确.
故选：D
2．（2023·湖南·模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系即可求出的值．
【详解】由，得，
因为函数的图象在处的切线与直线垂直，
所以，则．
故选：A．
二、填空题
3．（2023·湖北·校联考模拟预测）曲线在点处的切线方程是 .
【答案】
【分析】根据题意求导，求出切线的斜率，再求出切线方程即可.
【详解】由题意，得，则在处的切线斜率，
所以切线方程为，即.
故答案为： .
4．（2023·全国·校联考三模）曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】求导，根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线的斜率为，再求出切点，从而可求切线方程.
【详解】由题得，所以曲线在点处的切线的斜率为.
又，所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为:.
5．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知函数，则函数在处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】根据求导公式和求导法则，结合导数的几何意义即可求解.
【详解】由题意得，，
则，又，
所以曲线在处的切线方程为
，即.
故答案为：.
6．（2023·云南玉溪·统考一模）已知函数的图象在处的切线的倾斜角为α，则 ．
【答案】
【分析】由导数的几何意义求出，再由同角三角函数的基本关系即可得出答案.
【详解】，，即，，，
利用三角函数定义，．
故答案为：.
7．（2023·黑龙江大庆·统考三模）曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求切线的斜率，再由点斜式求切线方程.
【详解】因为，，
所以，
故，
曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
8．（2023·山西临汾·统考二模）曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】运用导数公式及导数几何意义求得切线斜率，进而求得切线方程.
【详解】因为，
所以，
所以切线方程为：，即：.
故答案为：.
9．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）写出曲线过点的一条切线方程 ．
【答案】或（写出其中的一个答案即可）
【分析】首先判断点在曲线上，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，再说明函数的单调性，即可得到函数的极大值，从而得到曲线的另一条切线方程.
【详解】解：因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线方程符合题意．
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
因为当或时，；当时，，
所以函数在处取得极大值，又极大值恰好等于点的纵坐标，所以直线也符合题意．
故答案为：或（写出其中的一个答案即可）
三、双空题
10．（2023·陕西·统考二模）已知曲线在处的切线方程为，则 ， ．
【答案】
【分析】直接利用导数的几何意义求切线方程待定系数即可.
【详解】易知
由题意可得当时，，所以.
故答案为：1；
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·湖南·校联考二模）若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】设出切点，利用导数的几何意义写出切线，由切线经过可得出一个方程，根据题意切线只有一条，也就是转化成关于的方程只有一个解的问题.
【详解】设切点．因为，所以，
所以点处的切线方程为，
又因为切线经过点，所以，即.
令，则与有且仅有1个交点，，
当时，恒成立，所以单调递增，显然时，，于是符合题意；
当时，当时，，递减，当时，，递增，所以，
则，即．
综上，或．
故选：D
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数，，若直线为和的公切线，则b等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别设直线为和的切点为，，分别利用函数导数求出切点坐标代入直线中，建立关于的方程组解出即可.
【详解】设直线与相切于点，
与相切于点，
由，所以，
由，
则，
即点，代入直线中有：
， ①
由，
所以，
由，
，
即点，代入直线中有：
， ②
联立①②解得：，
所以，
故选：B.
3．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令，，，可将问题转化为方程组有且只有一组实数根.后通过研究函数，及
过原点与切线，可得答案.
【详解】令，则
，令，则
，令，则.
令在上单调递增；
在上单调递减；
又，，则有且只有两根，分别为.
则函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，等价于方程组有且只有一组实数根.
令，则，
当时，，则此时在上递增，又.
即，则有且只有一组实数根.
当时，方程组有且只有一组实数根，等价于函数图象与直线图象有两个交点，临界情况为两条直线与图象相切.
当与相切，设对应切点为，因
，则相应切线方程为
；
当与相切，设对应切点为，则相应切线方程为
，则.
综上，.
故选：A

【点睛】关键点睛：本题涉及同构以及用导数，函数思想研究函数图象的交点.同构时，需仔细观察，巧用指对互化，将相同结构放在一起以便简化问题，对于函数零点问题，常可转化为相关图象交点问题来解决.
二、多选题
4．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的切线斜率可以是
B．曲线的切线斜率可以是3
C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条
【答案】BCD
【分析】求出函数的导函数，根据导数的几何意义判断A、B，设切点坐标，求出切线方程，判断方程的解，即可判断C、D.
【详解】因为，所以，
对于A：令，方程无解，所以曲线的切线斜率不可以是，故A错误；
对于B：令，解得，所以曲线的切线斜率可以是，故B正确；
对于C：设切点，则切线方程为，因为点在切线上，
所以，即，显然，所以，
故过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故C正确；
对于D：设切点，则切线方程为，
因为点在切线上，，所以，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以存在使得，
所以方程有且仅有两个实数根，
所以过点且与曲线相切的直线有且只有条，故D正确；
故选：BCD
5．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）直线是曲线的切线，则实数的值可以是（ ）
A．3πB．πC．D．
【答案】AB
【分析】设切点为，由题意可得，解得，由导数的几何意义可得，即，即可得出答案.
【详解】设切点为，∵直线恒过定点，
，∴，
∴，∴，
∵，∴可取，
由导数的几何意义知，，
则，则，
所以，
∴当时，；当，，故A，B正确，C，D不正确.
故选：AB.
6．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，其中，则m与n可能满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用导数的几何意义求出的切线方程，从而得到，进而将问题转化为与的图象有2个交点，利用导数研究的图像，从而结合图像得到的关系式，从而得解.
【详解】设切点坐标为，因为，则，切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为
将点的坐标代入切线方程可得，
过点恰能作两条直线与曲线相切，
即方程有2个解，即，
与的图象有2个交点，
，
若，令，得或，令，得，
即在上单调递减，在和上单调递增，

若，令，得或，令，得，
即在上单调递减，在和上单调递增，

又，，
故由图可知，当或时，与的图象有2个交点，
此时，或.
故选：AD.
【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用导数的几何意义求出切线方程后，把代入切线方程，将其转化为两个函数的交点问题，求解即可.
三、填空题
7．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知函数与，若曲线和恰有一个公切点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】设出公切点，利用和在公切点处函数值和导函数值分别相等，得到的表达式，求出最大值即可.
【详解】，.
设公切点为，则，，
即.
因此，
其中，
因为，所以为第一象限的角；
不妨设，因为，所以，
当且仅当时，取到最小值，
所以的最小值是，且有唯一解.
故答案为：.
8．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】设切点，求导得切线方程，进而根据过点，将问题转化为方程有两个不相等实根，得韦达定理，进而构造函数或，由导数求解单调性即可求解范围.
【详解】设切点，
则切线方程为，
又切线过，则，
有两个不相等实根，
其中或，
令或，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
，，
当时，，当时，，
所以，即.
故答案为：
9．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）过点可作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义可得函数有两个零点，利用导数和零点存在性定理可得结果.
【详解】设切点为，则，
，
所以切线的斜率为，
切线方程为，
因为切线过点，所以，
整理得，
依题意可得有两个不等的正根，
设，则函数有两个零点，
，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，得，
又，，所以在内有唯一零点，
因为，，
设，则，在上为增函数，
又，所以，即，所以在内有唯一零点，
因此函数有两个零点，符合题意.
故.
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
10．（2023·浙江·校联考模拟预测）若曲线有三条经过点的切线，则的范围为 ．
【答案】
【分析】求导后对导函数求导分析函数的凹凸性，再数形结合分析相切的临界条件，从而可得.
【详解】由题意，
令，则，
令可得或.
故当和时，单调递增，图象往下凸；
当时，单调递减，图象往上凸.

又经过的切线方程为，即，
令可得，又经过的切线方程为，故当时有三条经过点的切线.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：求导分析函数切线的问题，需要根据题意求导，并求导数形结合分析切线斜率的单调性，进而可得函数的凹凸性，从而分析切线可能的情况，属于难题.
【真题感知】
一、单选题
1．（2020·全国·统考高考真题）函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
2．（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
3．（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
二、填空题
4．（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
5．（2020·全国·统考高考真题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .
【答案】
【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
三、解答题
6．（2020·北京·统考高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
【详解】（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
（Ⅱ）[方法一]：导数法
显然，因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
[方法二]【最优解】：换元加导数法
．
因为为偶函数，不妨设，，
令，则．
令，则面积为，只需求出的最小值．
．
因为，所以令，得．
随着a的变化，的变化情况如下表：
所以．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
当且仅当，即时取等号．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法四]：两次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.
7．（2020·全国·统考高考真题）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义得到，解方程即可；
（2）方法一：由（1）可得，易知在上单调递减，在，上单调递增，且，采用反证法，推出矛盾即可.
【详解】（1）因为，由题意，，即：，则．
（2）［方法一］：通性通法
由（1）可得，，
令，得或；令，得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
且，
若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，
即或.
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
综上，所有零点的绝对值都不大于1.
［方法二］【最优解】：
设是的一个零点，且，则．
从而．
令，由判别式，可知在R上有解，的对称轴是，所以在区间上有一根为，在区间上有一根为（当时，），进而有，所以的所有零点的绝对值均不大于1．
［方法三］：
设是函数的一个绝对值不大于1的零点，且．设，则，显然在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减．又，于是的值域为．
设为函数的零点，则必有，于是，所以解得，即．
综上，的所有零点的绝对值都不大于1．
［方法四］：
由（1）知，，令，得或．则在区间内递增，在区间内递减，在区间内递增，所以的极大值为的极小值为．
（ⅰ）若，即或，有唯一一个零点，显然有，不满足题意；
（ⅱ）若，即或，有两个零点，不妨设一个零点为，显然有，此时，，则，另一个零点为1，满足题意；同理，若一个零点为，则另一个零点为．
（ⅲ）若，即，有三个零点，易知在区间内有一个零点，不妨设为，显然有，又，，所以在内有一个零点m，显然，同理，在内有一个零点n，有．
综上，所有零点的绝对值都不大于1．
［方法五］：
设是的一个零点且，则是的另一个零点．
．
则，设，由判别式，所以方程有解．
假设实数满足．
由，得．与矛盾，假设不成立．
所以，所有零点的绝对值都不大于1．
【整体点评】（2）方法一：先通过研究函数的单调性，得出零点可能所在区间，再根据反证法思想即可推出矛盾，是通性通法；方法二：利用零点的定义以及零点存在性定理即可求出，是本题的最优解；方法三：利用零点的定义结合题意求出的范围，然后再由零点定义以及的范围即可求出所有零点的范围，从而证出；方法四：由函数的单调性讨论极大值极小值的符号，得出的范围，再结合零点存在性定理即可证出；方法五：设函数的一个零点为，满足，再设另一个零点为，通过零点定义找到的关系，再根据一元二次方程存在解的条件以及反证法即可推出矛盾，从而证出．
8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
（2）求导,对分类讨论,对分两部分研究
【详解】（1）的定义域为
当时,,所以切点为,所以切线斜率为2
所以曲线在点处的切线方程为
（2）
设
若,当,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若,当,则
所以在上单调递增所以,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若
(1)当,则,所以在上单调递增
所以存在,使得,即
当单调递减
当单调递增
所以
当,
令则
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
又，，
所以在上有唯一零点
又没有零点,即在上有唯一零点
(2)当
设
所以在单调递增
所以存在,使得
当单调递减
当单调递增,
又
所以存在,使得,即
当单调递增,当单调递减，
当，，
又，
而,所以当
所以在上有唯一零点,上无零点
即在上有唯一零点
所以,符合题意
所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为
【点睛】方法点睛：本题的关键是对的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.
9．（2022·天津·统考高考真题）已知，函数
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若和有公共点，
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）求出可求切线方程；
（2）（i）当时，曲线和有公共点即为在上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求.
（ii）曲线和有公共点即，利用点到直线的距离得到，利用导数可证，从而可得不等式成立.
【详解】（1），故，而，
曲线在点处的切线方程为即.
（2）（i）当时，
因为曲线和有公共点，故有解，
设，故，故在上有解，
设，故在上有零点，
而，
若，则恒成立，此时在上无零点，
若，则在上恒成立，故在上为增函数，
而，，故在上无零点，
故，
设，则，
故在上为增函数，
而，，
故在上存在唯一零点，
且时，；时，；
故时，；时，；
所以在上为减函数，在上为增函数，
故，
因为在上有零点，故，故，
而，故即，
设，则，
故在上为增函数，
而，故.
（ii）因为曲线和有公共点，
所以有解，其中，
若，则，该式不成立，故.
故，考虑直线，
表示原点与直线上的动点之间的距离，
故，所以，
下证：对任意，总有，
证明：当时，有，故成立.
当时，即证，
设，则（不恒为零），
故在上为减函数，故即成立.
综上，成立.
下证：当时，恒成立，
，则，
故在上为增函数，故即恒成立.
下证：在上恒成立，即证：，
即证：，即证：，
而，故成立.
故，即成立.
【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式.
10．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)存在满足题意，理由见解析.
(3).
【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可；
(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
函数在处的切线方程为，
即.
（2）由函数的解析式可得，
函数的定义域满足，即函数的定义域为，
定义域关于直线对称，由题意可得，
由对称性可知，
取可得，
即，则，解得，
经检验满足题意，故.
即存在满足题意.
（3）由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故，即(取等条件为)，
所以，
，且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
11．（2023·天津·统考高考真题）已知函数．
(1)求曲线在处切线的斜率；
(2)当时，证明：；
(3)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率；
（2）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证结论；
（3）构造，，作差法研究函数单调性可得，再构造且，应用导数研究其单调性得到恒成立，对作放缩处理，结合累加得到，即可证结论.
【详解】（1），则，
所以，故处的切线斜率为；
（2）要证时，即证，
令且，则，
所以在上递增，则，即.
所以时.
（3）设，，
则，
由（2）知：，则，
所以，故在上递减，故；
下证，
令且，则，
当时，递增，当时，递减，
所以，故在上恒成立，
则，
所以，，…，，
累加得：，而，
因为，所以，
则，
所以，故；
综上，，即.
【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究单调性证右侧不等关系，再构造且，导数研究其函数符号得恒成立，结合放缩、累加得到为关键.a
0
减
极小值
增