新高考数学一轮复习精品讲练测第3章第03讲 导数与函数的极值 最值（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，，而且在点x＝b 附近的左侧，右侧，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
（3）极值与导数的关系
是极值点
是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件
函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
考点一、求函数的极值或极值点
1．（天津·高考真题）已知函数在上满足，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意、，不等式恒成立.
2．（全国·高考真题）已知函数（为自然对数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
3．（天津·高考真题）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（Ⅲ）如果，且，证明
4．（山东·高考真题）设函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范围.
1．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）已知，函数，.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)设较小的零点为，证明：.
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的极值点个数；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整数值.
3．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
4．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）设函数.
(1)求的极值；
(2)已知，有最小值，求的取值范围.
5．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数，.
(1)讨论极值点的个数；
(2)若恰有三个零点和两个极值点.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）若，且，证明：.
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）己知函数有三个极值点，其中.
(1)求的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：.
考点二、根据函数极值或极值点求参数值或范围
1．（2023·全国·统考高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
1．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数，若函数在处取得极小值，则的取值范围为 .
2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是 .
3．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
4．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数存在两个极值点，，则以下结论正确的为（ ）
A．B．
C．若，则D．
考点三、利用导数求函数最值
1．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)判断函数的零点个数，并证明.
2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，其中a为实数.
(1)若，求函数在区间上的最小值；
(2)若函数在上存在两个极值点，，且.求证：.
3．（2023·浙江·校联考二模）设，已知函数有个不同零点.
(1)当时，求函数的最小值：
(2)求实数的取值范围；
(3)设函数的三个零点分别为、、，且，证明：存在唯一的实数，使得、、成等差数列.
4．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在上的最小值；
(2)证明：当时，.
5．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知函数，，.
(1)讨论函数在区间上的最大值；
(2)确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有.
6．（2023·江苏·二模）已知函数 ．
(1)当时，求函数的单调递增区间
(2)若函数在的最小值为，求的最大值．
考点四、由函数最值求参数值或范围
1．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
1．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是 ．
2．（2023·广东广州·广州六中校考三模）已知与有相同的最小值.
(1)求实数的值；
(2)已知，函数有两个零点，求证：.
【基础过关】
一、多选题
1．（2023·河北石家庄·统考三模）设函数的定义域为是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极大值点
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）设函数，则（ ）
A．是奇函数
B．当时，有最小值2
C．在区间上单调递减
D．有两个极值点
二、填空题
3．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知实数成等比数列，且函数，当时取到极大值，则等于 .
三、解答题
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数在处取得极值-14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值.
5．（2023·浙江温州·统考二模）已知函数，.
（1）若在处的切线与也相切，求的值；
（2）若，求函数的最大值.
6．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）设函数．
（1）当时，求函数的最大值；
（2）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．
7．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
8．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知为函数的极值点．
(1)求；
(2)证明：当时，．
9．（2023·福建·统考模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间和极值；
(2)若有零点，求的最小值．
10．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
(3)设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.
【能力提升】
1．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)当时，关于x的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
2．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围；
(2)求证：.
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论函数的最值；
(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围．
4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知函数，其中.
(1)若时，有极值，求的值；
(2)设，讨论的零点个数.
5．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知函数.
(1)若的极大值为3，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
6．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数，其中.
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)对任意的，都有，求实数的取值范围.
7．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
8．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)若，证明：；
(2)若函数最大值为，求实数a的值.
9．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数．
(1)当时，求函数在上的极值；
(2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．
10．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数和在同一处取得相同的最大值．
(1)求实数a；
(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为（），证明：．
【真题感知】
一、单选题
1．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
三、填空题
3．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为 .
四、解答题
4．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
6．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．