新高考数学一轮复习精品讲练测第3章第08讲 利用导数研究方程的根（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
利用导数研究函数方程的根的方法
(1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围.
(2)数形结合法求解零点（方程的根）
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.
(3)构造函数法研究函数零点（方程的根）
①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.
②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．
考点一、利用导数研究方程的根
1．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）
1．（2023·湖南·校联考二模）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)证明：方程有三个不等实根．
2．（2023·吉林长春·统考模拟预测）函数．
(1)求证：；
(2)若方程恰有两个根，求证：．
3．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.
①若恒成立，求实数的取值范围；
②若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围.
4．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数，为的导函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，有且只有两根，（）.
①若，求实数a的取值范围；
②证明：.
5．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数和在同一处取得相同的最大值．
(1)求实数a；
(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为（），证明：．
【基础过关】
1．（2023·江西南昌·统考一模）已知函数．
(1)若时，函数有2个极值点，求的取值范围；
(2)若，，方程有几个解？
2．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）设，，且a、b为函数的极值点
(1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论；
(2)若曲线在处的切线斜率为，且方程有两个不等的实根，求实数m的取值范围.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，的导函数为．
(1)讨论的极值点的个数；
(2)当时，方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
4．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：.
5．（2023·四川成都·统考二模）已知函数，其中，．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【能力提升】
1．（2023·广西桂林·统考一模）已知函数.
(1)当时，求函数的最大值；
(2)若关于x的方1有两个不同的实根，求实数a的取值范围.
2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，为其导函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若关于的方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
3．（2023·陕西宝鸡·统考一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数的图像与的图像最多有一个公共点，求实数的取值范围.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)证明：；
(2)若存在直线，其与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右的四个交点的横坐标分别为，，，，证明：．
5．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）设函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若方程有两个不相等的实数根，，证明：.
6．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知函数．
(1)求函数在区间上的最大值；
(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
7．（2023·山西阳泉·统考二模）已知函数在点处的切线方程为，
(1)求的值域；
(2)若，且，，证明：①；②.
8．（2023·山东济宁·统考二模）已知函数为实数．
(1)若恒成立，求实数的取值范围;
(2)若方程恰有3个不同的实数根，求实数的值
9．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数（其中），．
(1)证明：函数在区间上单调递增；
(2)判断方程在R上的实根个数．
10．（2023·河北衡水·河北枣强中学校考模拟预测）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【真题感知】
1．（·全国·高考真题）已知函数.证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
2．（福建·高考真题）已知函数
（1）求在区间上的最大值
（2）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
3．（福建·高考真题）已知函数（为自然对数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.