新高考数学一轮复习精品讲练测第3章第12讲 利用二阶导函数解决函数问题（培优）（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
一般导数题目中求出导函数即可判断原函数的单调性，而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题， 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文会说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
二阶导的定义
定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导.
定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作
函数极值的第二判定定理
若在附近有连续的导函数, 且
（1）若, 则在点处取极大值;
（2）若, 则 在点处取极小值
曲线的凹凸性
设函数 在区间 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 内是凸的。从图象上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。
设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在 内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间 上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有
则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧;
如果恒有
则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧。
曲线的拐点
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点不一定都是拐点。
解决这类题的常规解题步骤为:
求函数的定义域;
求函数的导数 , 无法判断导函数正负;
构造求 , 求 ;
列出 的变化关系表;
根据列表解答问题。
考点一、二阶导与函数单调性
1．（2023·江苏·统考二模）已知函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若有且只有2个不同的零点，求的取值范围.
【答案】(1)函数的单调减区间是，单调增区间是
(2).
【分析】（1）利用导数法求函数的单调性的步骤即可求解；
（2）利用分类讨论及函数的零点与单调性的关系，再利用导数法求函数的单调性及最值，结合函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】（1），，
，恒成立，
所以在递增.
所以当，；
，
所以函数的单调减区间是，单调增区间是.
（2），
①当时，由（1）知有且只有一个零点.
②当时，，则在区间上单调递减，
所以至多有一个零点.
③当时，，，
又因为的图象在区间上连续不间断，
所以，使得，即.
令，，
所以在区间上单调递增，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增.
所以，
所以无零点.
④令，当时，，
所以在区间上单调递减，
所以，有，
所以，则.
当时，，，
又因为的图象在区间上连续不间断，
所以，使得，即.
令，，
所以在区间上单调递增，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增.
所以.
令.
，
又因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且的图象连续不间断，，，
所以有且只有2个零点.
综上，若函数有且只有2个零点，则实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决此题第一问是利用二阶导数及函数单调性与导数的正负的关系即可，第二问是利用分类讨论的思想及导数法求函数的单调性和最值，结合函数单调性与函数零点的关系及零点的存在性定理即可.
2．（2021春·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调性．
【答案】(1)
(2)函数在上单调递减
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求斜率,根据点斜式即可求解切线方程,
（2）利用导数确定函数的单调区间.
【详解】（1），
．
，．
曲线在点处的切线方程为，即．
（2）令，
则．
令，得；
令，得．
在上单调递减，在上单调递增．
，，，
当时，，即．当且仅当时等号成立，
当时，函数单调递减．
1．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)求证：有唯一极值点，且.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】(1)利用二次求导讨论，即可求解；
(2)先对函数求导可得，再对函数求导，根据零点的存在性定理知存在唯一的使得，得出的取值情况，进而得出的单调性，则有唯一的极小值点，且，即可求解.
【详解】（1）若，，所以，，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，即在上单调递增.
又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（2）的定义域为，，
令，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
又，，
所以存在唯一的，使得，
且当时，，当时，，
又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以有唯一的极小值点，
因为，所以，，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
所以有唯一极值点，且.
【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数或二阶导数研究函数的单调性、极值与最值，要掌握极值与极值点的定义，缕清极值点与方程的根之间关系，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数或二阶导数研究新函数的性质即可解决问题.
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中
(1)当时，讨论单调性；
(2)证明：有唯一极值点，且.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；
(2)证明见解析.
【分析】（1）首先确定定义域，再应用二阶导数的符号判断的单调性，进而分区间判断的符号，即可确定的单调性.
（2）求的二阶导，根据其符号知在上单调递增，令得到，构造结合其单调性，注意利用导数研究的符号，再用放缩法判断、的符号，即可判断零点的唯一性，进而得到，结合基本不等式求证.
【详解】（1）当时，，定义域为，
则，，
所以在上单调递增，又，
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增.
综上，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题意，，，则在上单调递增，至多有一个零点，
令，其中，则，
当时，，单调递增.
当时，，单调递减，
所以，即，于是，
令，则，两边取自然对数可得，
令，则在上单调递增.
故，又，
所以在上有唯一零点，则有唯一零点，即有唯一极值点.
下证：
因为，所以，可得，
所以，当且仅当时等号成立，
综上，有唯一极值点且，得证.
【点睛】关键点点睛：第二问，利用二阶导数研究一阶导数的单调性，根据零点所得的等量关系构造，结合单调性、零点存在性定理判断零点的唯一性，进而利用基本不等式证明不等式.
考点二、二阶导与函数极值、最值
1．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)当，方程有两个不同的实根时，且恒成立，求正数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，讨论，并结合零点存在性定理，判断极值点的个数；
（2）首先利用零点，将等式转化为，再构造函数，再利用导数，讨论的取值，结合端点取值，即可求的取值范围.
【详解】（1）由题可得设，，
①当时，递增，且，所以有一个变号零点，
②当时，在上递增，在上递减，且，
[1]当时，即时，所以无变号零点；
[2]当，即时，，
由取，则，所以有两个变号零点；
综上：当时，有1个极小值点，无极大值点；
当时，有1个极小值点和1个极大值点；
当时，无极值点.
（2）时，即即有两个不同的根，
，，
，
即，即，
.
下证对恒成立，
设，
①当时，，
；
②当时，，
使得时，，所以在上，，在上，，不存在使不等式成立；
综上：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数结合函数性质，零点，不等式恒成立的综合应用问题，本题第二问的关键首先利用零点，变形，并构造函数为，利用导数，尤其是和端点值比较大小，求参数的取值范围.
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)若，是函数的极值点，证明：；
(2)设函数，若函数与函数的单调区间相同，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先得到，设函数，进而得到，结合，即可得到函数的单调性，进而求证；
（2）与（1）同理可先得到函数的单调性，进而得到函数的单调性，进而得到对任意恒成立，即恒成立，再结合最值进行求解.
【详解】（1）证明：由题意，，
则，
令，
则，
所以函数在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，.
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，
所以，命题得证.
（2）由，
所以，
设，
则，
所以函数在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，
则当时，；当时，.
即在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
由，则，
所以对任意恒成立，即恒成立，
所以，将带入上式，
整理得，
因为，所以，
所以，所以，
即的取值范围为．
【点睛】方法点睛：在利用导数分析函数的单调性时，常常遇见参数的干扰，导致无法进行常规分析导函数的正负，这时经常使用对导函数再次求导的方法进行分析，再结合一些特殊值确定导函数的正负，从而求解.
1．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知函数
(1)若，求f(x)在（，0）上的极值；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围
【答案】(1)极大值是，无极小值
(2)
【分析】(1)先求导数,再根据导数正负求单调性,最后导数为零时求极值即可;
(2)根据单调性求最值,把在上恒成立转化为最小值大于等于0,分情况讨论求解可得.
【详解】（1）若x，则，令，，
则，令
则
,
所以在上恒成立，在上单调递增，
所以，所以在上恒成立，即g(x)在上单调递减，所以f'(x)在上单调递减，
又所以f(x)在（，）上单调递增，在（，0）上单调递减．
又，所以f(x)的极大值是
（2）由（1）可知函数，在上单调递减，即在上单调递减，
易知为偶函数．
所以f'(x)在上单调递增，又
当，即时，，所以f(x)在 上单调递增，所以，符合题意;
当，即时，，又，
存在，使得，所以存在，使得，所以f(x)在上单调递减，
在单调递增，故，不合题意．
综上，实数a的取值范围是．
2．（2022秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)求的极值；
(2)若有两个相异的实根，证明：.
【答案】(1)极小值，无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）通过二次求导确定的导函数有唯一零点，进而确定的单调区间以及极值；
（2）先将题中等式变形为，通过构造函数有两个不同零点确定参数m的范围，再将方程的两相异实根代入，并令，将原不等式中和m均替换为t表示，最后构造关于t的函数，利用求导判断不等式成立即可.
【详解】（1）因为
所以，
令，
则，
因为，所以，所以在单调递增，又因为，
所以当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以当时，取得极小值无极大值.
（2）因为有两个相异实根，
即有两个相异实根，
令，则，
当时，，当时，
所以在单调递减，单调递增，
因为，故.
当时，当时，，
设，则，
故当时，，
故当时，，
故当，有两个不同的零点，
所以
因为有两个相异实根，所以，令，则，
所以，所以
又因为，要证，
只需证，
因为，所以只需证.即证，
因为，所以只需证，即证，
令，则
所以在上单调递增，
，即当时，成立.
所以.
【点睛】本题主要考查双变量问题，难度较大，解题关键在于通过实根建立方程，再借助换元将双变量转化为单变量，进而构造函数将恒成立问题转化为最值问题，求导确定单调性，使问题得到解决.
考点三、二阶导与不等式证明
1．（2023春·湖北·高三十堰一中校联考期中）已知函数，.
(1)证明：当时，；
(2)若，求a的取值范围；
(3)证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用二次导数讨论函数在单调性，由单调性可证；
（2）先根据在处的导数符号可得，然后利用放缩放判断导数符号，再根据单调性即可验证；
（3）利用不等式，结合放缩法和裂项相消法可证.
【详解】（1），记，
，故单调递增，
又，单调递增，
所以，即.
（2），，若时，，则存在区间，使得单调递增，
故必有，即，验证：当时，.
由（1）可知，
，即在上单调递增，满足题意，
综上，.
（3）由（2）可知，当，时，，取，
则①，
.
②，，
综上.
【点睛】本题不等式直接证明难度较大，对于此类不等式经常需要进行适当的放缩，本题难点在于利用（2）中结论，以及不等式问题中一些常见结论进行转化，要求学生熟记常见结论并能灵活运用.
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)证明：；
(2)设函数，，其中，若函数存在非负的极小值，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直接求导得，再令，再次求导利用余弦函数的有界性即可得在上单调递增，结合即可得到，即证明原不等式；
（2），结合（1）中的结论再分和讨论即可.
【详解】（1），令，则．
∵当时，，∴恒成立，即在上单调递增．
又，
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增．
∴．∴．
（2）．
由（1）知在上单调递增，∴当时，，即；当时，，即．
（i）当时，在上恒成立，∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增．
∴，即．
（ii）当时，由，解得，，函数在上单调递减．
①当时，．当时，；
当时，；
当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
∴．不符合题意．
②当时，．当时，有恒成立，
故在上单调递减．∴函数不存在极小值，不符合题意．
③当时，．当时，；当时，；当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
∴．不符合题意．
综上所述，若函数存在非负的极小值，则a的取值范围为．
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用（1）中的结论：即的单调性，然后再对进行分类讨论，即分，，以及讨论即可.
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)当时，求证：．
(2)令，若的两个极值点分别为m，n（m