新高考数学一轮复习精品讲练测第3章第13讲 利用洛必达法则解决导数问题（培优）（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
洛必达法则：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及；
(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)，
那么 =。 型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及；
(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)，
那么 =。 型
注意：
1. 将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。
2. 洛必达法则可处理 型。
3. 在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限。
4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。
, 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。
考点一、洛必达法则的直接应用
1．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】利用洛必达法则直接求解即可.
【详解】.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】D
【分析】利用洛必达法则直接求解即可
【详解】，
故选：D
1．（2022·广东韶关·校考模拟预测）年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有 ．
【答案】
【分析】由洛必达法则，分别对分子和分母求导，代入即可求得该极限值.
【详解】由题意可得：．
故答案为：.
2．（2022春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有 ．
【答案】2
【分析】根据题中所给方法也就是洛必达法则，直接计算可求得答案.
【详解】由题意可得：,
故答案为：2.
3．（2023春·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：，则 ．
【答案】2
【分析】根据题设对分子、分母分别求导再求极限即得.
【详解】由题可得.
故答案为：2.
4．（2023·全国·高三专题练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则 ．
【答案】/0.5
【分析】依据洛必达法则去计算即可解决.
【详解】
故答案为：
考点二、利用洛必达法则解决函数综合问题
1．（全国高考）已知 恒成立, 求 的取值范围
解: 记 ,
则
则
所以, 在 单调递增, 且
所以 时, 时,
即 在 上单调递减, 在 上单调递增
所以
所以
分析
上式中求 用了洛必达法则 当 时, 分子 , 分母 , 符合 不定形式, 所以
2．（天津高考） 恒成立, 求的取值范围
解:
记 ,
则
则
所以, 当 时, 单调递减,
所以 即
所以
所以
所以
3．（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围
解:
记 ,
则
记
则
所以, 在 单调递增, 所以
所以, 在 单调递增, 所以
即在 上 , 所以 在 上单调递增
所以
所以
1.（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围
解:
则
记
则
所以, 当 时, 单调递增,
所以 ，即 ，
所以
所以
所以
2.（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围.
解:
记 ,
则
记
则
所以, 当 时, 单调递增,
所以 , 即 ,
所以
所以
所以
3.（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围
解：当 时， ;
当 时, 不等式可化为 .
记 ,
则 ,
记 , 则 ,
当 时, ; 当 时, .
因为 , 并且 , 所以 . 这时 符合题意. 综上可知, 的取值范围是 .
【能力提升】
1．（2020秋·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考阶段练习）已知函数
（I）求证
（II）若取值范围.
【答案】（I）见解析（II）
【详解】试题分析：（1）将问题转化为证明与，从而令、，然后利用导数求得的单调性即可使问题得证；（2）由（1）中的结论得≥，从而令，通过多次求导得出其单调性即可求出的取值范围．
试题解析：（1）要证时，，只需证明.
记，则，
当时，，因此在上是增函数，故，
所以.
要证时，，只需证明，
记，则，
当时，，因此在上是增函数，故，
所以，.
综上，，.
（2）（解法一）
.
设，则，
记，则，
当时，，于是在上是减函数，
从而当时，，故在上是减函数，于是，
从而，
所以，当时，在上恒成立.
下面证明，当时，在上不恒成立，
.
记，则，
当时，，故在上是减函数.
于是在上的值域为.
因为当时，，所以存在，使得此时，即在上不恒成立.
综上，实数的取值范围是.
（解法二）
先证当时，.
记，则，
记，则，当时，，于是在上是增函数，因此当时，，从而在上是增函数，因此.
所以当时，.
同理可证，当时，.
综上，当时，.
因为当时，
，
所以当时，在上恒成立.
下面证明，当时，在上不恒成立，因为
.
所以存在（例如取和中的较小值）满足.
即在上不恒成立.
综上，实数的取值范围是.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．
【方法点睛】求证不等式，一种常见思路是用图像法来说明函数的图像在函数图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数，通过导数研究函数的性质，进而证明欲证不等式．
2．（2022秋·贵州贵阳·高三统考阶段练习）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)的极大值为，极小值为
(2)
【分析】（1）求导，利用导数的符号变化确定函数的单调性，进而求出函数的极值；
（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为，构造，利用导数研究函数的极值和最大值.
【详解】（1）当时，，
其定义域为，，
令，得或，
令，得，
所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以的极大值为，
极小值为.
（2）由题意，得，
因为对任意，恒成立，
所以，即
在上恒成立，即；
令，，
则，
令，即，得，
令，即，得，
所以是的极大值，也是的最大值 ，
则.
【点睛】方法点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
3．（2023·全国·高三专题练习）设函数，．
(1)当时，证明在是增函数；
(2)若，，求的取值范围．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）利用导数证明，即可求导，得，由此可证明，
（2）根据和的两种情况，分类讨论求解的最值，即可求解.
【详解】（1）令则,当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，
当时，，
由于当时，，所以，所以在是增函数，
（2），
由于，当且仅当等号成立，故，
当时，，故对任意的，，于是单调递增，故，符合题意，
由得，当时，，故当时，，故此时单调递减，故不符合要求，故舍去，
综上可知：
4．（2022秋·辽宁·高三辽宁实验中学校考开学考试）设函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）的取值范围是.
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求，令
通过对 的取值的讨论，结合二次函数的知识，由导数的符号得到函数 的单调区间；（Ⅱ）根据（1）的结果这一特殊性，通过对参数的讨论确定的取值范围.
试题解析：函数的定义域为
令，
（1）当 时， ， 在上恒成立
所以，函数在上单调递增无极值；
（2）当 时，
①当时， ，
所以，，函数在上单调递增无极值；
②当 时，
设方程的两根为
因为
所以，
由可得：
所以，当时， ，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减；
当时， ，函数单调递增；
因此函数有两个极值点．
（3）当 时，
由可得：
当时， ，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减；
因此函数有一个极值点．
综上：
当 时，函数在上有唯一极值点；
当时，函数在上无极值点；
当时，函数在上有两个极值点；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（1）当时，函数在上单调递增，
因为
所以，时， ，符合题意；
（2）当 时，由 ，得
所以，函数在上单调递增，
又，所以，时， ，符合题意；
（3）当 时，由 ，可得
所以 时，函数 单调递减；
又
所以，当时， 不符合题意；
（4）当时，设
因为时，
所以 在 上单调递增，
因此当时，
即：
可得：
当 时，
此时， 不合题意.
综上所述，的取值范围是
考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.
5．（2023春·陕西西安·高三西安建筑科技大学附属中学校考期中）设函数．
(1)若在点处的切线斜率为，求a的值；
(2)当时，求的单调区间；
(3)若，求证：在时，．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）通过计算，可求解；（2）由（1）知：，讨论导数的正负即可得到单调性；（3）通过变形，只需证明即可，利用不等式，即可证明.
【详解】（1）解：函数，则，
因为在点处的切线斜率为，
所以，解得.
（2）由（1）知：，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（3），
令，则，
因为，所以，
则在上单调递增，又，所以恒成立，即；
令，，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即，
所以，得证.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）用分别表示,；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【详解】试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)借助题设条件运用导数的知识求解.
试题解析：
（1）因为，由题设，则有，解得.
（2）由（1）知，，
令，
所以 ，
当时，，或，
①当时，有，
当时，，是减函数.又因为，所以时，，所以，故时，不恒成立；
②当时，有
当时，，则在上为增函数．所以，当时，，即.综上所述，所求的取值范围为 .
考点：导数在研究函数单调性和最值等方面的有关知识的综合运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求参数之间的关系.求解时借助题设条件和导数的几何意义,先求函数的导函数,再运用函数与直线相切的关系求出；第二问的求解中借助导数,先构造函数将问题等价转化为函数的最小值是的问题.进而通过分类分析推证求得实数的取值范围,从而使得问题简捷巧妙获解.
7．（2021春·江苏扬州·高三扬州市江都区大桥高级中学校考阶段练习）设函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若当时恒成立，求的取值范围．
【答案】(1) f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加;(2) a的取值范围为(－∞，].
【分析】(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.分别令f′(x)0
可求的单调区间；
(2求导得到)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故问题转化为f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而对1－2a的符号进行讨论即可得出结果.
【详解】(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加
(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由ex>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x)