新高考数学一轮复习精品讲练测第4章：三角函数 模拟测试（2份，原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．已知角的终边过点，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义可得出关于的方程，解出的值，再利用三角函数的定义可求得的值.
【详解】由题得，解得，所以点，所以．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
2．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出变换后的函数解析式，再探讨在两个指定区间上的单调性作答.
【详解】函数，即，将其图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是，
当时，，因为余弦函数在上不单调，
因此函数在上不单调，AB错误；
当时，，因为余弦函数在上单调递减，
因此函数在上单调递减，C错误，D正确.
故选：D
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案.
【详解】因为，所以
.
故选：A.
4．用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）围成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长，求出圆锥的底面半径、高，得到，利用二倍角公式即可求出．
【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为．
∵扇形的圆心角为
∴，∴
∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长
∴，∴
∴
∴
∴．
故选：A．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角的余弦公式求解.
【详解】解：因为，
所以，
即，
所以．
，
故选：B．
6．已知为第二象限角，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由平方关系和辅助角公式可求解.
【详解】为第二象限角，，
原式.
.
故选：B.
7．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的变换规则得到的解析式，即可得到的解析式，再将函数写成分段函数，利用辅助角公式化简，最后结合正、余弦函数的性质计算可得.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到，
所以，
所以，，
所以，，
当，时，，时，
则，即；
当，时，，时，
则，即；
综上可得的值域为.
故选：A
8．已知函数为奇函数，（a为常数），且恒成立．设与的图象在y轴右侧的交点依次为，O为坐标原点，若的面积最小值为，且为钝角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求，然后作与的大致图象，根据面积的最小值求的最大值，根据为钝角求的最小值，然后可得.
【详解】因为是奇函数，所以，所以．
因为，所以，所以，
又（a为常数）．
且恒成立，
所以，
即，所以，．
如图，设的周期为T，在y轴右侧的第二个零点为B，易知四边形OA1BA2是平行四边形，，．
则
，
解得；
因为，所以，解得；
所以的取值范围是．
故选：D
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，有选错得 0 分，部分选对得 2 分）
9．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递增
D．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象
【答案】AB
【分析】根据辅助角公式和函数的最小正周期可得，然后利用的性质可得.
【详解】，
因最小正周期为，，故，得，
故，
选项A：
，故A正确；
选项B：
的对称轴为，，
即，，
当时，，故B正确；
选项C：
令，，
得，，
故的单调递减区间为，，
当时，的单调递减区间为，故C错误；
选项D：
将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到，
故D错误
故选：AB
10．关于函数，则下列结论正确的有（ ）
A．是奇函数B．的最小正周期为
C．的最大值为D．在单调递增
【答案】AC
【分析】利用函数的奇偶性定义、三角函数的周期性以及函数周期的求法判断AB；再根据周期性研究函数在区间上的最值、以及单调性，判断CD.
【详解】由题知，定义域为，
，
所以是奇函数，故A正确；
因
，
所以是的周期，故B错；
，
当且仅当时，等号成立，
由得，
即，所以，故C正确；
因，
，
则，
所以在上不是单调递增的，故D错.
故选：AC
11．已知，，，下列选项正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得，进而可判断A，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD.
【详解】由于且，所以，
又，，
故或，当时，显然不满足，故，所以，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C, ，故C错误，
对于D，由B可知，所以，故D正确，
故选：BD
12．已知函数（，）的最小正周期，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则（ ）
A．函数的图像关于直线对称B．函数在上单调递减
C．方程在上有3个解D．函数在上有两个极值点
【答案】ABD
【分析】由题可得，，A选项，将代入，验证其值是否为可判断选项；B选项，由在上的单调性可判断选项；C选项，验证在上是否有3个解可判断选项；D选项，由在上的极值点可判断选项.
【详解】由题意得，则，又，故，所以，
则的图像向右平移个单位长度后对应的解析式为，
因其过原点，则，
结合，可得，所以，
A选项，，则的图像关于直线对称，故A正确；
B选项，当时，，
因为，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B正确；
C选项，当时，，
由，可得，
所以方程在上有2个解，故C错误；
D选项，当时，，
因为，，
所以函数在上有两个极值点，故D正确；
故选：ABD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知函数，把的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 ．
【答案】
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出的解析式，代值计算可得出的值.
【详解】因为
，
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
则，
因此，.
故答案为：.
14．已知，都是锐角，，则= .
【答案】2
【分析】法一：利用两角和与差的三角函数公式求解；法二：利用特殊值法求解.
【详解】法1：.
，
.
法2：由，令，
则，
则，
故答案为：2
15．已知均为锐角，，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】化切为弦，然后利用两角和余弦公式展开，利用基本不等式求解最值即可.
【详解】，
因为均为锐角，则，因此，
因此
，当且仅当时，等号成立.
故答案为：
16．若函数，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】因为三角函数具有周期性，令，对函数求导数，研究导函数在区间内的符号，得到函数的单调性，求出最小值.
【详解】不妨设，
则在上的单调性如下表：
，，因为，
所以函数的最小值为.
故答案为：.
四、解答题（本题共 6 小题，其中 17 题 10 分，18、19、20、21、22 题各 12 分， 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数的最小正周期为，且，
(1)求；
(2)将图象往右平移个单位后得函数，求的最大值及这时值的集合．
【答案】(1)，
(2)1；的集合为．
【分析】（1）根据周期确定参数，再根据结合的取值范围确定；
（2）先确定函数的解析式，化简，确定最大值，再利用整体法确定取最大值时值的集合．
【详解】（1）因为最小正周期为，所以；
由可知，，
即，，得，，
又因为，所以．
（2）由（1）知，
因为将图象往右平移个单位后得函数，所以，
即，
所以
因为，所以的最大值为1，
当，即时取得，
故取最大值时值的集合为．
18．已知函数的图像相邻对称轴之间的距离是，______；
①若将的图像向右平移个单位，所得函数为奇函数．
②若将的图像向左平移个单位，所得函数为偶函数，
在①，②两个条件中选择一个补充在______并作答
(1)若，求的取值范围；
(2)设函数的零点为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦函数图像的性质得出，选①：由正余弦函数的奇偶性得出，进而由二次函数的性质求解即可；选②：由正余弦函数的奇偶性得出，进而由二次函数的性质求解即可；
（2）由得出，再由诱导公式结合倍角公式求解即可.
【详解】（1）因为函数的图像相邻对称轴之间的距离是，
所以，解得，所以，
选①：
当将的图像向右平移个单位，得到函数，
因为为奇函数，所以，即，
因为 ，所以，则
则，
因为，所以，则，
所以.
选②：的图像向左平移个单位，得到函数，
因为函数为偶函数，所以，即.
因为 ，所以，则
则，
因为，所以，则，
所以.
（2）因为函数的零点为，
所以，则，
所以，
.
19．已知函数在区间上单调，其中，，且．
(1)求的图象的一个对称中心的坐标；
(2)若点在函数的图象上，求函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦函数的对称性，即可得出答案.
（2）由点在函数的图象上，可得，知函数在区间上单调递减，再由和，可得，又，可得出，即可得出结果.
【详解】（1）由函数在区间上单调，
且，可知，
故的图象的一个对称中心的坐标为
（2）由点在函数的图象上，
有，又由，
，
可知函数在区间上单调递减，
由函数的图象和性质，
有，
又，有，
将上面两式相加，有，
有，
又由，可得，
则，
又由函数在区间上单调，
有，可得，可得，
故．
20．已知函数.
(1)求的值；
(2)从①；②这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在上的最小值，并直接写出函数的一个周期.
【答案】(1)2
(2)详见解析
【分析】（1）代入公式即可求得的值；
（2）选①时，先化简题给解析式再利用三角函数的性质即可求得函数的周期和在上的最小值；选②时，利用二次函数性质即可求得函数在上的最小值，并直接得到函数的一个周期.
【详解】（1），则
（2）选①时，
由，可得，
则，则，
则当，即时函数取得最小值，
函数的周期为
选②时，
由，可得，则
则当或时函数取得最小值1，
函数的周期为.
21．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由三角函数图象的最大值与最小值，求出，得到最小正周期，求出，再代入特殊点的坐标，求出，得到函数解析式；
（2）先根据平移变换和伸缩变换得到，令，换元后利用整体法求出函数的单调性和端点值，得到，再根据对称性得到，相加后得到，求出答案.
【详解】（1）由图示得：，解得：，
又，所以，所以，
所以.
又因为过点，所以，即，
所以，解得，
又，所以，所以.
（2）图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，
当时，，
令，则，
令，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
且，
,
所以时，.当时，方程恰有三个不相等的实数根.
因为有三个不同的实数根，
且关于对称，关于对称，
则，
两式相加得：，
即，所以.
22．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)已知在时，求方程的所有根的和.
【答案】(1)， ，
(2)
【分析】（1）将函数变形为，由函数的周期及奇偶性可求解；
（2）解方程得或，即或，利用正弦函数的性质可求解.
【详解】（1）
图象的相邻两对称轴间的距离为，
的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，，又，，
故的解析式为，
令，得
函数的递减区间为，.
（2），，，
方程可化为，
解得或，即或
当时，或或
解得或或
当时，，所以
综上知，在时，方程的所有根的和为
x
0


+
0
-
0
+

极大

极小