新高考数学一轮复习精品讲练测第5章第02讲 平面向量的数量积（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
1．平面向量的数量积
向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积运算律要准确理解、应用，
例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.
3．在用|a|＝eq \r(a2)求向量的模时，一定要先求出a2再进行开方．
考点一、求平面向量的数量积
1．（重庆·高考真题）设向量，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
3．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
4．（浙江·高考真题）已知平面上三点、、满足，，，则的值等于 ．
5．（2020·北京·统考高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ．
1．（上海·模拟预测）已知，，求 ；
2．（上海·高考真题）若的夹角为，则 .
3．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知向量,,若，则 ．
4．（2021·全国·统考高考真题）（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
考点二、辨析数量积的运算律
1．（上海·高考真题）若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·浙江·统考高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
3．（湖北·高考真题）已知为非零的平面向量．甲：乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
1．（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则D．恒成立
2．（2022·江苏南通·海安高级中学校考二模）关于平面向量，下列说去不正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若，则D．
3．（2023·安徽蚌埠·统考二模）关于平面向量，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
考点三、模长综合计算
1．（湖南·高考真题）已知向量，，则= .
2．（全国·高考真题）设非零向量，满足，则
A．⊥B．
C．∥D．
3．（江苏·高考真题）已知向量的夹角为，则 ．
4．（2020·全国·统考高考真题）设为单位向量，且，则 .
5．（2021·全国·高考真题）若向量满足，则 .
1．（2023·云南·统考模拟预测）平面向量与的夹角为，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．D．5
3．（2023·陕西西安·交大附中校考模拟预测）已知，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
考点四、夹角综合计算
1．（福建·高考真题）已知，是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·全国·统考高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知向量满足，且，则与的夹角为 ．
2．（2023·广东深圳·统考二模）已知平面向量不共线，若，则当的夹角为时，的值是 .
3．（全国·高考真题）向量满足，且，则与夹角的余弦值等于 ．
4．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（ ）
A．45°B．60°C．135°D．150°
5．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
考点五、垂直综合计算
1．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（安徽·高考真题）设向量，，则下列结论中正确的是
A．B．
C．与垂直D．
3．（2020·山东·统考高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
4．（2020·全国·统考高考真题）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
1．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南·校联考二模）（多选）已知向量，//，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广东广州·统考三模）（多选）已知向量，，则（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量是
考点六、求参数值或范围综合计算
1．（2021·全国·统考高考真题）已知向量．若，则 ．
2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知平面向量，若，则 .
3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（ ）
A．B．1C．D．
4．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）已知，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围 .
1．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A．8B．C．4D．
2．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知向量，，，且，则实数（ ）
A．-1B．0C．1D．任意实数
3．（2023·吉林白山·统考二模）已知向量，，，若，则 ．
考点七、数量积范围的综合问题
1．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（全国·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A．B．C．D．
3．（福建·高考真题）已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）.
A．B．C．D．
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在边长为2的菱形中，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（ ）
A．3B．6C．7D．9
4．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）在中，，点在线段上，，点是外接圆上任意一点，则最大值为（ ）
A．B．C．D．
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则向量的夹角为锐角
2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）若平面向量与满足，且，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知向量，且，则（ ）
A．B．C．或D．或
4．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知向量，，记向量与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）

A．B．
C．D．
二、多选题
6．（2023·山西·校联考模拟预测）设向量，，则（ ）
A．B．与的夹角为
C．与共线D．
7．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为
D．若向量与非零向量共线，则
三、填空题
8．（2023·河北张家口·统考三模）已知向量均为单位向量，，向量与向量的夹角为，则 .
9．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是 ．
10．（2023·福建宁德·校考二模）在平行四边形中，已知，，，，则 ．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（ ）
A．3B．15C．或15D．3或15
2．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知平面向量，，向量与的夹角为，则（ ）
A．2或B．3或C．2或0D．3或
3．（2023·重庆巴南·统考一模）如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）

A．B．3C．D．48
二、多选题
4．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，记，则（ ）

A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量为
5．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知非零向量，，满足：在方向上的投影向量为，，且，则下列选项正确的有（ ）
A．若与共线时，则B．若时，则与共线
C．若，则D．若，则
三、填空题
6．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为 ．
7．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知向量，，且，则向量在方向上的投影为 ．
8．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为 .
9．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知，则在上的投影为 .
10．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）周长为4的，若分别是的对边，且，则的取值范围为 ．
【真题感知】
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
3．（湖北·高考真题）设，，，则等于（ ）
A．B．0C．D．
4．（福建·高考真题）在中，，则k的值是（ ）
A．5B．C．D．
二、填空题
5．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，若，则 ．
6．（2022·全国·统考高考真题）已知向量．若，则 ．
7．（上海·高考真题）已知向量、，若，则 ．
8．（江西·高考真题）已知向量，则的最大值为 .
9．（北京·高考真题）已知向量，且，那么与的夹角的大小是 .
三、双空题
10．（2021·北京·统考高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
； .
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，
则数量|a||b|cs θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))