新高考数学一轮复习精品讲练测第5章第05讲 平面向量之极化恒等式（培优）（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
极化恒等式
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形 中,
则
在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说:
极化恒等式的适用条件
共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化
(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题
在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下
第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点;
第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;
第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积
如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。
考点一、极化恒等式求值
1．（全国·高考真题）设向量满足，，则
A．1B．2C．3D．5
【答案】A
方法一：基本方法
【详解】试题分析：因为，所以………………①，
又，所以…………②，
②得，所以
考点：1．向量模的定义及运算；2．向量的数量积．
方法二：极化恒等式
由极化恒等式可得：
故选A．
2．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
方法四：极化恒等式
设CD中点为O点，由极化恒等式可得：
故选：B.
1．（江苏·高考真题）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 .
【答案】
方法一
【详解】因为，
，
因此，
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．
方法二：极化恒等式
因为是上的两个三等分点,所以
联立解得:
所以
如图,在中,已知,点分別在边上,
且,若为的中点,则的值为________
解：取的中点,连接,则,
在中,,
考点二、极化恒等式求范围
（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
方法一
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
方法二：极化恒等式
记AB的中点为M，连接CM，则
由极化恒等式可得：
即
故选：D
如图所示,正方形的边长为分别在轴,轴的正半轴(含原点)上滑动,则的最大值是_________
答案: 2
解:如图,
取的中点,的中点,连接,则
（当且仅当三点共线时等号成立.)由极化恒等式得
（全国·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A．B．C．D．
【答案】B
方法一
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
方法二：极化恒等式
解：取的中点,连接,取的中点,连接,
由是边长为2的等边三角形,为中线的中点,
则：
所以.
故选：．
如图,在平面四边形中,,则的最大值为____
解：取的中点,连接,
由,
由四点共圆,且直径为.
则.
所以.
设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______
解：如图所示,取的中点为点到的距离,
由极化恒等式,,
,
则
已知的斜边,设是以为圆心,1为半径的圆上任意一点,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解：如图所示,
在Rt上,不妨取的中点,则.
设圆的半径为,而
,则,
,则,
因此的取值范围是.
故选：C
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知的半径为2，，则（ ）

A．1B．-2C．2D．
【答案】C
【分析】判断形状可得，然后根据数量积定义直接求解即可.
【详解】由题知，为正三角形，所以，所以.
故选：C
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）在矩形中，.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算计算数量积，由三角函数的有界性即可求解.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则
,设 ，
故
所以 其中，
由于，所以，
故选：B

3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边的边长为2，平面内一点满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解与合成，再利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】，
，
.
故选：C.
4．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）在中，，，点是线段上靠近点的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先用，两个向量表示，然后根据数量积的运算即可得到.
【详解】
，
，
因，所以，
又，
所以，
故选：B
5．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若点是圆：上的任一点，直线：与轴、轴分别交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．8
【答案】C
【分析】由于直线：与轴、轴分别交于、两点，分别令，求得点坐标，再将圆：化成标准方程，由参数方程表示点的坐标，再代入中，由三角函数的最值即可求得的最小值.
【详解】令则，即，
令，则，即，
圆：，则设点，
当时取得最小值.
故选：C.
6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在边长为2的菱形中，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以为基底，求，利用函数性质求最小值.
【详解】边长为2的菱形中，，如图所示，

则，，
，，
，
由于，所以当时，有最小值.
故选：B
7．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，设，由和可列方程求出点E，再根据数量积坐标运算即可求解.
【详解】建立如图所示直角坐标系：

则，
设，则
且，
，解得，
，
在矩形中，为的中点，
所以，由，
所以，
，
故选：D.
8．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】如图所示，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，则，，
由，得，
所以，，
所以．

故选：C.
二、填空题
9．（2023·河北·校联考一模）已知O为的外心，若，且，则 .
【答案】
【分析】由平面向量数量积公式进行求解.
【详解】由圆的性质可得，，
故.
故答案为：
三、双空题
10．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，.若为线段中点，则 ；若为线段（含端点）上的动点，则的最小值为 .

【答案】 /5.25
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，结合平面向量的数量积公式和二次函数的性质即可求出.
【详解】因为，，所以为等边三角形，
因为，，所以在和中，，，
则，得，，
因为在中，，则，得，又，所以，
以为原点，以 所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，，，，
则；
设，，，
则，
因为，所以时，的最小值为.
故答案为：；.

【能力提升】
一、单选题
1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】由题设易知且，，进而求即可得答案.
【详解】由圆O是△ABC的外接圆，且，故，
所以，，
则
，
仅当时等号成立.
故选：A
2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，用数量积的坐标运算.，转化为直线与圆有公共点求参数最值问题.
【详解】因为，又，所以，所以，
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系：

则，，设，则，
，，
所以，
设，即，
依题意直线与圆有公共点，
所以，得，
所以的最小值为.
故选：A
3．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】由题意可得出，点G为的重心，所以，，再由向量的数量及定义求解即可.
【详解】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，，
所以，
所以，则为等边三角形，因为，
所以，设点M为BC的中点，则，所以，
所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线，
所以，
同理可得点AB，AC的中线过点G，
所以点G为的重心，故，
在等边中，M为BC的中点，则，
所以.
故选：A

4．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别在上，且，点是圆弧上的动点（包括端点），则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，利用平面向量的坐标运算得，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系

则，设，则，
所以，
因为，所以，又，则，所以，当且仅当时，等号成立
则的最大值为，所以的最大值为，即的最小值为.
故选：A.
5．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）在中，，点在线段上，，点是外接圆上任意一点，则最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据余弦定理求出线段的长度，再根据正弦定理求出外接圆的半径，最后将写成后再求，当与同向时，取得最大值.
【详解】在中，，，
在中，由余弦定理得，
，
又因为，所以，解得，
从而，.
设外接圆的半径为，由正弦定理得，
故.
所以，
当与同向时，取得最大值为.
故选：A.
【点睛】
6．（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（ ）
A．3B．6C．7D．9
【答案】C
【分析】先根据投影向量的公式结合题干条件得到，然后利用向量的运算将用表示，然后用向量的数量积进行运算.
【详解】
根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为，
由题意，，于是，即.
又，
∴．
故选：C
7．（2023·重庆巴南·统考一模）如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）

A．B．3C．D．48
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设，，（），即可得到、，根据数量积的坐标表示得到，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则、、、，
设，，（），则，
所以，
所以，即，
所以，，
所以
，
又，所以当时取得最小值为.

故选：A
8．（2023·天津红桥·统考二模）已知菱形ABCD的边长为2，，点E在边BC上，，若G为线段DC上的动点，则的最大值为（ ）
A．2B．
C．D．4
【答案】B
【分析】利用向量的数量积的定义及数量积的运算，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意可知，如图所示
因为菱形ABCD的边长为2，，
所以,，
设，则
，
因为，所以,
,
,
当时，的最大值为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用向量的线性运算求出，结合向量数量积定义和运算即可.
二、填空题
9．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】设点关于点的对称点为，则点在圆上，计算可得出，求出的取值范围，即可得出的取值范围.
【详解】设点关于点的对称点为，则点在圆上，
所以，
，
因为
，
所以，，
因为，
当且仅当、同向且、反向时，，
当时，则，所以，，
所以，，所以，，
因为，则，
故当且四边形为菱形时，，
因此，.
故答案为：.
10．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）周长为4的，若分别是的对边，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的数量积公式结合余弦定理可得，再根据三角形两边之和大于第三边结合基本不等式求出，然后利用二次函数的性质求解即可.
【详解】因为周长为4的，分别是的对边，且，
所以
，
令，
∴，
∴，解得，
又∵，∴，∴
故，又在上递减，
∴，
故答案为：.
【真题感知】
1．（天津·高考真题）已知ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：设，，∴，，
，∴，故选B.
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
2．（广东·高考真题）在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为四边形是平行四边形，所以，所以，故选D．
考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．
3．（2020·海南·统考高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
4．（天津·高考真题）如图，在中，，，，则
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】∵，∴，
又∵，∴，
∴，
故选．
5．（福建·高考真题）已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此
，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．
考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．
6．（山东·高考真题）已知菱形的边长为，，则
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：由题意得，设，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知，故选D.
考点：向量的数量积的运算.
7．（天津·高考真题）是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：设，，∴，，
，∴.
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
8．（天津·高考真题）在如图的平面图形中，已知,则的值为
A．B．
C．D．0
【答案】C
【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：如图所示，连结MN，
由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，
则，
由题意可知：
，，
结合数量积的运算法则可得：
.
本题选择C选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
9．（天津·高考真题）如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设
=
所以当时，上式取最小值 ，选A.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。
10．（四川·高考真题）设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，则（ ）
A．20B．15C．9D．6
【答案】C
【分析】根据图形得出,,
,结合向量的数量积求解即可.
【详解】
因为四边形ABCD为平行四边形,点M、N满足,
根据图形可得:,
,
,
,
,
,
，
，
故选C.
本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.
考点：向量运算.
11．（福建·高考真题）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为
A．2B．3C．6D．8
【答案】C
【详解】由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝＋x0＋
∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.
∴＝＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2.
∴的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.
12．（重庆·高考真题）如图，在四边形中，，，，则的值为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意首先求得和的值，然后结合数量积的运算法则可得的值.
【详解】由题意可得：，解得：，
且：.
由可知，
故.
故选C.
【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的数量积的计算，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
14．（重庆·高考真题）如图，在四边形ABCD中，
，则的值为
A．2B．C．4D．
【答案】C
【详解】：