新高考数学一轮复习精品讲练测第5章第08讲 正余弦定理与解三角形（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
正弦定理
基本公式：
（其中为外接圆的半径）
变形
三角形中三个内角的关系
，eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2)
，，
余弦定理
边的余弦定理
，，
角的余弦定理
，，
三角形的面积公式
考点一、正弦定理边角互化与解三角形
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（辽宁·高考真题）在中，内角的对边分别为.若，且，则
A．B．C．D．
3．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在中，角的对边分别是，且，求角
1．（2023·福建莆田·统考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求A
2．（2023·江苏·统考二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
求A
3．（2023·浙江·统考二模）记的内角的对边分别为，已知．求B
考点二、利用正弦定理判断三角形解的个数
1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）根据下列条件，判断三角形解的情况，下列结论中正确的是（ ）
（1），，，有一个解.
（2），，，有两个解
（3），，，无解
（4），，，有一解
A．（1）（2）B．（2）（4）
C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（4）
2．（2022·江西·校联考二模）设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·贵州·统考模拟预测）中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2022·河南郑州·郑州外国语学校校联考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，c＝3．且该三角形有两解，则a的值可以为（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（2022·江苏南通·统考模拟预测）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）在中，，，若角有唯一解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点三、余弦定理求值
1．（2023·北京·统考高考真题）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·高考真题）在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
3．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知．求
1．（2020·全国·统考高考真题）在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则csB=（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广西·校联考模拟预测）在中，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川南充·统考三模）在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A．B．C．D．
考点四、利用正余弦定理判断三角形的形状
1．（2023春·重庆长寿·高三统考）在已知分别为的三个内角的对边，若，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
2．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考）设中角，，所对的边分别为，，；若，，；则为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能
3．（2023春·广东珠海·高三校考）一个三角形的三条高的长度分别是，，，则该三角形（ ）
A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
4．（2023春·新疆阿克苏·高三校考）在中，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
1．（2023·全国·高三专题练习）若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形
3．（2023春·山东临沂·高三山东省临沂第一中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ）
A．等腰或直角三角形B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．（2023春·广东东莞·高三东莞高级中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，且满足，则的形状是（ ）.
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
考点五、三角形面积的应用
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
2．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
1．（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，点在边上，，，.
(1)若，求；
(2)若，求的面积.
3．（2023·海南海口·校考模拟预测）在 中，角 A、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
考点六、外接圆、内切圆半径问题
1．（上海·高考真题）已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于 ．
2．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知在中，其角、、所对边分别为、、，且满足．
(1)若，求的外接圆半径；
(2)若，且，求的内切圆半径
3．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
1．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为 ．
2．（2023·河南郑州·统考一模）已知的角对边分别为，满足，.
(1)求；
(2)求外接圆的半径.
3．（2023·河北·校联考二模）在中，角的对边分别为，已知，且.
(1)求的外接圆半径；
(2)求内切圆半径的取值范围.
考点七、双正弦及双余弦模型
1．（2023·山东烟台·统考三模）在中，为中点，．
(1)若，求的面积；
(2)若，求的长．
2．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）在中，点D在BC 上，满足AD＝BC，．
(1)求证：AB，AD，AC成等比数列；
(2)若，求．
3．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．
(1)求证：；
(2)若，求．
1．（2023·上海·高三专题练习）如图，在中，角的对边分别为.已知.
(1)求角；
(2)若为线段延长线上一点，且，求.
2．（2023春·全国·高三专题练习）如图，中，若角所对的边分别是.
(1)证明：；
(2)若，求的面积.
3．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）在中，角的对边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若为边的中点，且，求的面积.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）记的内角的对边分别为，，，若，则为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（ ）
A．4B．6C．D．
3．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，，，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．1
5．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（ ）
A．B．C．8D．4
二、多选题
6．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·山东聊城·统考一模）在中，若，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
8．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则外接圆的面积为 .
四、解答题
9．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A的大小；
(2)若， ，求BC边上高的长.
10．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求的大小；
(2)当，时，求的面积．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）中，三边之比，则（ ）
A．B．4C．D．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则的值可为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·山西阳泉·统考三模）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
4．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知的面积S满足，则角A的值为 ．
四、解答题
5．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）在中，角所对的边分别是，已知．
(1)求角；
(2)若，且的面积为，求．
6．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
7．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）中，是上的点，平分面积是面积的3倍.
(1)求；
(2)若，求和的长.
8．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在中，．
(1)若，求；
(2)设是边上一点，若，，求．
9．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）记的内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)证明：.
10．（2023·江苏南通·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)若，证明：；
(2)若，证明：.
【真题感知】
一、填空题
1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ．
2．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
二、解答题
3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
4．（2022·天津·统考高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
5．（2023·天津·统考高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
6．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
7．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
8．（2023·全国·统考高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
9．（2021·全国·统考高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
10．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．