新高考数学一轮复习精品讲练测第6章第04讲 数列求和综合（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式
①当q＝1时，Sn＝na1；
②当q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
常见的裂项技巧：
；
；

指数型；
对数型.
等
4．倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
5．错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
万能公式：
形如的数列求和为，
其中，，
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
考点一、公式法直接求和
1．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
2．（2021·全国·统考高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
3．（2020·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
4．（2020·全国·统考高考真题）设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{lg3an}的前n项和．若，求m．
1．（2023·湖北武汉·统考三模）已知各项均不为零的数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立，求正整数的最大值.
2．（2023·贵州贵阳·校联考三模）设数列的前项和为，当时，有．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，求的最大值．
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和.
4．（2023·广西·统考模拟预测）已知数列为等比数列，其前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的正整数的最大值.
考点二、分组转化求和
1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列是首项为1，公差为d的等差数列，且，，是等比数列的前三项．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
2．（2023·四川南充·统考三模）已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足：，记的前项和为，求.
3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
1．（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列为单调递增的等比数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知数列满足，．
(1)令，证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明是等比数列；
(2)若，求的前项和．
考点三、裂项相消求和
1．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
2．（2023·河南安阳·统考三模）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
3．（2023·湖北·统考二模）设数列前n项和满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前n项和．
4．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知数列的前项和满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：.
1．（2023·辽宁抚顺·校联考二模）已知在等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
2．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知数列中，，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)记数列，求数列的前项和.
3．（2023·江西九江·统考三模）已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
4．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列满足，求证：．
考点四、错位相减求和
1．（2020·全国·统考高考真题）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
2．（2020·全国·统考高考真题）设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
3．（2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
4．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且满足． 将数列与的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列．
(1)证明：
(2)求数列的前n项和．
2．（2023·校考模拟预测）数列满足：，等比数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，试证明.
3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
4．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是，若对满足的任意正整数，，均有成立．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
考点五、奇偶并项求和
1．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
2．（2023·山东烟台·统考二模）已知数列的前项和为，，，数列满足，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
3．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知是各项均为正数的数列，为的前n项和，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
4．（2020·天津·统考高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
5．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知等差数列与等比数列的前项和分别为：，且满足：，
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项的和.
1．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．（2023·浙江·校联考二模）设数列的前n项和为，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设且，求数列的前n项和为．
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足求的前项和.
4．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
5．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，.
(1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式;
(2)若 ，求数列的前项和.
从①和②这两个条件中任意选择一个填入上面横线上，并完成解答.注:若选择多个条件作答，则按第一个解答计分.
考点六、数列求和之不等式综合
1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：.
2．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知数列满足，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，证明：.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
4．（2023·湖北武汉·统考三模）记为数列的前n项和，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设单调递增等差数列满足，且，，成等比数列．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设，试确定与的大小关系，并给出证明．
1．（2023·湖南·校联考二模）已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，且，若对于恒成立，求的取值范围．
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在等比数列和等差数列中，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，，记数列的前项积为，证明：．
3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）设正项数列满足，，．数列满足，其中，．已知如下结论：当时，．
(1)求的通项公式．
(2)证明：．
4．（2023·河北·模拟预测）在数列中，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)记数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【基础过关】
1．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
2．（2023·江苏·统考一模）已知等比数列的各项均为正数，且，.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求的前n项和.
3．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）在数列中，，.
(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知数列满足：，，设，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求证：．
5．（2023·安徽马鞍山·统考二模）已知等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
6．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式和前n项和；
(2)设，求数列的前n项和公式．
7．（2023·广东广州·统考三模）已知数列的前项和为，且，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和，求证：．
8．（2023·山东烟台·校考模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和．
9．（2023·云南大理·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和．
10．（2023·河北·校联考三模）已知等差数列，首项，其前项和为，点在斜率为1的直线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)若为数列的前项和，求证：．
【能力提升】
1．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项；
(2)设为数列的前项和，求证．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
3．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）已知数列的前n项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知与都是正项数列，的前项和为，，且满足，等比数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求满足不等式的自然数n的最小值．
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知等比数列的公比，前n项和为，满足：.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
6．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)设单调递增的等差数列满足，且成等比数列.
（i）求的通项公式；
（ii）设，证明：.
7．（2023·山东泰安·统考模拟预测）设是公比不为的等比数列，，为，的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知为正项等差数列，为正项等比数列，其中，且，成等比数列，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
9．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设为数列的前项和，已知，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围．
10．（2023·湖南株洲·统考一模）数列满足，.
(1)若，求证：是等比数列.
(2)若，的前项和为，求满足的最大整数.
【真题感知】
1．（全国·高考真题）等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
2．（全国·高考真题）等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an，求数列的前项和.
3．（广东·高考真题）已知各项均为正数的数列的前 项和为，且满足，
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切的正整数都有
4．（山东·高考真题）已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令.求数列的前n项和.
5．（广东·高考真题）设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．
(1) 证明：；
(2) 求数列的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数，有．
6．（山东·高考真题）设等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足 ，求的前项和.
7．（浙江·高考真题）设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：
8．（全国·高考真题）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且.
（1）求、的通项公式：
（2）求数列的前项和．
9．（湖北·高考真题）设数列的前项和为，为等比数列，且
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列前项和.
10．（重庆·高考真题）设数列满足：，，．
(1)令，求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．