新高考数学一轮复习精品讲练测第8章第07讲 圆锥曲线中的离心率问题（培优）（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
椭圆离心率求解的5种常用方法
公式1:
公式2: 变形
证明:
公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为,
设焦点三角形,,则椭圆的离心率
证明:,
由正弦定理得:
由等比定理得:,即
.
公式 4: 以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点 , 则
证明: 由正弦定理有.
公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则
当曲线焦点在轴上时,
注:或者而不是或
双曲线离心率求解的5种常用方法
公式1:
公式
证明:
公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则
证明:,
由正弦定理得:
由等比定理得:
即。
公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率
证明:由正弦定理,有
即
又
公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,
注:或者而不是或
考点一、椭圆、双曲线中的定义法求离心率
1．（2023·北京大兴·校考三模）实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
4．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·浙江台州·统考二模）已知椭圆经过点和，则椭圆的离心率为 .
1．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
3．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知椭圆C：的右焦点为，P为椭圆的左顶点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为 .
5．（2023·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知双曲线C：，其右焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为 ．
考点二、利用“公式3”求焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率
已知是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为)
A. B. C. D.
2．（全国·高考真题）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，
∠=，则C的离心率为
A．B．C．D．
3．（2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期中）椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆C的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）（附加公式4）记椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（全国·高考真题）设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
2．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）设，是椭圆的两个焦点.若在上存在一点，使，且，则的离心率为 .
3．（天津红桥·高二统考期末）已知F1，F2是双曲线 (a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若线段MF1的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．＋1B．4＋2
C．D．－1
考点三、利用“公式5”求椭圆、双曲线离心率
1．（全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为
A．B．C．D．
2．（全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
A．1B．C．D．2
3．（2023·山东烟台·统考三模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
1．（2022·全国·高三专题练习）已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知．
求椭圆的离心率；
3．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知椭圆的右焦点为，过右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
考点四、斜率乘积求离心率
1．（2023·浙江宁波·统考二模）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）已知双曲线的两个顶点分别为A、B，点P为双曲线上除A、B外任意一点，且点P与点A、B连线的斜率为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
3．（2022·全国·高三专题练习）过点作斜率为的直线与椭圆：()相交于､两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
1．（吉林·高三阶段练习）已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
2．（2023·高二课时练习）已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
3．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
考点五、余弦定理求离心率
1．（2023·福建宁德·校考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山东烟台·校联考三模）双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏南京·统考二模）已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
考点六、构造齐次方程求离心率
1．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点且与椭圆的长轴垂直，直线过椭圆的上顶点与右顶点且与交于点，若（为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知点是椭圆的左焦点，，直线交于，两点，若，均是线段的三等分点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知，是双曲线的焦点，圆，直线经过点，直线经过点，，与圆均相切，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
5．（2023·河北·校联考模拟预测）若双曲线（，）上存在四点，使得四边形为正方形，且原点为正方形中心， 为双曲线右顶点，在第一象限，，设双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·云南·校联考模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，（如图），过的直线交于，两点，且轴，，则的离心率为（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·广东深圳·统考二模）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·湖南永州·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·山东烟台·校考模拟预测）设椭圆的焦点为，点P是C与圆的交点，的平分线交于Q，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山东聊城·统考三模）已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点，若（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河北·校联考模拟预测）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为F1、F2，点M是双曲线右支上一点，且，延长交双曲线C于点P，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
5．（2023·黑龙江大庆·统考一模）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知椭圆的右焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交该椭圆上半部分于点P，以FP，FO（O为坐标原点）为邻边作平行四边形，点Q恰好也在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·湖南郴州·统考三模）已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于两点，若且，则椭圆的的离心率为（ ）
A．B．C．D．
考点七、离心率的范围及最值问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川·校联考模拟预测）已知椭圆：，定点，，有一动点满足，若点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，点在直线上，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆离心率为e，双曲线的渐近线的斜率小于，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·全国·高三专题练习）双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设过原点且倾斜角为的直线与双曲线C：的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，若三角形的面积大于，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知过点可作双曲线的两条切线，若两个切点分别在双曲线的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·江西·统考模拟预测）椭圆的离心率为，则（ ）
A．1B．2C．3D．
2．（2023·浙江衢州·校联考一模）设椭圆的半焦距为，若，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山西大同·校联考一模）已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知双曲线，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
5．（2023·广西·校联考模拟预测）已知双曲线C：，O为坐标原点，过C的右焦点F作C的一条渐近线的平行线交C的另一条渐近线于点Q，若，则C的离心率为（ ）
A．B．3C．D．
6．（2023·江苏·统考一模）已知椭圆的右焦点为，点P，Q在直线上，，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·江西九江·统考一模）已知双曲线()，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，过点作轴的垂线交于点，若与的面积相等(为坐标原点)，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·贵州·统考模拟预测）椭圆的上顶点为是的一个焦点，点在上，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河北保定·统考二模）已知双曲线的右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
10．（2023·安徽滁州·校考一模）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且 .若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
12．（2023·新疆乌鲁木齐·乌市一中校考三模）已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，B关于直线的对称点为．若过A，，F三点的圆的半径为a，则C的离心率为 ．
13．（2023·云南·校联考模拟预测）已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为 .
14．（2023·浙江温州·统考二模）已知抛物线和椭圆相交于两点，且抛物线的焦点也是椭圆的焦点，若直线过点，则椭圆的离心率是 ．
15．（2023·湖北武汉·武汉市第四十九中学校考模拟预测）点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 ．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，一条渐近线与圆在第一象限交于点，交轴于点，且，则的离心率为（ ）
A．B．2
C．D．
3．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，，分别是与的离心率，且P是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最大值为
6．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（ ）
A．最大时，B．的最小值为2
C．椭圆的离心率等于D．的取值范围为
三、填空题
8．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）设、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为 ．
9．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为
10．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．
【真题感知】
1．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（全国·高考真题）设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A．B．
C．2D．
4．（天津·高考真题）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为
A．B．C．2D．
5．（辽宁·高考真题）已知双曲线的中心在原点，离心率为，若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是（ ）
A．B．C．D．21
6．（福建·高考真题）已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
7．（山东·统考高考真题）已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．3
8．（湖南·高考真题）若双曲线上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（湖南·高考真题）设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（北京·高考真题）椭圆的焦点为，两条准线与x轴的交点分别为M，N．若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（2021·全国·统考高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3