新高考数学一轮复习精品讲练测第8章第16讲 圆锥曲线中的切线方程与切点弦方程（培优）（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
1 过圆 上一点 的切线方程:
2. 设 为椭圆 1上的点, 则过该点的切线方程为:
3. 设 为双曲线 上的点, 则过该点的切线方程为:
4. 设 为抛物 线 上的点, 则过该点的切线方程为
设 为圆 外一点, 则切点弦的方程为:
6. 设 为椭圆 外一点, 过该点作椭圆的两条切线,切点为 , 则弦 的方程为:
7. 过 为双曲线 的两支作两条切线, 则切点弦方程为
8. 设 为抛物线 开口外一点, 则切点弦的方程为:
考点一、椭圆中的切线方程和切点弦方程
1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆上点P(1,1)处的切线方程是 ．
【答案】
【分析】由导数的几何意义即可求得切线方程.
【详解】∵椭圆，
∴y>0时，，∴，
∴x＝1时，，即切线斜率，
∴椭圆上点P(1,1)处的切线方程是，
即．
故答案为：．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线经过椭圆的一个顶点E和一个焦点F．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求过与椭圆相切的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的性质求解，
（2）由导数的几何意义求解
【详解】（1）依题意可知：椭圆焦点在x轴上，
直线与坐标轴的交点为：，，
∴，F（2，0），∴，c＝2，，
∴椭圆的标准方程为．
（2）由（1）可知椭圆，在椭圆上，
求导，整理得：，
由导数的几何意义可知：椭圆在切线方程的斜率，
则直线的切线方程为：，整理得：，
∴过与椭圆相切的直线方程为．
3．（2022·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）（多选）椭圆:的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点在以为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的最大值为
C．过点的直线与椭圆只有一个公共点，此时直线方程为
D．的最小值为
【答案】BD
【分析】利用椭圆标准方程直接求离心率即可判断A；根据椭圆定义以及基本不等式即可判
断B；直接考虑直线斜率不存在的情况即可判断C；利用椭圆的定义将转化成
，进而根据几何关系求其最值即可判断D.
【详解】对于选项，由椭圆的方程知，
所以离心率，故选项不正确；
对于选项B， 由椭圆的定义可得，
所以，
即当且仅当时，的最大值为，故选项B正确；
对于选项C， 当直线的斜率不存在时，所求直线为，满足条件，故选项C错误；
对于选项D， 圆：，
所以，
故选项D正确；
故选：BD.
4．（海南·高考真题）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）18.
【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；
(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.
当y=0时，解得，所以a=4，
椭圆过点M(2，3)，可得，
解得b2=12.
所以C的方程：.
(2)设与直线AM平行的直线方程为：，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，
可得：，
化简可得：，
所以，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程：，
直线AM方程为：，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：，
由两点之间距离公式可得.
所以△AMN的面积的最大值：.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
5．（天津·统考高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出的值，结合的值可得出的值，进而可得出椭圆的方程；
（2）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）易知点、，故，
因为椭圆的离心率为，故，，
因此，椭圆的方程为；
（2）设点为椭圆上一点，
先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为.
在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即.
【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；
（2）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切.
1．（2022·全国·高三专题练习）求过椭圆上一点的切线方程．
【答案】
【分析】令，利用伸缩变换求得椭圆和点M在新坐标系下的方程和坐标，然后由圆的切线方程和伸缩变换公式可得.
【详解】令，则椭圆在新坐标系下的方程是：，点在新坐标系下的坐标是：，
设过圆上的点的切线方程为（易得斜率必存在），
即代入
整理得
由题意可知，，整理得
即，所以切线方程为，即：
过椭圆上一点的切线的方程是：，即：．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知点是椭圆上一点是椭圆的两焦点，且满足．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求过与椭圆相切的直线方程．
【答案】(1)椭圆的标准方程为
(2)直线方程为
【分析】（1）根据椭圆的定义得出基本量的值，得出椭圆方程；（2）椭圆是封闭图形，利用相切只有一个交点，将直线方程与椭圆方程联立有一个实数解可解得.
（1）
∵椭圆上的点A满足．
∴，解得，
∴椭圆的方程为，
把代入得．，
解得，
∴椭圆方程的标准方程为．
（2）
解法1：过A与x轴垂直的直线与椭圆不相切，因此切线的斜率存在．
设过的直线方程，由，消去y得关于x的方程：
．
令，解得，故所求的切线方程为： ．
解法2：改写直线的方程为一般式，，
相切时： ，得到，
化简得，
故所求的切线方程为： ．
3．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，由直线上任一点向椭圆作切线，切点分别为、，点在轴的上方，则（ ）
A．当点的坐标为时，
B．当点的坐标为时，直线的斜率为
C．存在点，使得为钝角
D．存在点，使得
【答案】AD
【分析】设点、，先证明出椭圆在其上一点处的切线方程为，可得出椭圆在点处的切线方程，设点，写出直线的方程，逐项判断可得出合适的选项.
【详解】设点、，先证明出椭圆在其上一点处的切线方程为，
由题意可得，
联立可得，即，
即方程组只有唯一解，
因此，椭圆在其上一点处的切线方程为，
同理可知，椭圆在其上一点处的切线方程为，
因为点为直线上一点，设点，
则有，即，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
对于A选项，当点的坐标为，即，此时直线的方程为，
由可得，即点，此时，A对；
对于B选项，当的坐标为时，即时，此时，直线的斜率为，B错；
对于C选项，联立可得，
，由韦达定理可得，，
，同理，
所以，
，
因此，恒为锐角，C错；
对于D选项，若点为椭圆的上顶点，则轴，此时，
所以，点不是椭圆的上顶点，线段的中点为，
所以，，，
存在点，使得，则，则，
化简可得，因为，，
所以，，即，
因为，解得，
因此，存在点，使得，D对.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的切点弦所在直线的方法如下：
（1）求出两切线与曲线的切点坐标，利用两点式方程可得出切点弦所在直线的方程；
（2）写出曲线在切点处的切线方程，将两切点的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆.
(1)定义：若某直线与椭圆有且仅有一个公共点，则称该直线与椭圆相切，该公共点为切点.若点在椭圆C上，证明，直线与椭圆C相切；
(2)设曲线的切线l与椭圆C交于A，B两点，且以A，B为切点的椭圆C的切线交于M点，求面积的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】(1)将直线与椭圆方程联立，由 即可证明；
(2)设圆O的切点为 ，分别求出A，B两点的坐标以及切线方程，联立切线方程，求出M点的坐标，再用三角形面积公式即可.
（1）
联立方程，得 ，
，
∴与椭圆C只有一个交点，是切线；
若 ， ，切线方程为， 也满足，
若 ，切线方程为 ，也满足，
故是椭圆C在处的切线方程；
（2）
依题意作下图：
设圆O的切点为，则其切线方程为 ，
设 ，
联立方程： ，得 ，
，
，
在A点的椭圆C的切线方程为 ，
在B点的椭圆C的切线方程为 ，
联立方程 ， 得 ，
，得 ，
代入① ，
因为 点在切线 上，所以 ，
得 ，
使用水平底铅垂高计算 的面积，
点M到切线的距离为，
铅垂高为 ，下面计算 ，
， ，
，
，
∵点P在圆O上，∴ ，由题意， ，
设函数，
，
∴；
考点二、双曲线中的切线方程和切点弦方程
1．（2023·全国·高三专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ．
【答案】
【分析】设的斜率为，得到，联立方程组，根据和双曲线的方程，求得，得到的方程为，同理的方程为，进而得到，进而求得过的直线方程.
【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为，
则，联立方程，
消去得，
因为与双曲线相切，所以，
即，即，
即，
因为，所以，
代入可得，即，所以，
所以，即，
同理可得的方程为，
因为在切线上，所以，
所以满足方程，
又由两点确定一条直线，所以满足直线方程，
所以过的直线方程为.
故答案为：.
2．（2022·全国·高三专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程．
【答案】
【分析】设，求得直线的方程为，同理的方程为，通过在切线上，可得到直线的方程
【详解】解：设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为，
则，联立方程，消去可得：，
整理可得：，
因为与双曲线相切，
所以，
，
即，
，代入可得：，即，
所以，
即，
同理，切线的方程为，
在切线上，所以有，
满足直线方程，而两点唯一确定一条直线，
直线AB的方程为
3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为 ．
【答案】/
【分析】依题意，注意到点在椭圆上，由此得到椭圆在点处的切线方程；再结合上述性质得到椭圆与双曲线在其公共点处的斜率间的关系，进而求出双曲线在点处的切线的斜率．也可以利用结论6直接得到答案．
【详解】根据结论6，由题意得椭圆在点处的切线方程为，
即，该直线的斜率为，由结论5得知，该双曲线在点处的切线的斜率为．
故答案为：.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的两个焦点为、，一条渐近线方程为，且双曲线经过点，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设点在直线，，且为常数)上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，求证：直线过某一个定点．
【答案】(1)x2﹣y2＝1；
(2)证明见解析.
【分析】(1)依题意，建立关于、的方程组，解出、的值，即可求得双曲线的方程；
(2)设，，，，直线，将其与双曲线方程联立，由相切可得，化简可得，由此表示直线方程，同理可得直线方程，进而得到直线方程，由此可得证．
（1）
依题意，，解得，
：；
（2）
设，，，，直线，
由得，，
直线与双曲线相切，
且，
，
，即，
又，
，
，
，则，
直线，即，
同理，切线的方程为，
在切线、上，
，
、满足直线方程，而两点确定唯一一条直线，
直线，则当时，无论取何值，等式均成立，
点恒在直线上，故无论点在何处，直线恒过定点．
1．（2022·全国·高三专题练习）求经过点的双曲线：的切线的方程．
【答案】
【分析】设直线，与双曲线联立，结合判别式分析，即得解
【详解】若直线斜率不存在，过点的直线方程为：，代入可得，与双曲线有两个交点，不是切线；
若直线斜率存在，设的方程是：，即：，将它代入方程整理得：，
由已知，即，
解得：，故所求切线的方程为：，即：．
2．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程．
【答案】.
【分析】将双曲线在某点的切线方程转化为曲线在某点的切线方程，利用导数求出在某点的切线斜率，进一步求出切线的方程.
【详解】由可得，
根据题目条件，可知求曲线在点P处的切线的方程，
∴曲线在点P处的切线斜率为
∴曲线在点P处的切线方程为
化简得
∴双曲线C在点P处的切线的方程为．
3．（2023·全国·高三专题练习）动点到定点的距离和到直线的距离之比为，
(1)求动点的轨迹；
(2)设点，动点的轨迹方程为，过点作曲线的两条切线，切点为，求证：直线过某一个定点.
【答案】(1)动点的轨迹是以，为焦点的双曲线；；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题可得，化简可得轨迹方程，进而即得；
（2）由题可设，，联立双曲线方程，利用判别式为0结合条件可得，，然后根据点在切线，上，进而可得直线方程，即得.
【详解】（1）由题可得，
化简可得，
所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线；
（2）设，由题可知切线的斜率存在，
可设切线的斜率为，则，
由，可得，
所以，
所以，即，
又，
所以，即，
所以，
所以，即，
同理可得，
又在切线，上，所以，
所以满足直线方程上，而两点唯一确定一条直线，
所以，当时，恒成立，
即直线过定点.
考点三、抛物线中的切线方程和切点弦方程
1．（2023·全国·模拟预测）已知拋物线的一条切线方程为，则的准线方程为 ．
【答案】
【分析】由，消去得，由求出，从而求得准线方程．
【详解】由，消去得，
由题意，解得，
则抛物线方程为：，
所以抛物线的准线方程为：，即．
故答案为：．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，准线为，点在抛物线上，点为与轴的交点，且，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则
【答案】1
【分析】根据题目条件，先求出抛物线的标准方程，然后求出直线的方程，联立消，利用韦达定理即可求得本题答案.
【详解】把点，代入抛物线，得，则点，
作，垂直为，设，所以，，易知，
在中，因为，即，得，
所以，得，所以抛物线标准方程为：，
设两点的坐标分别为，
因为，所以，，又，
所以切线的直线方程为：，化简得，
因为经过点，所以，同理可得，，
所以点的坐标满足方程，即直线的方程为，
联立消得，，
所以，，
所以
故答案为：1.
【点睛】关键点睛：因为，且，，所以直线的方程为，求出的直线方程是解决本题的关键.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为．则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为在抛物线上，所以，解得，所以．
设．由，求导得，
则直线，直线．
由解得所以，
又在直线上，得．
所以
．
故答案为：

【点睛】关键点睛：本题的关键是根据导数的性质求出抛物线的切线方程.
4．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．以为直径的圆过点
【答案】ACD
【分析】由抛物线的几何性质求出的值，可得出抛物线的方程，设、，分析可知为的中点，利用点差法可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，写出两切线的方程，联立两切线的方程，求出点的坐标，逐项判断可得出合适的选项.
【详解】抛物线的焦点到准线的距离为，所以，抛物线的方程为，
设、，由可知为的中点，
所以，且，，
由可得，
所以，直线的斜率为，则直线的方程为，可得，
联立可得，所以，，
对函数求导可得，
所以，切线的方程为，即，
同理可知，切线的方程为，
联立可得，即点，
易知抛物线的焦点为，所以，，A对；
因为直线过点，所以，，B错；
因为，，所以，，所以，故C正确；
因为，且为的中点，所以，，
因此，以为直径的圆过点，故D正确.
故选：ACD．
5．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，M为直线y＝x－2上一动点，过点M作抛物线C：x2＝y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．
(1)证明：MN⊥x轴．
(2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)直线AB过定点.
【分析】（1）根据函数切线的几何意义，结合中点坐标公式进行求解证明即可；
（2）根据中点公式，结合斜率公式进行求解即可.
【详解】（1）设，由，
所以切线MA的斜率为， 因此切线MA的方程为： ，
M为直线y＝x－2上一动点，设，
因此有，
同理可得：，因此是方程的两个根，
所以，
因为N为AB的中点，所以，因此MN⊥x轴；
（2）因为，
所以，
所以直线AB：y－(2t2－t＋2)＝2t(x－t)，
即y－2＝2t，
所以直线AB过定点．
6．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值；
（2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.
【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值
由题意知，，设圆M上的点，则．
所以．
从而有．
因为，所以当时，．
又，解之得，因此．
[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值
抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到．
过P作y轴的平行线交于Q，则．
．
P点在圆M上，则
．
故当时的面积最大，最大值为．
[方法三]：直接设直线AB方程法
设切点A，B的坐标分别为，．
设，联立和抛物线C的方程得整理得．
判别式，即，且．
抛物线C的方程为，即，有．
则，整理得，同理可得．
联立方程可得点P的坐标为，即．
将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得．
由弦长公式得．
点P到直线的距离为．
所以，
其中，即．
当时，．
【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得关于圆M上的点的坐标的表达式，进一步转化为关于的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得的值；方法二，利用圆的性质，与圆上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点、、，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线的坐标满足方程，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，利用弦长公式求得的长，进而得到面积关于坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到，，过P作y轴的平行线交于Q，则．由求得面积关于坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到，且．利用点在圆上，求得的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；
1．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于，两点，
(1)当的纵坐标为4时，求抛物线在点处的切线方程；
(2)四边形面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）易知焦点，且，设出切线方程与抛物线方程联立即可得切线方程为；（2）由题意可得直线，的斜率均存在，设出，的方程并与抛物线联立，利用焦点弦公式可求得，，即可求得四边形面积表达式，再利用基本不等式即可求得其最小值为.
【详解】（1）根据题意可得焦点，当的纵坐标为4时可得，
设抛物线在点处的切线方程为，
联立整理得，
由题意知方程只有一解，所以，
解得；
所以切线方程为.
（2）如下图所示：
易知直线，的斜率均存在，
可设的方程为，同理可得
联立直线和抛物线并整理可得，
易知，设，
所以，由焦点弦公式可得，
同理设，
可得，，
所以四边形的面积，
当且仅当时，等号成立；
所以四边形面积的最小值为.
2．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线，过轴上点的直线与相切于点，且当的斜率为时，.
(1)求的方程；
(2)过且垂直于的直线交于两点，若为线段的中点，证明：直线过定点.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设直线的方程为，联立抛物线的方程根据相切求出即得解；
（2）设直线的方程为，联立抛物线的方程求出，设直线的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理求出，写出直线的方程即得解.
【详解】（1）当l的斜率为时，设直线的方程为，
与的方程联立消去，得，
当与相切时，，整理有，
此时或（舍去）.
故，
所以，
故 所以的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，
与的方程联立，得，
当与相切时，，则，故，
设直线的方程为，与的方程联立有，
设，则
，
所以，
所以，所以的方程为
令，则，
所以，所以直线过定点.
【点睛】方法点睛：定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.
（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，，D为垂足，点D的坐标为．
(1)求C的方程；
(2)若点E是直线上的动点，过点E作抛物线C的两条切线，，其中P，Q为切点，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明过程见详解，定点
【分析】（1）设点A的坐标为，点B的坐标为，根据题意可得到直线的方程，联立抛物线的方程，整理可得到关于（含参）的一元二次方程，从而得到，，再根据，代入即可求解的值，进而得到C的方程；
（2）结合（1）中抛物线，得，设过点E作抛物线C的切线的切点为，则可得到过点E的切线方程，设点，，，从而得到，是方程的两实数根，则得到，，进而得到的中点M的坐标，，从而得到直线的方程，进而得到直线恒过的定点．
【详解】（1）设点A的坐标为，点B的坐标为，
因为，所以，则直线的方程为，
联立方程组，消去y，整理得，
所以有，，
又，得，
整理得，解得．
所以C的方程为．
（2）由，得，所以，
设过点E作抛物线C的切线的切点为，
则相应的切线方程为，即，
设点，由切线经过点E，得，即，
设，，则，是的两实数根，
可得，．
设M是的中点，则相应，
则，即，
又，
直线的方程为，即，
所以直线恒过定点．
【点睛】关键点点睛：小问（2）解答的关键是先根据导数设抛物线的切线方程，设点，，，从而得到，是方程的两实数根，再结合韦达定理得到，，进而得到直线的方程．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知直线过抛物线的焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M，N两点，当的面积是时，求点A的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出焦点坐标为，从而得到，求出抛物线方程；
（2）设出，过点A的抛物线的切线方程设为，与抛物线方程联立，根据得到，设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率分别为，求出，表达出，，列出方程，求出，得到点A的坐标.
【详解】（1）中令得：，
故焦点坐标为，故，解得：，故抛物线方程为；
（2）抛物线准线方程为：，
设，过点A的抛物线的切线方程设为，
联立得：，
由，设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率分别为，
故，
令中，令得：，
不妨设，故，
则，
解得：，故点A的坐标为或.
【点睛】已知抛物线方程，点为抛物线上一点，则过点的抛物线切线方程为，
若点在抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点弦方程为.
【能力提升】
1．（2023·上海青浦·统考二模）如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，为抛物线的焦点．
(1)若点的横坐标为，用表示线段的长；
(2)若，求点的坐标；
(3)证明：直线与抛物线相切．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义将的长度转化成点到准线的距离即可；
（2）设与直线，根据直线直线分别与抛物线相切，可将直线与抛物线方程联立得到判别式为0，进而得出的两根，结合韦达定理与可得即可求解；
（3）根据题设，直线分别与抛物线相切，可将直线分别与抛物线联立得到等量关系，要证明直线与抛物线相切，最后再将直线与抛物线联立证明判别式为0即可．
【详解】（1）设，且在抛物线上，故满足
为抛物线的焦点，，抛物线的准线为 ，
线段的长等于点到准线的距离，即．
（2）设，显然直线的斜率存在且不为0，设直线，
联立，化简得：，
直线与抛物线相切，，即 ①，
又直线均与抛物线相切，
为方程①的两根，且有，
，，解得，
将代入得：，故的坐标为．
（3）设，，，
，直线，
联立，化简可得：，
又直线与抛物线相切，，即 ②，
同理，直线与抛物线相切，可得③，
由方程②③可得，为方程的两根，
，，
又，，故直线，
联立，化简得：，
，
直线与抛物线相切，故得证．
2．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.
试题解析：（Ⅰ）由题设可得，，或，.
∵，故在=处的导数值为，C在处的切线方程为
，即.
故在=-处的导数值为-，C在处的切线方程为
，即.
故所求切线方程为或.
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.
将代入C得方程整理得.
∴.
∴==.
当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM=∠OPN，所以符合题意.
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力
3．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线上一点，是抛物线的焦点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过圆上任意一点，作抛物线的两条切线、，与抛物线相切于点、，与轴分别交与点、，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用抛物线的定义求出的值，由此可得出抛物线的方程；
（2）设点、、，则，写出直线、的方程，进而可求得切点弦的方程，联立直线与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求得，进而可求得四边形面积关于的关系式，利用二次函数的基本性质可求得四边形面积的最大值.
【详解】（1），由抛物线定义知，，，
因此，抛物线的方程为；
（2）设、、，，
对于函数，求导得，所以，切线的斜率为，
所以，切线的方程为，
即，即，所以，，
同理可得切线的方程为，则，
另一方面，点在两切线上，从而满足：，
因此切点弦的方程为：，
直线与抛物线进行方程联立：，从而，
且，
点到直线的距离为，
，
当时，，
，
当且仅当时，两个等号同时成立，，
因此，四边形的最大值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长．
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）已知直线的方程为，过直线上一点作（Ⅰ）中轨迹的两条切线，切点分别是，两点，求面积的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.
【分析】（Ⅰ）设点的坐标为，故根据题意得，进而整理即可得答案；
（Ⅱ）设，，由导数的几何意义得曲线在点处的切线方程分别为，，设直线上一点，进一步得直线的方程为，进而与（I）中的方程联立并结合韦达定理得，点到直线的距离，进而求得面积并根据二次函数性质求最值即可.
【详解】解：（Ⅰ）设点的坐标为，，
则点到直线的距离，
经过点作圆的切线，切线长为，
因此，整理可得，
即点的轨迹方程为：；
（Ⅱ）对抛物线，求导可得，
故在处的切线方程为：，整理可得：，
同理在处的切线方程为：，
设直线上一点，
，故，在直线上，
即直线的方程为．
联立可得．
，，
点到直线的距离，
面积，
当且仅当时取等号，故面积的最小值为4．
【点睛】关键点点睛：
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值；
（2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.
【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值
由题意知，，设圆M上的点，则．
所以．
从而有．
因为，所以当时，．
又，解之得，因此．
[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值
抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到．
过P作y轴的平行线交于Q，则．
．
P点在圆M上，则
．
故当时的面积最大，最大值为．
[方法三]：直接设直线AB方程法
设切点A，B的坐标分别为，．
设，联立和抛物线C的方程得整理得．
判别式，即，且．
抛物线C的方程为，即，有．
则，整理得，同理可得．
联立方程可得点P的坐标为，即．
将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得．
由弦长公式得．
点P到直线的距离为．
所以，
其中，即．
当时，．
【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得关于圆M上的点的坐标的表达式，进一步转化为关于的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得的值；方法二，利用圆的性质，与圆上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点、、，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线的坐标满足方程，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，利用弦长公式求得的长，进而得到面积关于坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到，，过P作y轴的平行线交于Q，则．由求得面积关于坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到，且．利用点在圆上，求得的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知点在半圆：上一点，过点P作抛物线C：的两条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记的面积为，的面积为．
(1)若抛物线C的焦点坐标为（0，2），求p的值和抛物线C的准线方程：
(2)若存在点P，使得，求p的取值范围．
【答案】(1)；准线方程为直线
(2)
【分析】(1)根据抛物线的焦点坐标即可以求p和其准线方程；
(2)设，，表示出过A和B的切线方程，求出M和N点坐标，根据P在两直线上求出P点坐标，进而再求出T点坐标，表示出，，进而可以得到，从而可求，由此求出P的轨迹方程，问题转化为问题转化为P的轨迹与半圆：有交点，据此即可求出答案.
【详解】（1），．准线方程为直线．
（2）设，，过点A的切线方程：，于是；
过点的切线方程：，于是；
点在两条切线上，所以，
可得点P坐标为．
且：，于是．
，，
而，所以．
于是点，点P的轨迹方程为，
问题转化为抛物线与半圆：有交点．
记，则，又因为，
解得：．
【点睛】本题关键在求出点P的轨迹方程，将问题转化为P的轨迹与半圆Q有交点，从而求出p的范围.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C相切于点，连接PF交抛物线于另一点A，过点P作l的垂线交抛物线于另一点B．
(1)若，求直线l的方程；
(2)求三角形PAB面积S的最小值．
【答案】(1)
(2)16
【分析】(1)求得，再对求导，由点斜式方程即可求出答案.
(2) 设,，，根据,,三点共线求得，再化简求得到直线的距离，进而表达出三角形面积，再利用基本不等式的方法求最小值即可.
【详解】（1）由得，．所以，
所以在点P处的切线l方程为：，即．
（2）设，，，由，则，．
因为A、F、P三点共线，所以．
所以，由于，故，即．
所以．
由于，所以得．
直线PB方程：，即．
设A到直线PB的距离为d，则
又
所以．
当且仅当时，等号成立．
所以面积的最小值为16．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的实轴长为2．点是抛物线的准线与C的一个交点．
(1)求双曲线C和抛物线E的方程；
(2)过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B．求面积的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）代入点结合双曲线的实轴长为2可得双曲线方程，根据抛物线的准线方程可得抛物线方程；
（2）设直线方程为，，根据导数的几何意义求得切线的方程，联立可得的坐标，再代入双曲线方程，结合面积表达式求解范围即可
【详解】（1）由题，，又点在双曲线上，故，解得，
故双曲线方程为；
又点过抛物线的准线，故，即，
故
（2）显然直线斜率存在，故设直线方程为，，
联立有，
故，又，，
故切线 ，结合整理得，
同理切线，
联立解得，即，故.
又
，且，即，故，
又在双曲线上故，故，
故面积的取值范围为
【点睛】本题主要考查了双曲线和抛物线方程的求解，同时也考查了联立直线与圆锥曲线，利用韦达定理化简并表达面积的问题，同时也考查了求导求切线方程的方法与面积的范围问题等，属于难题
9．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第四中学校校考二模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线：交于，两点，且当时，.
（1）求的值；
（2）设线段的中点为，抛物线在点处的切线与的准线交于点，证明：轴.
【答案】（1）1；（2）见解析
【解析】（1）设，，联立直线和抛物线方程，得，写出韦达定理，根据弦长公式，即可求出；
（2）由，得，根据导数的几何意义，求出抛物线在点点处切线方程，进而求出，即可证出轴.
【详解】解：（1）设，，
将直线代入中整理得：，
∴，，
∴，
解得：.
（2）同（1）假设，，
由，得，
从而抛物线在点点处的切线方程为，
即，
令，得，
由（1）知，从而，
这表明轴.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式以及利用导数求切线方程，考查转化思想和计算能力.
10．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）如图，已知抛物线在点处的切线与椭圆相交，过点作的垂线交抛物线于另一点，直线（为直角坐标原点）与相交于点，记、，且．
（1）求的最小值；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用导数求出抛物线在点处的切线方程，将切线方程与椭圆方程联立，由求出的取值范围，求出直线的方程，并将直线的方程与抛物线的方程联立，由韦达定理得出，再利用基本不等式可求得的最小值；
（2）记点、到直线的距离分别为、，求出、，可得出，结合的取值范围可求得的取值范围.
【详解】（1）对函数求导得，所以抛物线在点处的切线方程为，即，
联立，得，
所以，解得，
所以直线的方程为，
联立，得，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为；
（2）记点、到直线的距离分别为、，
所以，，
所以，
因为，所以，
所以，所以的取值范围为．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法
（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围．
（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围．
（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
11．（2023·广东潮州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，动圆M与圆相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点的直线l与曲线C交于A，B两点，分别以A，B为切点作曲线C的切线，直线相交于点P．若，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）利用两圆内切及直线与圆相切列式，化简即得曲线C的方程.
（2）设出直线l的方程及，求出直线的方程及点P的坐标，联立直线l与曲线C的方程，借助韦达定理求出点B的坐标作答.
【详解】（1）设动圆圆心，半径为r，依题意，，
于是得，化简得，
所以曲线C的方程为.
（2）依题意，直线l的斜率存在，设l的方程为，
由消去y并整理得，，则有，
直线的斜率存在，设直线的方程为：，由消去y并整理得：
，则有，解得，
切线的方程为，同理可得，切线的方程为，由，解得，即点，
则，
因，即，
即，化简得，，
因此，，于是得点或，直线l的斜率，
所以直线l的方程为或.
【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.
12．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知抛物线C：的焦点在圆E：上.
(1)设点P是双曲线左支上一动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，证明：直线AB与圆E相切；
(2)设点T是圆E上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，直线l是圆E在点T处的切线，若直线l与抛物线C交于M，N两点，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，根据相切得判别式为0，进而得，进而得，，，根据两点坐标可得直线的方程，根据点到直线的距离公式即可求解；
（2）根据切线得的方程，进而联立直线与抛物线方程，根据韦达定理得，，进而由向量的坐标运算即可得，根据二次函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）抛物线C：的焦点为，故可知，
设 ，的直线方程为 ，的直线方程为 ， ，
则，
由于与抛物线相切，所以，故方程的根为，将其代入抛物线方程得，故，
同理,，因此是方程的两个根，
故，
直线的方程为，化简得，
圆心到直线的距离为，
由于，，将其代入得，故直线AB与圆E相切
（2）联立 ，
设，且满足，，则，则 ，此时的直线方程为，
联立直线与抛物线方程，
设,所以，
进而，
，
因此，
由于， 当时，时取最大值5，由于T是圆E上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，所以在的两侧，故，故此时的最大值为5，
【点睛】本题重点考查了圆锥曲线的综合运用，主要考查直线与曲线位置关系问题．常需要联立直线与曲线的方程，根据韦达定理法处理直线和曲线的相交问题.对交点设而不求，勇用韦达定理实现转化，必要时也可采用点差法配合求解与中点弦有关的问题，关于参数范围问题常用思路有：几何法，二次配方法，三角代换法，均值不等式.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；
(1)求抛物线C的方程；
(2)过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据焦半径公式求出的值即可得抛物线方程；
（2）首先根据导数的几何意义，求出切线，进而求出直线的方程，根据焦半径公式，将转化成两点纵坐标的关系式，由韦达定理进行化简，从函数的角度运用换元法求其最大值.
【详解】（1）依题意得：
∴，∴，
所求抛物线的方程为；
（2）抛物线的方程为，即∴，
设，，则切线PA，PB的斜率分别为，.
所以切线PA：，
∴，又，，
同理可得切线PB的方程为，
因为切线PA，PB均过点，所以，，
所以，为方程的两组解.
所以直线AB的方程为.
联立方程，消去x整理得，
∴，∴.
∴，
由抛物线定义可知，，
所以
∵
，
∴
令
∴原式，
即原式的最大值.
【点睛】关键点睛：
（1）抛物线标准方程的四种形式以及对应的焦半径公式需要掌握；
（2）运用导数的几何意义可以求曲线的切线方程；
（3）直线的求解办法需要认真理解；
（4）对所求式子的合理转化要与韦达定理联系；
（5）求最值时应考虑函数值域求法或者基本不等式.
14．（2023·甘肃定西·统考一模）已知椭圆：（）的右焦点为，短轴长是长轴长的.
(1)求椭圆的方程；
(2)是椭圆上的动点，过点作椭圆的切线，与直线交于点，若（为坐标原点）的面积为，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）由椭圆中，，之间的关系，结合已知条件求解即可；
（2）设切线方程和点坐标，根据相切将切线斜率用点坐标表示，求出切线方程，由切线方程求出点，再根据的面积，对点的坐标进行求解即可.
【详解】（1）∵椭圆的右焦点为，∴，
又∵短轴长是长轴长的，∴，即，
∴由，解得，
∴椭圆的方程为.
（2）设椭圆上一点，则，即①，
∵过点作椭圆的切线与直线相交，∴切线的斜率存在，
设切线：，易知不过原点，∴，
∵切线过点，∴，即②，
由，消去，整理得，
∵是椭圆的切线，∴，
∴③，
且由韦达定理，有④，
③、④两式相乘，化简得，将②式代入，解得，
由①式，有，∴，
∴的方程为，结合①式，化简得，
将代入方程，解得，
∴
由①式，有，
∴
∵原点到直线的距离，
∴面积，
两边同时平方，化简，得：，代入①，
解得或，
∴点的坐标为或.
【点睛】本题第（2）问在求解切线方程时，若使用点斜式，会造成很大的运算量，而使用斜截式，可以减少参数量，同时结合韦达定理化简，可以有效减少运算.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的方程为，离心率，点P(2，3)在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程
(2)求过点P的椭圆C的切线方程
(3)若从椭圆一个焦点发出的光线照到点P被椭圆反射，证明：反射光线经过另一个焦点．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据已知条件列方程组即可求出.
（2）由直线与椭圆相切，根据判别式即可求出直线斜率.
（3）利用向量数量积证明直线与关于直线m对称即可；
【详解】（1）由题意可得：，
解得，，
∴椭圆C的方程为：；
（2）显然，过点P(2，3)的切线存在斜率，
设切线l的斜率为k，则：，
由得，
因为直线与椭圆相切，
，
化为：，解得．
∴求过点P的椭圆切线方程为．
（3）证明：∵椭圆C的方程为：，
则椭圆左右焦点分别为，，
∵过点P的椭圆切线方程为，
∴过点P的椭圆法线方程为m：，
法线的方向向量，
∵，，
∴，
，
∴直线，关于直线m对称；
∴从椭圆一个焦点发出的光线照到点P，被椭圆反射后，反射光线一定经过另一个焦点．
【点睛】求椭圆的标准方程有两种方法：
①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．
②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
16．（2023·全国·校联考模拟预测）已知为椭圆的右焦点，为右顶点，为上顶点，离心率为，直线与相切于点，与轴相交于点（异于点），（为坐标原点），且的面积为.
(1)求；
(2)求的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由离心率得到，表达出；
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，得到切点坐标，结合与的面积，列出方程组，求出，，得到椭圆方程.
【详解】（1）因为的离心率为，所以，所以，
所以.
（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设其方程为，
由（1）知的方程为，
联立得，，
由题意知，
所以.①
设，则.
因为，所以，化简得.②
又的面积为，所以.③
由①②③得，从而，
所以的方程为.
【点睛】结论点睛：
过圆上一点的切线方程为：，
过圆外一点的切点弦方程为：.
过椭圆上一点的切线方程为，
过双曲线上一点的切线方程为
当 时，切线方程为 ，代入椭圆C的方程得 ， ，
， ，
同理 时，，
；
综上，.
【点睛】解答这个题，需要考虑切线斜率为0和不存在的情况，必须要分类讨论，
设设圆O的切点为，A，B，M点的坐标要用P点的坐标表示出，
在计算过程中，需要反复使用椭圆方程和直线方程来简化计算.
17．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且.
(1)证明：直线的方程为.
(2)设为双曲线的左焦点，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式进行表达出A的横坐标与纵坐标，进而表达出直线的方程，化简即为结果；（2）再第一问的基础上，利用向量的夹角公式表达出夹角的余弦值，进而证明出结论.
【详解】（1）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，则，化简得.
因为方程有两个相等实根，故切点A的横坐标
，得，则，
故，则，即.
（2）同理可得，又与均过，
所以.
故，，
，
又因为，所以，
则，
，
故，故.
【点睛】圆锥曲线中证明角度相关的问题，往往需要转化为斜率或向量进行求解.
【真题感知】
1．（福建·高考真题）如图，直线与抛物线相切于点.

（1）求实数的值；
（2）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，根据相切可知联立化简后的方程，即可求得的值；
（2）将（1）中所得的值代入联立后的方程，可求得切点坐标，由与抛物线的准线相切可得圆的半径，进而可得圆的标准方程.
【详解】（1）直线与抛物线相切于点.
则，得，（*）
因为直线与抛物线相切，
所以，
解得.
（2）由（1）可知，故方程（*）即为，
解得，代入，得.
故点，
因为圆与抛物线的准线相切，
所以圆的半径等于圆心到抛物线的准线的距离，
即，
所以圆的方程为.
【点睛】本题考查由直线与抛物线相切求参数，抛物线定义的简单应用及圆的标准方程求法，属于基础题.
2．（安徽·高考真题）设是抛物线的焦点．
（Ⅰ）过点作抛物线的切线，求切线方程；
（Ⅱ）设为抛物线上异于原点的两点，且满足，延长分别交抛物线于点，求四边形面积的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）32.
【分析】（Ⅰ）可设切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式等于零列方程即可得结果；（Ⅱ）直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理、弦长公式可求得的值，从而可得四边形面积，利用基本不等式可得结果.
【详解】（Ⅰ）由题意可设切线方程为,联立方程得
由可得:
所求切线方程为:或
（Ⅱ）设, 不妨设直线的斜率为,则方程为
由:得∴
∴
又，∴直线的斜率为:，
同理可得：
∴
∴当时，等号成立，四边形面积的最小值为32
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
3．（陕西·高考真题）已知抛物线，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点.
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）证明见解析．
（Ⅱ）存在，使．
【详解】（Ⅰ）如图，设.
把代入得，由韦达定理得.
∴，∴点的坐标为.
设抛物线在点处得切线的方程为，
将代入上式得，
∵直线与抛物线相切，
∴，∴，即.
（Ⅱ）假设存在实数，使，则.
又∵是的中点，∴.
由（Ⅰ）知.
∵轴，∴.
又
.
∴，解得，即存在，使.
点睛：本题考查的是抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，以及运用所学知识去分析问题解决问题的能力．求解第一问时联立直线与抛物线的方程组，运用斜率相等证明命题的成立；第二问求解的思路是先假设符合题设条件的参数存在，然后再依据题设条件进行分析探求，最终求出满足题设条件的在，使得问题获解．
4．（广东·高考真题）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、、三者的关系求出的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为、，并由两条切线的垂直关系得到，并设从点所引的直线方程为，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，利用得到有关的一元二次方程，最后利用以及韦达定理得到点的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点的坐标，并验证点是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点的轨迹方程.
（1）由题意知，且有，即，解得，
因此椭圆的标准方程为；
（2）①设从点所引的直线的方程为，即，
当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则，
将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，
，
化简得，即，
则、是关于的一元二次方程的两根，则，
化简得；
②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上.
综上所述，点的轨迹方程为.
考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.
5．（广东·高考真题）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
(1) 求抛物线的方程；
(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；
(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)
【详解】试题分析：（1）设拋物线的方程为，利用点到直线的距离,求出,得到抛物线方程；（2）对抛物线方程求导,求出切线的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般式,找出共同点,得到直线的方程；（3）由拋物线定义可知，联立直线与抛物线方程,消去,得到一个关于的一元二次方程,由韦达定理求得的值,还有,将表示成的二次函数的形式,再求出最值.
试题解析: 解：（1）依题意，设拋物线的方程为，由结合，
解得，所以拋物线的方程为.
（2）拋物线的方程为，即，求导得，
设(其中)则切线的斜率分别为，
所以切线的方程为，即，即，
同理可得切线的方程为，
因为切线均过点，所以 ，，
所以为方程的两组解，
所以直线的方程为.
（3）由拋物线定义可知，
联立方程，消去整理得.
由一元二次方程根与系数的关系可得，
所以
又点在直线上，所以，
所以，
所以当时，取得最小值,且取得最小值为.
考点：1.点到直线距离公式；2.抛物线方程；3.利用导数求抛物线上某点切线的斜率；4.二次函数求最值.
【方法点晴】本题利用抛物线为载体,考查了求抛物线方程,利用导数求抛物线上某点切线的斜率等知识点,属于中档题.第一问很容易,第二问中,利用导数求抛物线上一点的切线斜率,比用联立方程,判别式等于的方法要好,步骤少,花的时间也少.从切线的方程,得出直线的方程;第三问先用抛物线定义把的值表示出来,联立直线与抛物线方程,得到的值, 将表示成的二次函数的形式,再求出最值.
6．（福建·高考真题）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．
（1） 求抛物线E的方程；
（2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点
【答案】（1）（2）见解析
【详解】(1)依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°．
设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cs30°＝12．
因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2．故抛物线E的方程为x2＝4y．
(2)方法一：由(1)知y＝x2，y′＝x．
设P(x0，y0)，则x0≠0，且l的方程为
y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－．
由，得．
所以Q(，－1)．
设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝ (x0≠0)的点(x0，y0)恒成立．
由于＝(x0，y0－y1)，＝(，－1－y1)，
由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋＝0，
即(＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0 (*)．
由于(*)式对满足y0＝ (x0≠0)的y0恒成立，
所以，解得y1＝1．
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．
7．（湖南·高考真题）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向
（ⅰ）若，求直线的斜率
（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形
【答案】（1）；（2）（i），（ii）详见解析.
【详解】试题分析：（1）根据已知条件可求得的焦点坐标为，再利用公共弦长为即可求解；（2）（i）设直线的斜率为，则的方程为，由得，根据条件可知，从而可以建立关于的方程，即可求解；（ii）根据条件可说明，因此是锐角，从而是钝角，即可得证
试题解析：（1）由：知其焦点的坐标为，∵也是椭圆的一焦点，
∴ ①，又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，∴②，联立①，②，得，，故的方程为；（2）如图，，，，，
（i）∵与同向，且，∴，从而，即，于是③，设直线的斜率为，则的方程为，由得，而，是这个方程的两根，∴，④，由得，而，是这个方程的两根，∴，⑤，将④⑤带入③，得，即，
∴，解得，即直线的斜率为.

（ii）由得，∴在点处的切线方程为，即
，令，得，即，∴，而，于是
，因此是锐角，从而是钝角.，故直线绕点旋转时，总是钝角三角形.
考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系.
【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题，解决此
类问题的关键：（1）结合椭圆的几何性质，如焦点坐标，对称轴，等；（2）当看到题目中出现
直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条
件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整
体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.
8．（浙江·高考真题）如图，已知抛物线，圆，过点 作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆 相切，A，B为切点.
（1）求点A，B的坐标；
（2）求的面积.
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设定直线的方程，通过联立方程，判别式为零，得到点的坐标；根据圆的性质，利用点关于直线对称，得到点的坐标；（2）利用两点求距离及点到直线的距离公式，得到三角形的底边长与底边上的高，由此计算三角形的面积.
试题解析：（1）由题意可知，直线的斜率存在，故可设直线的方程为.
所以消去，整理得：.
因为直线与抛物线相切，所以，解得.
所以，即点.
设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点，关于直线对称，故有，
解得.即点.
（2）由（1）知，，
直线的方程为，
所以点到直线的距离为.
所以的面积为.
考点：1.抛物线的几何性质；2.直线与圆的位置关系；3.直线与抛物线的位置关系.