新高考数学一轮复习精品讲练测第9章第04讲 随机事件 频率与概率（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
1．事件的分类
2.事件的关系与运算
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
考点一、事件的判断
1．（2022·全国·高三专题练习）以下事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为的矩形，其面积为D．实系数一元一次方程必有一实根
【答案】B
【分析】根据随机事件的概念判断即可
【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；
B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；
C．长和宽分别为的矩形，其面积为是必然事件；故本选项不符合题意；
D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）以下现象中不是随机现象的是（ ）．
A．在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，正反两面都出现
B．明天下雨
C．连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点
D．平面四边形的内角和是360°
【答案】D
【分析】根据随机现象的定义进行判断即可.
【详解】因为平面四边形的内角和是360°是一个确定的事实，而其他三个现象都是随机出现的，
所以选项D不符合题意，
故选：D
3．（2022·浙江·高三专题练习）有两个事件，事件抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件人中至少有人生日相同.下列说法正确的是（ ）
A．事件、都是随机事件B．事件、都是必然事件
C．事件是随机事件，事件是必然事件D．事件是必然事件，事件是随机事件
【答案】C
【解析】判断事件、的类型，由此可得出结论.
【详解】对于事件，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件为随机事件；
对于事件B，一年有天或天，由抽屉原理可知，人中至少有人生日相同，事件为必然事件.
故选：C.
【点睛】本题考查事件类型的判断，属于基础题.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取，则是必然事件；
②若任取，则是不可能事件；
③若任取，则是随机事件；
④若任取，则是必然事件．
其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】、
由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韦恩图如图：
对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取，则是必然事件，故①正确；
对于②：任取，则是随机事件，故②不正确；
对于③：因为集合A是集合B的真子集，
集合B中存在元素不是集合A中的元素，
集合B中也存在集合A中的元素，
所以任取，则是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，
任取，则是必然事件，故④正确；
所以①③④正确，正确的命题有3个．
故选：C．
5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张红色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是必然事件
【答案】ABC
【分析】由随机事件、不可能事件、必然事件的概念对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；
对于B，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；
对于C，因为只有2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，所以事件“至少有一张红色卡片”是必然事件，故C正确；
对于D，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D不正确.
故选：ABC.
1．（2023·全国·高三专题练习）下列事件中不是确定事件的个数是（ ）
①从三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；②水中捞月；③守株待兔；④某地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据随机事件的定义分析判断即可
【详解】三角形三条高线一定交于一点，则①是必然事件；
②水中捞月是不可能事件；
③守株待兔是随机事件，不是确定事件；
④某地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量是随机事件，不是确定事件.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）下列事件：（1）在标准大气压下，水加热到100℃沸腾；（2）平面三角形的内角和是180°；（3）骑车到十字路口遇到红灯；（4）某人购买福利彩票5注，均未中奖；（5）没有水分，种子发芽了．其中随机事件的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据随机事件的定义进行判断即可.
【详解】事件（1）是基本事实，因此是确定事件；事件（2）是基本事实，因此它是确定事件；
事件（3、（4）是随机出现，是随机事件；事件（5）是不可能事件，
故选：B
3．（2023·广东·高三统考学业考试）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
【答案】C
【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断.
【详解】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，
在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；
在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；
在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；
在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．
故选：C．
4．（2023秋·四川宜宾·高三四川省兴文第二中学校校考开学考试）已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（ ）
A．事件“都是红色球”是随机事件
B．事件“都是白色球”是不可能事件
C．事件“至少有一个白色球”是必然事件
D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件
【答案】C
【分析】对事件分类，利用随机事件的定义直接判断即可．
【详解】因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4个球共有：3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况.
故事件“都是红色球”是随机事件，故A正确；
事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确；
事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误；
事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确．
故选：C
5．（2023·全国·高三对口高考）给出下列四种说法：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当x为某一实数时可使”是不可能事件；
③“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件；
④从装有8个红球，6个白球的袋中任取2球，事件“至少有一个白球”和“都是红球”是两个对立事件；
其中不正确说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】根据事件的分类，以及对立事件的定义，即可判断选项.
【详解】①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”正确，所以是必然事件；故①正确；
②不存在，使，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件；故②正确；
③“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；故③正确；
④根据对立事件的定义，可知事件“至少有一个白球”的对立事件是一个白球都没有，即都是红球，故④正确；
故选：A
考点二、事件的关系和运算
1．（2022·全国·高三专题练习）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】合理设出事件，从而得到事件A，B，C三者的关系.
【详解】记事件{1枚硬币正面朝上}，{2枚硬币正面朝上}，{3枚硬币正面朝上}，则，，
显然，，，C不含于A.
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品不全是次品”，则下列结论不正确的是（ ）
A．A与B互斥且为对立事件B．B与C互斥且为对立事件
C．A与C存在有包含关系D．A与C不是对立事件
【答案】A
【分析】将取出的三件产品分类为M= “三件产品全是正品”，N= “两件正品，一件次品”，P= “一件正品，两件次品”，Q= “三件产品全是次品”，进而根据题意得到答案.
【详解】取出的三件产品分类为M= “三件产品全是正品”，N= “两件正品，一件次品”，P= “一件正品，两件次品”，Q= “三件产品全是次品”，它们之间两两互斥.
于是A=M，B=Q，，
所以A与B互斥但不对立，A错误；B,C,D正确.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）掷一个骰子，下列事件：，，，，．求：
(1)， ；
(2)，；
(3)记是事件的对立事件，求，，，．
【答案】(1)，.
(2)，．
(3)，，，．
【分析】（1）根据交事件（积事件）的概念求解即可；
（2）根据并事件（和事件）的概念求解即可；
（3）根据对立事件与交事件、并事件运算求解即可.
【详解】（1），，，
，.
（2），，，
，．
（3），，，，.
，，
，，，．
4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系正确的是（ ）
A．A⊆DB．B∩D＝
C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D
【答案】ABC
【分析】根据试验过程，分析出事件A、B、C、D的含义，对四个选项一一判断.
【详解】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A⊆D ，A∪C＝D.故A、C正确；
因为事件B，D为互斥事件，所以B∩D＝.故B正确；
对于D：A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等.故D错误.
故选：ABC.
5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）抛掷一枚质地均匀的股子，定义以下事件：“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数大于3”，“点数为4”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由事件的基本关系及运算依次判断即可.
【详解】对于A，“点数大于3”，“点数大于2”，显然，A正确；
对于B，“点数为4”，“点数大于3”，，B正确；
对于C，由A选项知，，则，C错误；
对于D，“点数大于2”，“点数不大于2”，显然不能同时发生，则，D正确.
故选：ABD.
1．（2022·全国·高三专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据试验过程，分析出事件A、B、C、D的含义，对四个选项一一判断.
【详解】“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况:一种是恰有一枚炮弹击中飞机，
另一种是两枚炮弹都击中飞机.所以，，
“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，
所以，
又包含该试验的所有样本点，为必然事件，
而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”，所以.
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品.
并给出以下结论：
①；②是必然事件；③；④.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②③
【答案】A
【解析】根据事件的关系逐个判断即可.
【详解】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正确；事件,③不正确；
事件：至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确；
事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.
故选：A
【点睛】本题主要考查了事件的基本关系,属于基础题型.
3．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可.
【详解】由题可得：①，正确；②事件“靶被击中”，表示甲乙同时击中，，所以②错误；
③，正确，④表示靶被击中，所以④错误；⑤，正确；⑥互为对立事件，，正确；⑦，所以⑦不正确．
正确的是①③⑤⑥．
故选：B
【点睛】此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析.
4．（2023·全国·高三专题练习）（多选）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品．
下列选项正确的是（ ）
A．B．是必然事件
C．D．
【答案】AB
【分析】根据已知条件以及利用和事件、积事件的定义进行判断.
【详解】对于A选项，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正确；
对于B选项，事件指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；
对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件，故C错误；
对于D选项，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误．
故选：AB．
5．（多选）（2023·全国·高三专题练习）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】记{有枚硬币正面向上}，，则，结合事件的关系和运算逐项分析判断.
【详解】记{有枚硬币正面向上}，，
则，
对于选项A：因为，故A错误；
对于选项B：因为，故B错误；
对于选项C：因为，故C正确；
对于选项D：因为，故D正确；
故选：CD.
考点三、频率与概率
1．（2022·全国·高三专题练习）某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（ ）
A．频率为B．概率为C．频率为D．概率接近
【答案】A
【分析】根据频率和概率的知识确定正确选项.
【详解】依题意可知，事件的频率为，概率为.
所以A选项正确，BCD选项错误.
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.55，0.55B．0.55，0.5C．0.5，0.5D．0.5，0.55
【答案】B
【分析】根据频率的计算公式可求得频率，结合概率的含义可确定概率，即得答案.
【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，
那么出现正面朝上的频率为 ,
由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是,
故出现正面朝上的概率为 ,
故选︰B．
3．（2022·全国·高三专题练习）某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3次中9环，4次中8环，1次未中靶，则此人中靶的频率是（ ）
A．0.2B．0.4C．0.5D．0.9
【答案】D
【分析】直接利用频率的公式求解.
【详解】由题得这个人中靶的次数为2+3+4=9，
所以此人中靶的频率是.
故选：D
4．（2022·浙江·高三专题练习）某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：
根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（ ）
A．0.78B．0.79C．0.80D．0.82
【答案】C
【分析】利用频率估计概率即可求解.
【详解】大量重复试验，由表格知射击运动员射中8环以上的频率稳定在，
所以这名运动员射击一次射中8环以上的概率为，
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A查到共有840人参与评价，其中好评率为，乙在网站B查到共有1260人参与评价，其中好评率为．综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知数据直接计算可得.
【详解】由已知可得这家健身房的总好评率为.
故选：B.
1．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30 %，乙校成绩的优秀率为35%，现将两所学校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙校参加考试的人数占总数的60%，现从中任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（ ）
A．0.165B．0.16C．0.32D．0.33
【答案】D
【分析】利用概率的定义求解.
【详解】解：由题意得：将两所学校的成绩放到一起，从中任取一个学生成绩，
取到优秀成绩的概率为，
故选：D
2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）某机构对某银行窗口服务进行了一次调查，得到如下数据：
则估计顾客的等待时间少于15分钟的频率是（ ）
A．0.19B．0.24C．0.38D．0.76
【答案】D
【分析】根据表中的数据直接求解
【详解】由题意可得顾客的等待时间少于15分钟的频率是．
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为（ ）
A．72%B．74%C．75%D．76%
【答案】B
【分析】根据题意可直接计算.
【详解】该同学这两场投篮的命中率为.
故选：B.
4．（2022·广东·统考模拟预测）某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则x=（ ）
A．100B．300C．400D．600
【答案】B
【分析】根据频数分布表确定概率
【详解】这种冷饮一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25℃，
由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为，
所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1.
故选：B．
5．（2022·全国·高三专题练习）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么误差较小的可能性的估计是（ ）
A．0.68B．0.625C．0.587D．0.615
【答案】D
【分析】由频率和概率的关系求解.
【详解】解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小．
故选：D．
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（ ）.
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；
B．小概率事件很少发生，不用怕；
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生；
D．大概率事件就是必然事件，一定发生．
【答案】A
【分析】理解谚语的描述，应用数学概率知识改写即可.
【详解】“不怕一万，就怕万一” 表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防；
故选：A
2．（2023·广东·高三学业考试）明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．三次均未中靶B．只有两次中靶
C．只有一次中靶D．三次都中靶
【答案】A
【分析】根据互斥事件的概念分析判断.
【详解】样本空间为：“三次均未中靶”，“只有一次中靶”，“只有两次中靶”和“三次都中靶”，
事件“至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”、“只有两次中靶”和“三次都中靶”，
所以选项B、C、D中的事件与事件“至少有一次中靶”不互斥，
事件“三次均未中靶”与事件“至少有一次中靶”互斥，故A正确，B、C、D错误；
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）袋内有个白球和个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为，“第二次摸得黑球”记为，那么事件与，与间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥D．与互斥，与相互独立
【答案】A
【分析】根据相互独立和互斥的定义即可判断，或者根据概率的乘法公式验证也可判断相互独立.
【详解】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故与，与C均相互独立．而与，与均能同时发生，从而不互斥．
方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为，
用古典概型概率计算公式易得．而事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以，所以与相互独立：同理，事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，，所以与相互独立．
故选:A．
4．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红､黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答.
【详解】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；
对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；
对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是；
对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.
故选：C
5．（2023·全国·高三对口高考）下列说法正确的是（ ）
A．互斥事件一定是对立事件
B．某事件的概率为1.1
C．若彩票中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖
D．必然事件的概率为1
【答案】D
【分析】根据互斥事件和对立事件的区别与联系可知A选项错误；由随机事件概率的性质可知某事件的概率不可能大于1，即B错误；根据互斥事件概率的计算公式可知，买1000张这种彩票也不一定能中奖，即C错误；由必然事件的概念可得D正确.
【详解】对于A，互斥事件和对立事件都不可能同时发生，但对立事件两者必发生其一，而互斥事件还可能发生第三种情况，所以互斥事件不一定是对立事件，即A错误；
对于B，根据随机事件概率的性质可知，某事件的概率取值范围为，即B错误；
对于C，根据随机事件的概率可知，买1000张这种彩票也会有的可能性不中奖，所以C错误；
对于D，根据必然事件和不可能事件的定义可知，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即D正确；
故选：D
6．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30 %，乙校成绩的优秀率为35%，现将两所学校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙校参加考试的人数占总数的60%，现从中任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（ ）
A．0.165B．0.16C．0.32D．0.33
【答案】D
【分析】利用概率的定义求解.
【详解】解：由题意得：将两所学校的成绩放到一起，从中任取一个学生成绩，
取到优秀成绩的概率为，
故选：D
7．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，则下列说法正确的是（ ）
A．“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件
B．“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”是互斥事件
C．“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，也是对立事件
D．“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件
【答案】D
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，结合题意逐项检验即可求解.
【详解】“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故A错误；
“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误；
“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，不是对立事件，故C错误；
“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件，故D正确.
故选：D.
8．（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在手工课上，老师将蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（ ）．
A．对立事件B．不可能事件
C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件
【答案】C
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念求解即可.
【详解】甲、乙不可能同时得到红色，故这两件事是互斥事件.
又因为甲、乙可能都拿不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，
所以这两件事不是对立事件.
故选：C
9．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一本政治与都是数学B．至少有一本政治与都是政治
C．至少有一本政治与至少有一本数学D．恰有1本政治与恰有2本政治
【答案】D
【分析】总的可能的结果为“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，然后写出各个事件包含的事件，结合互斥事件与对立事件的概念，即可得出答案.
【详解】从装有2本数学和2本政治的四本书内任取2本书，
可能的结果有：“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，
“至少有一本政治”包含事件：“两本政治”，“一本数学一本政治”.
对于A，事件“至少有一本政治”与事件“都是数学”是对立事件，故A错误；
对于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，两个事件是包含关系，不是互斥事件，故B错误；
对于C，事件“至少有一本数学”包含事件：“两本数学”，“一本数学一本政治”，因此两个事件都包含事件“一本数学一本政治”，不是互斥事件，故C错误；
对于D，“恰有1本政治”表示事件“一本数学一本政治”，与事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不对立，故D正确.
故选:D.
10．（2023·四川内江·统考三模）一个人连续射击次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件
C．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
【答案】D
【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案.
【详解】一个人连续射击次，其可能结果为击中次，击中次，击中次，
其中“至少一次击中”包括击中一次和击中两次，
事件“两次均击中”包含于事件“至少一次击中”，故A错误；
事件“第一次击中”包含第一次击中且第二次没有击中，或第一、二次都击中，
事件“第二次击中” 包含第二次击中且第一次没有击中，或第一、二次都击中，故B错误；
事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”可以同时发生，故C错误；
事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件，故D正确；
故选：D
11．（2023·全国·高三专题练习）池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692
8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935
9635 2379 1805 9890 0735 4640 6298 8054 9720 5695
1574 8008 3216 6470 5080 6772 1642 7920 3189 0343
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意找出0～5的整数恰出现3次的四位数的组数，再根据古典概型即可得出答案.
【详解】解：在40组四位随机数中，0～5的整数恰出现3次的四位数有16组，故四天中恰有三天下雨的概率的估计值为.
故选：B.
12．（2023·全国·高三专题练习）某家庭有三个孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互独立的．记事件A：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩；则下列说法中正确的是（ ）
A．事件与事件互斥但不对立B．事件A与事件互斥且对立
C．事件与事件相互独立D．事件A与事件相互独立
【答案】D
【分析】先列出生3个小孩包含的基本事件数及事件A，事件B，事件C，包含的基本事件数，再利用互斥，对立和独立事件所满足的关系，对四个选项一一作出判断.
【详解】生3个小孩的总事件包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共8个基本事件，
事件A包含（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），共6个基本事件，
事件B包含（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共4个基本事件，
事件C包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），共4个基本事件，
A选项，因为，，所以事件与事件互斥且对立，A错误；
B选项，因为，所以事件A与事件B不互斥，不对立，B错误；
C选项，因为，所以，又，故，故事件与事件不独立，C错误；
D选项，因为有3个基本事件，所以，又，
所以，D正确.
故选：D
13．（2023·全国·高三专题练习）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是红球
【答案】C
【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.
【详解】对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，不正确；
对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，不正确；
对于：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，正确；
对于：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，
这两个事件是对立事件，不正确；
故选：.
二、多选题
14．（2023春·广东深圳·高三深圳市福田区福田中学校考阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 “第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ）
A．与不互斥且相互独立B．与互斥且不相互独立
C．与互斥且不相互独立D．与不互斥且相互独立
【答案】ABD
【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可.
【详解】对于A：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即与相互独立；
第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥；故A正确；
对于B：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立；
第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即与不能同时发生，即与互斥，故B正确；
对于C：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立；
若第一次的点数为5，第二次的点数4点，则两次点数之和为9，即与可以同时发生，即与不互斥，故C错误；
对于D：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，即与相互独立；
若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即与不互斥，故D正确.
故选：ABD.
15．（2023·全国·高三专题练习）从1，2，3，，9中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有（ ）
A．“三个都为偶数”和“三个都为奇数”B．“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”
C．“至少有一个奇数”和“三个都为偶数”D．“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”
【答案】AD
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断即可.
【详解】从1~9中任取三数，按这三个数的奇偶性分类，有四种情况：
（1）三个均为奇数；（2）两个奇数一个偶数；（3）一个奇数两个偶数；（4）三个均为偶数，所以选项A、D是互斥但不是对立事件，选项C是对立事件，选项B不是互斥事件.
故选：AD.
三、填空题
16．（2023·上海·高三专题练习）在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：
423 231 423 344 114 453 525 323 152 342
345 443 512 541 125 342 334 252 324 254
相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为 ．
【答案】
【分析】由20组随机数中先求出甲获胜的频数，从而可求出甲获胜的频率，进而可得答案
【详解】解：由题意可知，20组随机数中甲获胜的有：423 231 423 114 323 152 342 512 125 342 334 252 324有13组，
所以甲获胜的频率为，
所以甲获得冠军的概率的近似值约为，
故答案为：
【点睛】此题考查频率与概率的关系，属于基础题
17．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 .
【答案】
【分析】利用古典概型的随机数法求解.
【详解】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数，
所以恰好抽取三次就停止的概率约为，
故答案为：
18．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在一个口袋中放有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为 ．（小数点后保留一位小数）
【答案】0.7
【分析】以频率估计概率，直接运算求解即可.
【详解】由题意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次数共152次，摸到红球的次数共348次，
所以摸到红球概率的估计值为.
故答案为：0.7
19．（2023·全国·高三专题练习）已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为 .
【答案】0.3
【分析】确定随机数组中以恰有两个数字是2，4，6，8，再由概率公式计算．
【详解】由题意，随机数组421，292，274，632，478，663共6个，表示恰有两次命中十环，
所以概率为．
故答案为：0.3．
20．（2022秋·新疆阿克苏·高三校考期末）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人．
【答案】
【分析】求出在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，即可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人数.
【详解】由题意，在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，
故可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的约有.
故答案为：.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ）
A．A与B不互斥B．A与D互斥且不对立
C．C与D互斥D．A与C相互独立
【答案】D
【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据与的关系判断事件是否独立.
【详解】由，，，即，故A、B互斥，A错误；
由，A、D互斥且对立，B错误；
又，，则，C与D不互斥，C错误；
由，，，
所以，即A与C相互独立，D正确.
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．事件发生的概率等于事件发生的频率
B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点
C．掷两枚质地均匀的硬币，事件为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件为“两枚都是正面朝上”，则
D．对于两个事件、，若，则事件与事件互斥
【答案】C
【解析】根据频率与概率的关系判断即可得A选项错误；根据概率的意义即可判断B选项错误；根据古典概型公式计算即可得C选项正确；举例说明即可得D选项错误.
【详解】解：对于A选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A选项错误；
对于B选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，表示一次实验发生的可能性是，故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B选项错误；
对于C选项，根据概率的计算公式得，，故，故C选项正确；
对于D选项，设，A事件表示从中任取一个数，使得的事件，则，B事件表示从中任取一个数，使得的事件，则，显然，此时A事件与B事件不互斥，故D选项错误.
【点睛】本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于D选项的判断，适当的举反例求解即可.
3．（2023·全国·高三专题练习）连续掷一枚质地均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记，则下列说法正确的是（ ）
A．事件“”的概率为0B．事件“”为必然事件
C．事件“”与“”为对立事件D．事件“m是奇数”与“”为互斥事件
【答案】D
【分析】利用列举法和概率公式计算可知A错误；根据必然事件的概念可判断B错误；根据互斥、对立事件的概念可知C错误，D正确.
【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数有：，，，，，，共36种，
对于A，事件“”所包含的基本事件有6个，所以概率为，故A错误；
对于B，事件“” 所包含的基本事件有0个，为不可能事件，故B错误；
对于C，事件“”与“”可以同时发生，不是对立事件，故C错误；
对于D，事件“m是奇数”与“”不能同时发生，所以事件“m是奇数”与“”互为互斥事件，故D正确.
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P（A）＋P（B）＝1”，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案.
【详解】①若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P（A）＋P（B）＝1；
②投掷一枚硬币3次，满足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不一定是对立事件，如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P（A）＝，P（B）＝，满足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不是对立事件.
所以甲是乙的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对立事件的理解，属于基础题.
5．（2022·广西南宁·南宁三中校考二模）从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：
①至少有一个黑球与都是黑球是互斥事件；
②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；
③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥事件；
④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.
在上述说法中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】写出从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球的所有可能情况，再去辨析各选项的正误，互斥事件不能有交集事件.
【详解】设两个红球为球a、球b，两个黑球为球1、球2.
则从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，所有可能的情况为
共6种.
①至少有一个黑球与都是黑球有公共事件，故二者不是互斥事件，判断错误；
②至少有一个黑球与至少有一个红球有公共事件，故二者不是互斥事件，判断正确；
③恰好有一个黑球包含事件，恰好有两个黑球包含事件，故二者是互斥事件，判断正确；
④至少有一个黑球包含事件，都是红球包含事件，故二者是对立事件，判断正确.
故选：C
6．（2022·江苏·统考二模）随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件“甲乙两人所选课程完全不同”，事件“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则（ ）
A．A与B为对立事件B．A与C互斥
C．A与C相互独立D．B与C相互独立
【答案】C
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念即可判断A、B，再根据古典概型的概率公式求出、、、、，根据相互独立事件的定义判断C、D；
【详解】解：依题意甲、乙两人所选课程有如下情形①有一门相同，②两门都相同，③两门都不相同；
故与互斥不对立，与不互斥，
所以，，
且，，
所以，，
即与相互独立，与不相互独立.
故选：C
7．（2022秋·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．若，，是一组两两相互独立的事件，则
B．若，事件满足，则，是对立事件
C．若，是互斥事件，则
D．“，是互斥事件”是“，是对立事件”的充分不必要条件
【答案】C
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念对各个选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于选项A，例如，从1，2，3，4中随机选出一个数字，
记事件为“选出的数字为1或2”，事件为“选出的数字为1或3”，
事件为“选出的数字为1或4”，
则事件，，，同时发生的事件为“选出的数字为1”，
因为，，
所以，，，
故，，是一组两两独立的事件，但是，A不正确.
对于选项B，例如，投掷一枚质地均匀的骰子，
记事件为“点数为1，2，3”，事件为“点数为2，4，6”，则，
但是，不是对立事件，B不正确.
对于选项C，因为，是互斥事件，所以为必然事件，则，C正确.
对于选项D，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，
所以“，是互斥事件”是“，是对立事件”的必要不充分条件，D不正确.
故选：C.
8．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥但不对立B．事件与事件互斥且对立
C．事件与事件相互独立D．事件与事件相互独立
【答案】D
【分析】利用互斥事件、对立事件的意义可判断选项A，B；利用独立事件的定义可判断C,D
【详解】有三个小孩的家庭的样本空间可记为：
={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}
事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
对于A，,且，所以事件B与事件C互斥且对立，故A不正确；
对于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件与事件不互斥，故B不正确；
对于C，事件有4个样本点，事件有4个样本点，事件有0个样本点，，显然有，即事件与事件不相互独立，故C不正确；
对于D，事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有3个样本点，，显然有，即事件与事件相互独立，故D正确；
故选：D
9．（2022秋·江苏南通·高三校考期中）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ）
A．A与B不互斥B．A与D互斥但不对立
C．C与D互斥D．A与C相互独立
【答案】D
【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立.
【详解】由，，，即，故A、B互斥，A错误；
由，A、D互斥且对立，B错误；
又，，则，C与D不互斥，C错误；
由，，，
所以，即A与C相互独立，D正确.
故选：D
二、多选题
10．（2022秋·福建莆田·高三莆田一中校考期中）连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为A事件，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”记为B事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为C事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为D事件，则（ ）
A．A与B互斥B．C与D互斥
C．A与C相互独立D．B与D一定不相互独立
【答案】BC
【分析】由已知，根据题意，分别写出事件A、B、C、D包含的基本事件，并计算出概率，然后根据选项一一验证即可做出判断.
【详解】因为抛掷一次骰子，包含6个基本事件，
事件A表示结果向上的点数为1,2，所以；
事件B表示第二次抛掷结果向上的点数为3,6，所以；
事件C表示结果向上的点数为（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18种情况，而抛掷两次骰子共出现36种情况，所以；
事件D表示结果向上的点数为（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5）共18种情况，而抛掷两次骰子共出现36种情况，所以；
选项A，事件A与事件B会同时发生，如第一次抛1，第二次抛3，所以，事件A与事件B不互斥，该选项错误；
选项B，由上述事件C和事件D表示的结果可知，，所以事件C与事件D互斥，该选项正确；
选项C，，，
表示两次抛掷结果向上的点数之和为偶数且第一次抛掷结果向上的点数小于3的概率，共有（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），共6种情况，
所以，所以A与C相互独立，该选项正确；
选项D， 因为，，
而表示两次抛掷结果向上的点数之和为奇数且第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数的概率，共有（2，3），（4，3），（6，3），（1，6），（3，6），（5，6），共6种情况，
所以
所以B与D相互独立，该选项错误；
故选：BC.
11．（2022·浙江宁波·高三统考竞赛）一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（ ）
A．事件A与事件C互斥
B．事件B与事件C互斥
C．事件A与事件B相互独立
D．事件B与事件C相互独立
【答案】ACD
【分析】根据互斥事件的概念可判断AB的正误，根据独立事件的判断方法可得CD的正误.
【详解】对AB，若摸得的球为红球，则其标号为1或2，不可能为3的倍数，
故事件A与事件C互斥，故A正确；
若摸得的球的标号为6，则该标号为3的倍数，故事件B与事件C不互斥，故B错误；
对C，，所以C正确；
对D，，所以D正确；
故选：ACD．
12．（2023·全国·高三专题练习）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】求出事件A，B的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解.
【详解】依题意，，，
显然事件A，B互斥，，
事件B，C互斥，则，
于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.
故选：ABC.
13．（2021秋·江苏南通·高三统考阶段练习）一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件M发生的概率为B．事件M与事件N互斥
C．事件M与事件N相互独立D．事件发生的概率为
【答案】AC
【分析】A应用互斥事件加法求概率；B由互斥事件的定义，结合题设描述判断；C判断是否成立即可；D应用对立事件的概率求法求发生的概率即可判断.
【详解】由题设知：，A正确；
由：“第一次向下的数字为3或4”与：“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，B错误；
因为，而，故，即事件M与事件N相互独立，C正确；
，表示“第一次向下的数字为1或2”且“两次向下的数字之和为奇数”，故，所以，D错误.
故选：AC.
14．（2022·全国·高三专题练习）下列说法不正确的是（ ）
A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件
B．若A，B为两个事件，则
C．若事件A，B，C两两互斥，则
D．若事件A，B满足，则A与B相互对立
【答案】BCD
【分析】A. “A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；
B. ,所以该选项错误；
C. 举反例说明不一定成立，所以该选项错误；
D. 举反例说明A与B不对立，所以该选项错误.
【详解】解：A. 若A，B为两个事件，“A与B互斥”则“A与B不一定相互对立”； “A与B相互对立”则“A与B互斥”，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；
B. 若A，B为两个事件，则,所以该选项错误；
C. 若事件A，B，C两两互斥，则不一定成立，如：掷骰子一次，记向上的点数为1，向上的点数为2，向上的点数为3，事件A，B，C两两互斥，则.所以该选项错误；
D. 抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，所以该选项错误.
故选：BCD
15．（2022秋·福建福州·高三福建师大附中校考阶段练习）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是红球”，事件“第二次取出的是红球”，事件“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（ ）
A．与互为对立B．与互斥
C．与相互独立D．与相互独立
【答案】ACD
【分析】根据对立事件、互斥事件、相互独立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】先编号：红球为，白球为，
不放回依次取出两个，基本事件有，共种，
事件“”；
事件“”；
事件“”；
事件“”.
A选项，，所以与互为对立事件；
B选项，，所以与不是互斥事件；
C选项，事件“”，
所以，
所以与相互独立，所以C选项正确.
D选项，事件“”，
，
所以与相互独立，所以D选项正确.
故选：ACD
16．（2022·山东济南·济南市历城第二中学校考模拟预测）一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（ ）
A．“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B．
C．“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D．“至少有1件次品”和“都是正品”
【答案】AD
【分析】判断各选项中的事件是否有同时发生的可能，即可确定答案.
【详解】A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生，为互斥事件；
B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；
C：“至少有1件正品” 的基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件正品” }，“至少有1件次品” 的基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件次品” }，它们有共同的基本事件“有1件正品和1件次品” ，不是互斥事件；
D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件；
故选：AD
17．（2022秋·湖南益阳·高三统考阶段练习）一个人打靶时连续射击两次，甲表示事件“至少有一次中靶”，乙表示事件“恰有一次中靶”，丙表示事件“两次都中靶”，丁表示事件“两次都不中靶”，则（ ）
A．甲与乙是互斥事件B．乙与丙是互斥事件
C．乙与丁是对立事件D．甲与丁是对立事件
【答案】BD
【分析】分别写出各事件包含的基本事件，再结合互斥与对立事件的概念依次讨论求解即可.
【详解】解：一个人打靶时连续射击两次，其基本事件有：两次都不中靶；第一次中靶，第二次不中靶；第一次不中靶，第二次中靶；两次都中靶.
其中甲事件包含的基本事件有：第一次中靶，第二次不中靶；第一次不中靶，第二次中靶；两次都中靶.
乙事件包含的基本事件有：第一次中靶，第二次不中靶；第一次不中靶，第二次中靶；
丙事件包含的基本事件有：两次都中靶；
丁事件包含的基本事件有：两次都不中靶.
所以根据互斥与对立事件的定义，甲与乙不互斥，乙与丙互斥，乙与丁互斥不对立，甲与丁为对立事件.
故AC错误，BD正确.
故选：BD
18．（2023·浙江·二模）已知为实验的样本空间，随机事件，则（ ）
A．为必然事件，且B．为不可能事件，且
C．若，则为必然事件D．若，则不一定为不可能事件
【答案】ABD
【分析】根据必然事件和不可能事件的定义，再结合样本空间为有限和无限的情况，判断选项.
【详解】A.当为必然事件，且，故A正确；
B. 为不可能事件，且，故B正确；
C. 若，则不一定为必然事件，若样本空间是区间，但质点落在区间的概率也是1，此时不是必然事件，故C错误；
D. 若，则不一定为不可能事件，若样本空间是区间，但质点落在处的概率为0，但此时不是不可能事件，故D正确.
故选：ABD
19．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，=“第1次取出的是红球”，=“第2次取出的是红球”，=“两个球颜色不同”．则下列说法正确的是（ ）
A．A与相互独立B．A与互为对立
C．与互斥D．与相互独立
【答案】ABD
【分析】设2个红球为，2个白球为，运用列举法可得样本空间，后由事件相互独立，对立，互斥相关概念可得答案.
【详解】2个红球为，2个白球为，则样本空间为：
，共12个基本事件.
事件A，共4个基本事件.
事件B，共6个基本事件.
事件C，共6个基本事件.
事件D，共8个基本事件.
对于A选项，因，
则，故A与相互独立.故A正确；
对于B选项，注意到，得A与互为对立.故B正确；
对于C选项，注意到，则与不互斥.故C错误.
对于D选项，因，
则，故D与相互独立.故D正确.
故选：ABD
三、填空题
20．（2022·全国·高三专题练习）某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1~5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:
则落在桌面的数字不小于4的频率为 .
【答案】0.35
【详解】落在桌面的数字不小于4,即4,5的频数为13+22=35.所以频率为=0.35.
【真题感知】
一、单选题
1．（2011·重庆·高考真题）从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】C
【详解】试题分析：从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率．
解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数字中，
样本数据落在[114.5，124.5）内的有116，120，120，122共有四个，
∴样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为=0.4，
故选C
点评：本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．
2．（2005·浙江·高考真题）从存放号码分别为1，2，，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是（ ）
A．0.53B．0.5C．0.47D．0.37
【答案】A
【分析】有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码．这样事件的总数是100，从表中可以看出取到的卡片上数字是奇数有53种情况，可直接算出频率．
【详解】由题意知，
∵有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，
∴总次数是100，
由表可以看出取到号码为奇数有13＋5＋6＋18＋11＝53种结果，
所以频率，
故选：A．
3．（2015·湖北·高考真题）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石B．169石C．338石D．1365石
【答案】B
【详解】设夹谷石，则，
所以，
所以这批米内夹谷约为石，故选B.
考点：用样本的数据特征估计总体.
4．（2006·湖北·高考真题）甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么
A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分但不必要条件
C．甲是乙的必要但不充分条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【答案】C
【详解】分析:根据互斥事件和对立事件的概念，根据充分条件和必要条件的概念分析解答.
详解：当、是互斥事件时，、不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条件.
当、是对立事件时，、一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件.
所以甲是乙的必要非充分条件.
故选C.
点睛：本题主要考查互斥事件和对立事件的联系和区别，考查充分条件和必要条件的概念.
甲乙互斥，但是甲乙不一定对立，甲乙对立，则甲乙一定互斥.
二、填空题
5．（2007·全国·高考真题）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的概率约为 ．
【答案】 /
【分析】首先从所给的 袋抽取的质量中找出质量在之间的质量，进而确定几袋，用所得袋数除以总袋数袋，进一步得到样本中质量在之间的概率，根据频率分布估计总体分布的原理，将样本中的频率近似看作总体中的概率即可.
【详解】解：通过统计，可知自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的共有 袋，
所以袋装食盐质量在之间的概率为，
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的概率约为： .
确定事件
必然事件
在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件
不可能事件
在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件
随机事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅；P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)＝1
射击次数
50
100
200
400
1000
射中8环以上的次数
44
78
158
320
800
等待时间（分钟）
人数
4
8
7
4
2
最高气温
天数
4
5
25
38
18
第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
68
125
176
369
命中的频率
0.68
0.625
0.587
0.615
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
落在桌面的数字
1
2
3
4
5
频 数
32
18
15
13
22
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9