长沙市岳麓区培圣学校2024-2025学年度第一学期八年级第三次月考数学试卷

这是一份长沙市岳麓区培圣学校2024-2025学年度第一学期八年级第三次月考数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
总分：100分 时量：120分钟 考试形式：闭卷
一、单选题
1．下列式子是分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．若点与关于轴对称，则（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在直角三角形中，，，，则等于（ ）
A．2B．3C．4D．

（第3题） （第4题） （第10题）
4．如图，已知，，如果添加一个条件使，则添加的条件不可以是（ ）
A．B．C．D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．若把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
7．若是一个完全平方式，则的值为（ ）
A．9 B．-9 C． D．以上都不对
8．长沙宁乡曾出土过四羊方尊、人面方鼎等国之重器，还是中国礼乐文化的中心，其周文化基因世代传承．为了丰富学生社会实践活动经历，培圣中学组织学生乘车去距学校的炭河里青铜博物馆参观学习，回程的平均速度比去程的平均速度快20千米/时，回程路上所花时间比去程节省了．设去程的平均速度为千米/时，下列方程正确的（ ）
A．B．
C．D．
9．等腰三角形有一个角是50°，它的底角是（ ）
A．50° B．65° C．50°或100° D．50°或65°
10．如图，“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄做，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是，小正方形的面积是，则大正方形的面积是（ ）
A．121B．144C．169D．196
二、填空题
11．计算： ．
12．如果一个正多边形的内角和等于，那么该正多边形的边数是 ．
13．已知a+b＝4，ab=3，则a2+b2的值为 ．
14．如果代数式有意义，那么x的取值范围是 ．
15．的整数部分是 ．
16．若y=2x，则的值为 ．
三、解答题
17．计算：
18．因式分解：
（1）； （2）．
先化简，再求值：，其中．
20．如图，是的边上一点，， 交于点，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长．
21．已知：，．
(1)求的值．
(2)求的值．
22．米粉是长沙的特色美食，五一广场某小吃店推出两款米粉，一款是“经典手工酸辣粉”，另一款是“牛肉哨子粉”，已知2份“经典手工酸辣粉”和3份“牛肉哨子粉”需56元；4份“经典手工酸辣粉”和5份“牛肉哨子粉”需100元．
(1)求“经典手工酸辣粉”和“牛肉哨子粉”的单价；
(2)红薯粉条是制作辣粉的原材料之一，该小吃店老板发现今年第三季度平均每千克红薯粉条的价格比第二季度上涨了，第三季度花600元买到的红薯粉条数量比第二季度花同样的钱买到的红薯粉条数量少了10千克，求第三季度红薯粉条的单价．
23．如图，△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=60°，D为BC上一点，∠ADC=60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G．
(1)求∠DAC的度数；
(2)求证：DF=FG；
(3)若DC=2，求线段CG的长．
24．新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“培圣数对”．
例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“培圣数对”．
判断下列数对是否为关于x的分式方程的“培圣数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．
①（ ）；②（ ）；③（ ）．
(2)若数对是关于x的分式方程的“培圣数对”，求的值．
(3)若数对是关于x的分式方程的“培圣数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值．
25．如图，在中，，，点在第一象限，点在轴的负半轴上，交轴于，交轴于，，点在轴上，且在点的上方．

(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，连接，求证：；
(3)直接写出点的坐标_________（用含的式子表示）．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查的是分式的定义，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，根据分式的定义对各选项进行分析即可．
【详解】解：A、是整式，不符合题意；
B、是整式，不符合题意；
C、是分式，符合题意；
D、是整式，不符合题意．
故选：C．
2．B
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】解：∵点与关于轴对称，
∴，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标的特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，熟知这一性质是解题的关键．
3．C
【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据含30度直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴；
故选C．
4．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，进行判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
当时，由可证，故A不符合要求；
当时，由可证，故B不符合要求；
当时，由可证，故C不符合要求；
当，无法使，故D符合要求．
故选：D．
5．C
【分析】分析选项，A选项所给的式子不能合并同类项，B选项二次根式，C选项化简后是，D选项化简后是，由此即可求解．
【详解】解：A．不能合并同类项，A计算不正确；
B．，B计算不正确；
C．，C计算正确；
D．，D计算不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的加减，熟练掌握二次根式的化简方法，并能准确计算是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∴如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值缩小为原来的，
故选：D．
7．A
【分析】先根据已知平方项与乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式列式计算即可得解．
【详解】∵x2+6x+m=x2+2×x×3+m，
∴m=32=9．
故选A．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
8．A
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，本题的关键是把握题意，利用回程路上所花时间比去程节省了，得出方程是解题关键．
根据去程的平均速度为千米/时，得出回程的平均速度千米/时，再利用回程路上所花时间比去程节省了，得出分式方程即可．
【详解】解：设去程的平均速度为千米/时，则回程的平均速度千米/时，根据题意，得
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了勾股定理和求正方形的面积，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则，小正方形的面积为，则，可得，则大正方形的面积为，即可求解．
【详解】设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则，
又∵小正方形的面积为，则，
解得，
∴大正方形的面积为，
故选：C．
10．A
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，不等式的性质，解一元一次不等式，先根据题意得到，则，进而推出，则，由恒成立，得到，则．
【详解】解；∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵恒成立，
∴恒成立，
∴，
∴，
故选：A．
11．
【分析】本题考查提公因式分解因式，熟练掌握因式分解的方法先提取公因式，然后利用公式因式分解是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12．6
【分析】此题考查了多边形的内角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：．
根据正多边形的内角和定义列方程即可求出多边形的边数．
【详解】解：多边形内角和，
，
故答案为：6．
13．
【分析】利用完全平方公式展开，再求解即可．
【详解】解：，则①
，则②
①②得：
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
14．且
【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意可知：，
且，
故答案为：且．
15．8
【详解】解：根据根号下为非负数由和可判断．故x=2.则y=3.所以xy=8
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对实数知识点的掌握．根据根号下为非负数，而x-2与2-x为相反数可推断出x-2=0为解题关键．
16．2
【分析】先把当作已知条件表示出、的值，再代入原式进行计算即可.
【详解】解方程组，解得，
原式.
故答案为：.
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
17． .
【分析】先去绝对值符号、计算算术平方根、立方，再计算加减可得.
【详解】解：原式= = .
故答案为 .
【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则．
18．（1）；（2）．
【分析】（1）提取公因式，进行因式分解；
（2）提取公因式后，再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：（1）；
（2），
．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提取公因式及公式法进行因式分解．
19．，
【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
20．（1）证明见详解；（2）1．
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据（1）可得，即由，根据求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
；
（2）由（1）得
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
21．(1)4
(2)16
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式混合运算、分式的加减运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键；
（1）将、代入，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）先求出的值，再根据分式的加减运算化简，然后将和的值代入计算即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：∵
∴．
22．(1)“经典手工酸辣粉”的单价为元，“牛肉哨子粉”的单价为元；
(2)第三季度红薯粉条的单价为元/千克．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，根据题意正确列方程（组）是解题关键．
（1）设“经典手工酸辣粉”的单价为元，“牛肉哨子粉”的单价为元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设第二季度红薯粉条的单价为元/千克，则第三季度红薯粉条的单价为元/千克，根据题意列分式方程求解，检验后即可得到答案．
【详解】（1）解：设“经典手工酸辣粉”的单价为元，“牛肉哨子粉”的单价为元，
由题意得：，解得：，
答：“经典手工酸辣粉”的单价为元，“牛肉哨子粉”的单价为元，
（2）解：设第二季度红薯粉条的单价为元/千克，则第三季度红薯粉条的单价为元/千克，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：第三季度红薯粉条的单价为元/千克．
23．(1)见解析
(2)2
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由角平分线的性质可得，再由即可证得；
（2）由证明，得，再由得，则，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．(1)；
(2)等腰直角三角形，理由见详解；
(3)．
【分析】本题考查两点间距离公式、勾股定理及其逆定理及最短路线问题，解题的关键是学会用材料中的新定义解决问题，属于中考创新题型．
（1）根据两点间距离的定义，利用两点的距离公式即可求出；
（2）根据两点间距离公式求出其余两边的长，利用勾股定理的逆定理判断即可解决问题；
（3）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的值最小时即可解决问题．
【详解】（1）解：∵平面直角坐标系内任意两点Ax1,y1,Bx2,y2，之间的距离为，
∵点，
．
即线段的长为．
（2）解：点，点，
，
，
是等腰三角形，
，
，
是等腰直角三角形．
（3）解：，
设点
这时可以理解为在x轴上的一点P满足最小，
作点C关于x轴对称的点，连接，线段的长即为y，直线与x轴的交点即为所求的点P，
∵点C与点关于x轴对称，
∴点的坐标为，
设直线为，
将、代入，
得，
解得，
，
当时，，
所以当x为时，y取最小值．，
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据三角形外角的性质和平角的定义可得出即可；
（2）作于轴于，作轴于，交于点，根据角平分线性质得根据平行线的性质得由（1）得，得出，根据证明得，进一步可得出结论；
（3）作轴于轴于，过作于．证明，得再根据求出，即可表示出点C的坐标
【详解】（1）设，则，
在中，，
，
，
平分；
（2）作于轴于，作轴于，交于点．

，
平分，
．
轴，
又
，
，
．
．
垂直平分，
．
（3）作轴于轴于，过作于．
，
∴
∵
∴
∴．
，
，，．
又，
，
．
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形外角性质，角平分线性质定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质图形的面积等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
D
C
D
A
A
C
A