苏科版（2024）八年级下册10.2 分式的基本性质随堂练习题

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分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
，，其中C是不等于0的整式．
一、判断分式变形是否正确
【例1】下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：A．，故A错误；
B．，故B错误；
C．，故C正确；
D．，故D错误．
故选：C．
【例2】下列从左到右的变形中，一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：A、，故A不符合题意．
B、当时，无意义，故B不符合题意．
C、，故C不符合题意．
D、，故D符合题意．
故选：D．
【例3】下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】A、已经是最简分式，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、利用分式的基本性质在分式的分子与分母上同时乘以即可得到，故本选项正确；
故选D．
【例4】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
二、利用分式的基本性质判断分式值的变化
【例1】如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍B．缩小2倍C．缩小4倍D．扩大4倍
【答案】D
【解析】解析：∵x和y都扩大2倍后变为2x和2y，
∴
∴分式的值扩大4倍
【例2】分式中，x、y都扩大10倍，则分式的值（ ）
A．扩大10倍B．缩小10倍C．保持不变D．缩小5倍
【答案】C
【解析】解：把的x、y同时扩大10倍为：
，
故分式的值保持不变，
故选：C．
【例3】若把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．不变B．扩大3倍C．扩大9倍D．扩大27倍
【答案】C
【解析】解：，
即如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值扩大9倍，
故选：C．
三、将分式分子分母最高次项化为正数
【例1】不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：原式===．
故选：D．
【例2】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式==．
故选D．
【例3】不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
故选D.
【例4】不改变分式的值，使下列分式中分子和分母的最高次项的系数为正数．
（1）（2）（3）
【答案】见解析
【解析】解析：（1）原式
（2）原式
（3）原式
四、求分式的值成立的条件
【例1】若分式的值为负整数，则所有满足条件的整数x的值的和为________；
【答案】
【解析】由，其中，
当时，原式=，解得；
当时，原式=，解得；
当时，原式=，解得；
当时，原式=，解得（舍去）．
所以符合题意的x的值的和为．
故答案为：．
【例2】已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝______．
【答案】2或4或-10或16
【详解】解：
＝
若要值为整数，只需为整数即可，
当x=2时，，
当x=4时，，
当x=-10，时，
当x=16，时，
综上分析可知，x=2或4或-10或16时，分式的值为整数．
故答案为：2或4或-10或16．
【例3】分式的值为负数的条件是（ ）
A． B．且 C．且 D．，且
【答案】D
【解析】解：
，
因为分式的值为负数，
∴ 或者
∴ 且
故选： ．
【例4】若值为正数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【解析】解：∵值为正数，
∴或，
解得：或，故D正确．
故选：D．
【例5】若分式的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A．x>-2B．x-2且x≠1D．x>1
【答案】C
【解析】解：原式=，
当x≠1时，（x-1）2＞0，
当x+2＞0时，分式的值为正数，
∴x＞-2且x≠1．
故选：C．
【例6】若x是整数，且的值也是整数，则所有符合条件的x的值有（ ）个
A．8B．6C．4D．2
【答案】C
【解析】解：∵x是整数，且的值也是整数，
∴或或或，
∴或或0或．共有4个，
故选：C
最简分式与约分
【例1】下列各式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：选项，是最简分式，故符合题意；
选项，，不是最简分式，故不符合题意；
选项，，不是最简分式，故不符合题意；
选项，，不是最简分式，故不符合题意；
故选：．
【例2】下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，是最简分式，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【例3】下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】A. ，不能再化简，为最简分式，符合题意；
B.可化简为，不是最简分式，不符合题意；
C.可化简为，不是最简分式，不符合题意；
D. 可化简为，不是最简分式，不符合题意；
故选A．
【例4】约分：______．
【答案】
【解析】解：，故答案为：．
【例5】约分：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．
【解析】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：
【例6】因式分解或约分：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
六、最简公分母与通分
【例1】通分：
(1)，
(2)，．
【答案】(1)和
(2)和
【解析】（1）∵两个分式分母分别为，未知数系数的最小公倍数为，
∵a，b，c的最高次数为2，2，1，
∴最简公分母为，
将，通分可得：和；
（2），
∴最简公分母是，
，
．
【例2】填空
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)x
(3)
(4)
【解析】（1）解：；故答案为：；
（2）解：；故答案为：x；
（3）解：；故答案为：；
（4）解：．故答案为：．
【例3】分式、、的最简公分母是______．
【答案】
【解析】解：根据最简公分母的概念，、、最小公倍数为，
的最高次幂为，的最高次幂为，
故它们的最简公分母是．
故答案为：．
【例4】分式 与的最简公分母是______________．
【答案】
【解析】解：分式与的最简公分母是：，
故答案为：．
【例5】分式与的最简公分母是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：分式与的最简公分母，
故选：A
【例6】若，则A、B的值为（ ）．
A．A=3，B=﹣2B．A=2，B=3C．A=3，B=2D．A=﹣2，B=3
【答案】B
【解析】解：
．
∵，
∴，
∴，
得：，
∴．
将代入①中，解得：，
∴方程组的解为：．
故选B．
【例7】把，，通分的过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是B．
C．D．
【答案】D
【解析】A、最简公分母为，正确，该选项不符合题意；
B、，通分正确，该选项不符合题意；
C、，通分正确，该选项不符合题意；
D、通分不正确，分子应为，该选项符合题意；
故选：D．
1．下列各式中，运算正确的有（ ）
①；②；③；④
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】解：①，故①不符合题意；
②，故②符合题意；
③，故③不符合题意；
④，故④不符合题意；
故选：A．
2．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：A、，故A不是“和谐分式”；
B、，故B不是“和谐分式”；
C、，故C是“和谐分式”；
D、，原式的分子与分母都不能因式分解，故D不是“和谐分式”；
故选：C．
3、把分式中的a、b都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．不变B．扩大3倍C．缩小为原来的D．扩大6倍
【答案】A
【解析】解析：∵a、b都扩大3倍后变为3a、3b
∴
∴分式的值不变
4、分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解析：
5、下列分式，，，，，其中最简分式的个数是（ B ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】解析：，错误
，错误
，不能约分，正确
，错误
，错误
6、下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解析：A．，错误
B．，错误
C．，不能约分，正确
D．，错误
7、下列各式的变形中，不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解析：A．，正确
B．，正确
C．，错误
D．，正确
8、分式：①，②，③，④中，最简分式有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
【解析】解析：①，分子分母中含有公因式，能约分为，不是最简分式；
②，分子分母中含有公因式，能约分为，不是最简分式；
③，分子分母中含有公因式7，能约分为，不是最简分式；
④，分子分母中不含有公因式，不能再约分，是最简分式．
9．若分式的值为正，则x的取值范围是______．
【答案】且
【解析】∵的值为正，
又∵，
∴且，
且，
故答案为：且．
10．若的值为整数，则正整数a的值为______．
【答案】1、2或5
【解析】解：分式的值是整数，，
∴为整数，
∵a是正整数，
∴可以为2、3或6，
∴a的值为1、2或5，
经检验，当，或，分母，
∴a的值为1、2或5，
故答案为：1、2或5．
11．不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则___________．
【答案】
【解析】解：．
故答案为：
12．约分：______；______；分式，，的最简公分母是______．
【答案】
【解析】解：，
，
分式，，的最简公分母是，
故答案为：①，②，③．
13、分式，，的最简公分母是______．
【答案】
【解析】解析：∵，
，
，
∴最简公分母是
14．约分：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
15、填空：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）．
【解析】解析：（1）分子分母都除以，得；
（2）分子分母都除以x，得；
（3）分子分母都除以，得；
（4）分子分母都乘以x，得．