苏科版数学七上期末压轴题训练专题12 用一元一次方程解决实际问题(2)压轴题七种模型全攻略（2份，原卷版+解析版）

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考点一 用一元一次方程解决数字问题 考点二 用一元一次方程解决几何问题
考点三 用一元一次方程解决和差倍分问题 考点四 用一元一次方程解决电费和水电问题
考点五 用一元一次方程解决比例分配问题 考点六 用一元一次方程解决日历问题
考点七 用一元一次方程解决古代问题
典型例题

考点一 用一元一次方程解决数字问题
例题：（2022·福建·上杭县第三中学七年级期末）在一个的方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的方格图称为一个三阶幻方．
(1)请在图1中，将﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5这9个数填上，使它构成一个三阶幻方．
(2)请在图2、图3中，分别填上合适的数，使每个图构成一个三阶幻方．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据9个数的和，得出每行、每列、每条对角线上的三个数之和都为3，把中间数l放在中间位置，然后大数凑小数填表即可；
（2）图2根据对角线上的三个数求出和，然后计算剩余各数即可，图3先根据和相等求出中间数，然后计算出各数即可．
（1）
解：填表如下：（答案不唯一）
（2）
解：∵4＋3＋2＝9，
∴9﹣4﹣6＝﹣1，9﹣6﹣2＝1，9﹣7﹣2＝0，9﹣1﹣3＝5，
故补全图2如下所示：
设图3最下面一行中间数为m，则﹣3＋1＝4＋m，
解得m＝﹣6，
设图3中第一行最后一个数为n，则﹣6＋1＝﹣3＋n，
解得n＝﹣2，
∵4＋1﹣2＝3，
∴3﹣（4﹣3）＝2，3﹣（1﹣6）＝8，3﹣2﹣1＝0，3﹣（0﹣2）＝5，
故补全图3如下所示：

【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·湖北荆门·七年级期中）观察下列三行数：
(1)每行的第9个数分别为 ， ， ．
(2)如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，若方框中的六个数左上角数记为x，求这六个数的和（结果用含x式子表示并化简）．
(3)第三行是否存在连续的三个数的和为381，若存在，求这三个数，若不存在，请说明理由？
【答案】(1)（－2）9，(-2)9+2，-(-2)9－1
(2)－x+2
(3)存在，127，－257，511
【分析】（1）找出每行数的规律，然后问题可求解；
（2）由题意易得另五个数分别为－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，然后问题可求解；
（3）设这三个数分别为：－x－1，2x－1，－4x－1，然后可得－x－1+2x－1－4x－1＝381，进而问题可求解．
（1）
解：第①行的有理数分别是－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，…，
故第n个数为（－2）n（n是正整数），第9个数为（－2）9，
第②行的数等于第①行相应的数加2，即第n的数为（－2）n+2（n是正整数），第9个数为(-2)9+2，
第③行的数等于第①行相应的数的相反数减去1，即第n个数是－（－2）n－1（n是正整数），第9个数为-(-2)9－1，
（2）
解：∵左上角数记为x，
∴另五个数分别为：－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，
∴x－2x+x+2－2x+2－x－1+2x－1＝－x+2；
（3）
解：设这三个数分别为：－x－1，2x－1，－4x－1，
由题意可得：－x－1+2x－1－4x－1＝381，
∴x＝－128，
∴这三个数分别为127，－257，511．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及数字规律问题，解题的关键是得到每行数字的规律．
2．（2022·福建泉州·七年级阶段练习）如图，将连续的奇数1，3，5，7，按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数如图分别用a，b，c，d，x表示．
(1)用含x的式子分别表示数a= ，b= ，c= ，d= ．
(2)设，判断M的值能否等于2000，请说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)的值不能等于2000，见解析
【分析】（1）根据图形即可得出a、b、c、d与x之间的关系；
（2）根据M=5x，代入2000求出x的值，根据x的奇偶性即可得出M的值不能等于2000．
（1）
解：根据数的排列结合十字框的框法，即可得出：
，，，；
故答案为：，，，；
（2）
解：∵a+d=x12+x+12=2x，b+c=x2+x+2=2x，
∴a+b+c+d=4x，
，
当5x=2000时，x=400（不合题意，舍弃)，
的值不能等于2000；
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键掌握所学的知识，正确的进行解题．
考点二 用一元一次方程解决几何问题
例题：（2022·内蒙古鄂尔多斯·七年级阶段练习）如图，长方形中，，，点从出发，以的速度沿运动，最终到达点，在点运动了3秒后点开始以的速度从运动到，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为时，的值为（ ）
A．2或B．2或C．2或4D．2或
【答案】A
【分析】分两种情况：①点在上时，点在处，根据三角形面积公式求解即可得到； ②点在上时，求出AQ，再根据速度路程求出t．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
分两种情况：
①点在上时，点在处，如图1所示：
的面积为，
，
解得：；
②点在上时，如图2所示：
的面积为，
，
解得：，
，
解得：；
综上所述，当的面积为时，的值为2或；
故选：
【点睛】此题考查了动点面积问题，解题的关键是根据题意分情况讨论解答．
【变式训练】
1．（2022·浙江丽水·七年级期末）长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形．若AB＝10,则AD的长为（ ）
A．13 B．11 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设最小正方形的边长为x，则第二大的正方形的边长为3x，解方程即可得到答案．
【详解】解：设最小正方形的边长为x，则第二大的正方形的边长为3x，根据题意得，
3×3x+x=10，
解得：，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据图形找出等量关系列一元一次方程求解．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为__平方厘米．
【答案】143
【分析】根据题意，结合图形，各个正方形的边长从大到小依次相差1，设这6个正方形中最大的一个边长为x，将各个正方形的边长表示出来，根据长方形的两条对边长相等，列出方程求解即可．
【详解】解：设这6个正方形中最大的一个边长为x，
∵图中最小正方形边长是1，
∴其余的正方形边长分别为x﹣1，x﹣2，x﹣3，x﹣3，
∴x+x﹣1＝2（x﹣3）+x﹣2，
∴x＝7，
∴长方形的长为x+x﹣1＝13，宽为x+x﹣3＝11，面积为13×11＝143平方厘米．
故答案为：143．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，结合图形找出等量关系列出方程求解是解题的关键．
考点三 用一元一次方程解决和差倍分问题
例题：（2022·黑龙江·大庆市第四十四中学校期末）淘气和笑笑两人共有155元，如果淘气用去自己的，笑笑用去自己的，两人剩下的钱一样多，则淘气原来有_______元．
【答案】75
【分析】设淘气原来有元，则笑笑有元，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：淘气原来有元，则笑笑有元，根据题意得，
．
解得．
故答案为：75．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·七年级专题练习）某校组织学生种花，三个年级共种植909盆，初二年级种植的数量比初一年级的2倍少3盆，初三年级种植的数量比初二年级多25盆．初一，初二，初三年级各种植多少盆花？
【答案】初一，初二，初三年级各种植178盆，353盆，378盆花．
【分析】设初一年级种植x盆，则初二年级种植（2x3）盆，初三年级种植（2x3+25）盆，根据“三个年级共种植909盆”列出方程并解答．
【详解】解：设初一年级种植盆花，依题意，得
，
解得：．
则，．
答：初一，初二，初三年级各种植178盆，353盆，378盆花．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
2．（2020·黑龙江·哈尔滨德强学校阶段练习）有一组互相咬合的齿轮.
(1)小齿轮有28个齿，是大齿轮的，大齿轮有多少个齿?
(2)大齿轮每分钟转80周，比小齿轮每分钟转的周数少，小齿轮每分钟转多少周?
【答案】(1)大齿轮有140个齿
(2)小齿轮每分钟转400周
【分析】（1）设大齿轮有个齿，根据占比关系列一元一次方程，解方程即可；
（2）设小齿轮每分钟转周，根据占比关系列出一元一次方程，解方程即可．
（1）
解：设大齿轮有个齿，则
解得
答：大齿轮有140个齿.
（2）
解：设小齿轮每分钟转周，则
解得
答：小齿轮每分钟转400周.
【点睛】本题考查了和差倍分的一元一次方程应用问题，清楚倍数关系，并正确列方程、解方程是解题关键.
考点四 用一元一次方程解决电费和水电问题
例题：（2022·安徽·萧县城北初级中学七年级期中）我市为了提倡节约，用水吨，自来水收费实行阶梯水价元，收费标准如下表所示：
(1)若用水量达到8吨，则需要交水费______元；若用水量达到14吨，则需要交水费______元．
(2)用户5月份交水费54元，则用水为多少吨？
【答案】(1)16，30
(2)22吨
【分析】（1）按照单价×总量=总价计算即可，超过12吨的部分则分两段计算即可；
（2）设5月份用水x吨，显然用水量超过了12吨，根据等量关系：12吨的水费＋超过12吨的水费=5月份的水费，列出方程，解方程即可．
（1）
用水量达到8吨，则需要交水费：8×2.00=16（元）；
用水量达到14吨，则需要交水费：12×2.00＋(14-12)×3.00=24＋6=30（元）；
故答案为：16，30
（2）
设5月份用水x吨，由于54元>12×2=24（元），表明5月份用水量超过了12吨，
由题意得：12×2＋(x－12)×3=54，
解得：x=22，
即5月份用水22吨．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：分段计费问题，弄懂题意，找到等量关系并正确列出方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学期中）电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方式计算电费，每月用电不超过100kw·h时，按每千瓦时a元计算；每月用电超过100kw·h时，其中100kw·h仍按原价收费，超过部分按每千瓦时b元计算（a10时当月所付水费金额为 元.（用含x的式子表示）
(2)如果某户居民在某月所交水费为42.5元，那么这个月这户居民共用多少立方米的水？
【答案】(1)，
(2)这个月这户居民共用15立方米的水
【分析】（1）当时，当月所付水费等于每立方米按2元收费的基本水费与每立方米按元收取的污水处理费之和；当时，当月所付水费等于10立方米按2元收费，超过10立方米部分每立方米按3元收费的基本水费与每立方米按元收取的污水处理费之和；
（2）设这个月这户居民共用立方米的水，先判断出，再根据每月水费的收取规定建立方程，解方程即可得．
（1）
解：由题意得：当时，当月所付水费金额为（元），
当时，当月所付水费金额为（元），
故答案为：，．
（2）
解：设这个月这户居民共用立方米的水，
因为，
所以，
由题意得：，
即，
解得，
答：这个月这户居民共用15立方米的水．
【点睛】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，理解每月水费的收取规定，正确建立方程是解题关键．
考点五 用一元一次方程解决比例分配问题
例题：（2022·湖北襄阳·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）的销售瓶数的比为2：5．已知每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装_______大瓶．
【答案】20000
【分析】设每份为x瓶，则大瓶销售了2x瓶，小瓶销售了5x瓶，根据大小消毒液的总重量为22.5吨=22500000克建立方程求出其解即可．
【详解】解：设每份为x瓶，则大瓶销售了2x瓶，小瓶销售了5x瓶，根据题意得：
2x×500+5x×250=22500000，
解得x=10000，
所以大瓶销售了：2×10000=20000瓶，
故答案是：20000．
【点睛】本题考查了运用比例问题的设每份为未知数的方法建立方程求解的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时运用设间接未知数降低解题难度是关键．
【变式训练】
1．（2022·山东滨州·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产品中有______瓶大瓶产品．
【答案】20000
【分析】设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，根据题意列方程求出x，则可知大瓶的数量
【详解】换算单位：22.5t=22.5×1000×1000g
设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，
根据题意列方程，得
500·2x+250·5x=22.5×1000×1000，
解得x=10000
2x=20000
∴大瓶有20000瓶．
故答案为：20000
【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题，一般情况下题目中出现比值问题，通常设每份为x，掌握以上方法是解题的关键．
2．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植A、B、C三种经济作物增加收入，经过一段时间，该村已种植的A、B、C三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，为了进一步提高该村的经济收入，将在该村余下土地上继续种植这三种经济作物，经测算需将余下土地面积的种植C经济作物，则C的种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了，则该村还需种植A、B两种经济作物的面积之比是__________．
【答案】2:3
【分析】设该村已种植A经济作物面积3m，种植A经济作物单位面积产值为n，根据三种经济作物的面积之比以及单位面积产值之比可得该村已种植B经济作物面积2m，已种植C经济作物面积4m，种植B经济作物单位面积产值为2n，种植C经济作物单位面积产值为2n，设余下的面积为z，增加种植C经济作物，可列方程，可得z=3m，设该村还需种植A种经济作物的面积a，还需种植B两种经济作物的面积，利用A、B、C三种经济作物的总产值提高了，列方程，解方程即可．
【详解】解：设该村已种植A经济作物面积3m，种植A经济作物单位面积产值为n，
∵该村已种植的A、B、C三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，
∴该村已种植B经济作物面积2m，已种植C经济作物面积4m，种植B经济作物单位面积产值为2n，种植C经济作物单位面积产值为2n，
设余下的面积为z，
∴增加种植C经济作物，
∴，
解得z=3m，
设该村还需种植A种经济作物的面积a，还需种植B两种经济作物的面积3m-a-，
A作物面积：，B作物面积：，C作物面积：，
A、B、C三种经济作物的总产值为，
=
=，
A、B、C三种经济作物的原总产值=，
∴，
解得，，
该村还需种植A、B两种经济作物的面积之比是，
故答案为：2:3．
【点睛】本题考查代数式表示数，代数式在生活中运用，利用一元一次方程，仔细阅读抓住等量关系C的种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了，列方程解决问题是关键．
考点六 用一元一次方程解决日历问题
例题：（2022·黑龙江·大庆市庆新中学期末）在日历中一个竖框圈出三个日期，它们的和是48，那么最大的一天是________号．
【答案】23
【分析】设中间一天的日期，根据上下日期的差为7表示出另外两天的日期，再由它们的和为48列出方程，解之可得．
【详解】解：设中间一天的日期为x，则另外两天的日期为x﹣7，x＋7，
根据题意，得：x﹣7＋x＋x＋7＝48，
解得：x＝16，
∴x＋7＝16＋7＝23，
∴日期最大的一天23号，
故答案为：23．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到蕴含的相等关系，并据此列出方程．
【变式训练】
1．（2021·新疆·乌鲁木齐市第70中七年级阶段练习）如图是2021年6月份的月历表，请仔细观察后，如果发现用正方形框框住16个数字的和为224．试求出这16个数字中最大的数字_______．
【答案】26
【分析】根据题意，可以设这16个数中左上角最小的数为x，列出方程，即可求得最大的那个数．
【详解】解：设这16个数中左上角最小的数为x，则这16个数字的和为：
，
即，解得
∴，即其中最大的数为26
故答案为：26
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的实际运用，找好等量关系，正确列出方程是解题关键．
2．（2021·河北·原竞秀学校七年级期中）将连续的偶数2，4，6，8…，排成如表：
(1)十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
(2)这个关系对其它这样的十字框成立吗？请说明理由．
(3)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2020吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．
【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍
(2)成立，理由见解析
(3)能，这五个数分别为
【分析】（1）将方框中的5个数相加，看结果与中间的数的关系即可；
（2）设中间的数为，则十字框中的其他四个数分别为，再将这个五个数求和即可得；
（3）设中间的数为，则十字框中的其他四个数分别为，令五个数的和等于2020，解方程可得的值，然后看有没有存在的可能即可．
（1）
解：十字框中的五个数的和为，
，
十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍．
（2）
解：成立，理由如下：
设中间的数为，则十字框中的其他四个数分别为，
十字框中的五个数的和为，
即（1）中的关系仍成立．
（3）
解：设中间的数为，则十字框中的其他四个数分别为，
令十字框中的五个数的和，
解得，
所以这五个数分别为，且能被框在一个十字框中．
【点睛】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用，找到各个数之间的关系并列出方程是解决此题的关键．
考点七 用一元一次方程解决古代问题
例题：（2022·河南安阳·七年级期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问绳子、长木各长多少尺？请你算一算．
【答案】绳子、长木分别是6.5米和11米．
【分析】设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于x的一元一次方程求解即可．
【详解】解：设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，
根据题意得：x-（x+4.5）=1，解得：x=6.5
所以绳子长为6.5+4.5=11．
答：绳子、长木分别是6.5米和11米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·福建漳州·模拟预测）《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙三十六石，问：各该若干？”其大意为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”设乙分得白米x石，则可列方程为（ ）
A．x＋x＋2x＝180B．x＋2x＋3x＝180
C．（x＋18）＋x＋（x﹣36）＝180D．（x＋18）＋x＋（x﹣18）＝180
【答案】D
【分析】设乙分得白米x石，得出甲、丙分得白米数，由甲、乙、丙三人分得之和为180石列出方程即可．
【详解】解：若设乙分得白米x石，
∵甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样，甲比丙多分三十六石，
∴甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数都是18石，
∴甲分得白米（x＋18）石，丙分得白米（x﹣18）石，
又∵甲、乙、丙三人来分这一百八十石，即甲、乙、丙三人分得之和为180石，
∴可得方程：（x＋18）＋x＋（x﹣18）＝180．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系来列方程是解题的关键．
2．（2022·福建泉州·七年级期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道数学题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人几何？其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，剩余2辆车没人乘坐；若每2人共乘一车，剩余9个人没有车可乘坐．问共有多少人？
【答案】39人
【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设共有x人，依题意得，
解得
答：共有39人．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意找到等量关系是解本题的关键．
课后训练
一、选择题
1．（2022·河北沧州·七年级期末）一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，求原两位数.设原两位数的个位数字是，根据题意可列方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出原两位数的十位数字是，再根据将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99建立方程即可．
【详解】解：由题意得：原两位数的十位数字是，
则可列方程为，
故选：D．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
2．（2022·全国·七年级课时练习）解决实际问题“某班原分成两个小组进行课外体育活动，第一小组26人，第二小组22人，根据学校活动器材的数量，要将第一小组的人数调整为第二小组的一半，应从第一小组调多少人到第二小组？”时，若设应从第一小组调人到第二小组，依题意可得的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，表示出两组人数，进而列出方程解答即可．
【详解】解：设应从第一小组调x人到第二小组，依题意可得的方程为：
2（26−x）＝22＋x．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
3．（2022·河南驻马店·七年级期末）将连续的奇数1、3、5、7、9、11等，按一定规律排成如图：图中的T字框框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．若将T字框上下左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（ ）
A．34B．62C．118D．158
【答案】A
【分析】由题意，设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1，则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的为2n+1，下面的数为2n﹣1+10，故T字框内四个数的和为：8n+6．
【详解】由题意，设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1，
则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的为2n+1，下面的数为2n﹣1+10，
∴T字框内四个数的和为：
2n﹣3+2n﹣1+2n+1+2n﹣1+10＝8n+6．
故T字框内四个数的和为：8n+6．
A、由题意，令框住的四个数的和为34，则有：8n+6＝34，解得n＝3.5．不满足整数的条件．故框住的四个数的和不能等于34，故本选项符合题意；
B、由题意，令框住的四个数的和为62，则有：8n+6＝62，解得n＝7．满足整数的条件．故本选项不符合题意；
C、由题意，令框住的四个数的和为118，则有：8n+6＝118，解得n＝14．满足整数的条件．故本选项不符合题意；
D、由题意，令框住的四个数的和为158，则有：8n+6＝158，解得n＝19．满足整数的条件．故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
4．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在大长方形（是宽）中放入六个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．若设，分析思路描述正确的是（ ）
甲：我列的方程，找小长方形的长作为相等关系；
乙：我列的方程，找的是大长方形的长做相等关系．
A．甲对乙不完全对B．甲不完全对乙对
C．甲乙都正确D．甲乙都不对
【答案】A
【分析】根据小长方形的长作为相等关系，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设，根据小长方形的长作为相等关系，得出，
根据大长方形的宽做相等关系可得，
∴甲对乙不完全对，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2022·全国·七年级课时练习）中国古代人们很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是今有若干人乘车，若每3人共乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x人，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
【详解】解：设有x辆车，则可列方程：
3（x﹣2）＝2x＋9．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．
二、填空题
6．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期末）甲乙两个仓库，甲仓库存粮16吨，如果从乙仓库中取出放入甲仓库，则两仓库存粮的数量相等，两仓库一共存粮________吨．
【答案】36
【分析】设乙仓库中原来有x吨存粮，根据如果从乙仓库中取出放入甲仓库，则两仓库存粮的数量相等，可以列方程，即可解答．
【详解】设乙仓库中原来有x吨存粮，根据题意可得：

解得：，
∴甲乙两仓库一共存粮：16+20=36(吨)
故答案为：36
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意假设未知数，根据等量关系列方程求解是解题的关键．
7．（2022·四川眉山·七年级期末）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中 ______, _______．
【答案】
【分析】根据题意：各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，列出方程，解方程即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：−2，1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（2022·山东临沂·七年级期末）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如1，7，8，9，15）．照此方法，若圈出的5个数的和为115，则这5个数中的最小数为_________．
【答案】16
【分析】设第二行中间数为x，则其他四个数分别为x-7，x-1，x+1，x+7，根据最大数与最小数的和为115列出x的一元一次方程，求出x的值，进而求得最小的数．
【详解】解：设第二行中间数为x，则其他四个数分别为x-7，x-1，x+1，x+7，
根据题意：则x-7+ x-1+x+x+1+x+7=115，
解得x=23，
即圈出5个数分别为16，22，23，24，30，
所以最小数是16．
故答案是：16．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设第二行中间数为x，用x表示出其他四个数，此题难度不大．
9．（2021·陕西渭南·九年级阶段练习）《九章算术》中记载这样一道题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”大意是：现在有一头牛、一匹马、一只羊吃了别人家的禾苗．禾苗的主人要求这些动物的主人共计赔偿五斗粟米．羊的主人说：“我家羊只吃了马吃的禾苗的一半．”马的主人说：“我家马只吃了牛吃的禾苗的一半．"按此说法，羊的主人应当赔偿给禾苗的主人多少斗粟米？设羊的主人赔x斗，根据题意，可列方程为________．
【答案】
【分析】设羊的主人赔x斗，则马的主人赔2x斗，牛的主人赔4x斗，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设羊的主人赔x斗，则马的主人赔2x斗，牛的主人赔4x斗，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
10．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学七年级阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从A出发，以1cm/s的速度沿A→B→C运动，最终到达点C，在点P运动了8秒后，点Q开始以2cm/s的速度从D运动到A，在运动过程中，设点P的运动时间为t秒，当△APQ的面积为4cm2时，t的值为________
【答案】或
【分析】分两种情况，①点P在AB上时，点Q在D处；②点P在BC上时；由三角形面积分别求出t的值即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠BAD=90°，AD=BC=6cm，
分两种情况：
①点P在AB上时，点Q在D处，如图1所示：
∵△APQ的面积为4cm2，
∴，即，
解得：t=；
②点P在BC上时，如图2所示：
∵△APQ的面积为4cm2，
∴即，
解得：AQ=1cm，
∴DQ=AD-AQ=6-1=5cm，
∴，
解得：t=；
综上所述，当△APQ的面积为4cm2时，t的值为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了用一元一次方程解决问题；根据题意正确的列出方程是解题的关键．
三、解答题
11．（2021·全国·七年级课时练习）有某种三色冰淇淋50g，咖啡色､红色和白色配料的比是2∶3∶5，这种三色冰淇淋中咖啡色､红色和白色配料分别是多少克？
【答案】咖啡色､红色和白色配料分别是，和
【分析】可设比中每一份为x，那么可得用x表示的三种颜色的冰淇淋的质量，让这3个质量之和＝50，把相关数值代入求解即可．
【详解】解：设这种三色冰淇淋中咖啡色配料为，那么红色和白色配料分别为和．
根据题意，得，
解得，
则， ，．
则这种三色冰淇淋中咖啡色､红色和白色配料分别是，和．
【点睛】考查一元一次方程的应用，得到冰淇淋质量和的等量关系是解决本题的关键；注意有比的问题应设比中的每一份为x．
12．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有多少两？
【答案】银子共有46两．
【分析】题目中分银子的人数和银子的总数不变，有两种分法，根据银子的总数一样建立等式，进行求解即可．
【详解】解：设有x人一起分银子，根据题意建立等式得，
7x+4=9x−8，
解得：x=6，
∴银子共有：6×7+4=46（两）
答：银子共有46两．
【点睛】本题考查了一元一次方程在生活中的实际应用，解题的关键是：读懂题意，根据题目中的条件，建立等量关系．
13．（2022·广东佛山·七年级期末）将连续的奇数1，3，5，7，9，……排成如图所示的数表．
(1)写出数表所表示的规律；（至少写出4个）
(2)若将方框上下左右移动，可框住另外的9个数．若9个数之和等于297，求方框里中间数是多少？
【答案】(1)见解析
(2)方框里中间数是33
【分析】（1）观察所给的数表即可得；
（2）设方框里中间数为x，则另外8个数为，，，，，，，，由题意得，
进行计算即可得．
(1)
解：规律有：①第一列个位数都是1，②每行只有5个奇数，③每行相邻两个数的和是2的倍数，④每列相邻的两个数相差10．
(2)
解：设方框里中间数为x，则另外8个数为，，，，，，，，
由题意得，
，
，
则方框里中间数是33．
【点睛】本题考查了数字规律，一元一次方程，解题的关键是理解题意，掌握一元一次方程的应用．
14．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学七年级阶段练习）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费157元．
(1)表中a的值为 ；
(2)求老李家9月份的用电量；
(3)若8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，求老李家8月份的用电量．
【答案】(1)0.6
(2)260度
(3)560度
【分析】（1）利用电费=电价×月用电量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值；
（2）设老李家9月份的用电量为x度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于157，可得出x＞240，再利用电费=144+0.65×超过240度的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）
依题意得：200a=120，
解得：a=0.6．
故答案为：0.6；
（2）
设老李家9月份的用电量为x度，
∵0.6×240=144（元），144＜157，
∴x＞240．
依题意得：144+0.65（x-240）=157，
解得：x=260．
答：老李家9月份的用电量为260度．
（3）
设老李家8月份的用电量为y度，
依题意得：144+0.65×（400-240）+（0.6+0.3）（y-400）=0.7y，
解得：y=560．
答：老李家8月份的用电量为560度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
15．（2021·黑龙江黑河·七年级期末）某地自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示
(1)若张老师家6月份的用水量是12吨，则张老师应付水费多少元？
(2)若张老师家7月份的用水是22吨，则张老师应付水费多少元？
(3)若张老师家8月份用水量为a吨（a不超过30），则张老师应付水费多少元？（用含a的代数式表示）；
(4)若张老师家9月份付水费82元，求张老师家9月份的用水量．
【答案】(1)6月份需交水费为30元；
(2)7月份张老师需交水费61元；
(3)①当a≤16时，需交水费2.5a元；②当16＜a≤30时，需交水费（3.5a-16）元；
(4)张老师家9月份的用水量是28吨．
【分析】（1）首先得出6月份的用水量12吨，应分一段交费，再利用已知表格中数据求出答案；
（2）根据题意，7月份的用水是22吨应分两段交费，利用已知表格中数据求出答案；
（3）分两种情况讨论，①当a≤16时，②当1682>40，
∴应该分两段交费，
设9月份所用水量为a吨，依据题意可得：3.5a-16=82；
解得：a=28；
答：张老师家9月份的用水量是28吨．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及列代数式，正确表示出水费的总额是解题的关键．
16．（2022·全国·七年级专题练习）将连续的偶数0，2，4，6，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移）
(1)若框住的5个数中，正中间的一个数为16，则这5个数的和为________；
(2)十字框内五个数的最小和是________；
(3)设正中间的数为a，用式子表示十字框内五个数的和；
(4)十字框能否框住这样的5个数，它们的和等于2030？若能，求出正中间的数a；若不能，请说明理由．
【答案】(1)80
(2)最小值为70
(3)5a
(4)不能，理由见解析
【分析】（1）根据图示进行计算便可得结果；
（2）用a表示出其余4个数，再求和便可，根据a的最小值求出五个数的最小和；
（3）用a表示出其余4个数，再求和便可；
（4）根据（2）中的代数式，结合题意列出a的方程，根据方程有无解进行解答便可．
（1）
解：由题意得，这5个数的和为：4+14+16+18+28=80，
故答案为：80；
（2）
解：设正中间的数为a，则其余4个数分别为a-12，a-2，a+2，a+12，
∴十字框内5个数的和为：
（a-12）+（a-2）+a+（a+2）+（a+12）=5a，
由图可知，a≥14，
∴5a≥70．
故答案为：70；
（3）
解：由（2）知十字框内5个数的和为5a；
（4）
解：根据题意得，5a=2030，
解得，a=406，
∴406是第204个偶数，
204÷6=34，所以2030在数阵的第34行第6列，
∴十字框不能框出这样的5个数它们的和等于2030．
【点睛】主要考查一元一次方程的应用，规律型：数字的变化类，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．
17．（2022·江苏扬州·七年级期末）如图1，已知线段AE＝48Cm，点B、C、D在线段AD上，且AB：BC：CD：DE＝1：2：1：2．
(1)BC＝ cm，CD＝ cm；
(2)已知动点M从点A出发，以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D﹣E向点E运动；同时动点N从点E出发，以1cm/s的速度沿E﹣D﹣C﹣B﹣A向点A运动，当点M到达点E后立即以原速返回，直到点N到达点A，运动停止；设运动的时间为t．
①求t为何值，线段MN的长为12cm；
②如图2，现将线段AE折成一个长方形ABCD（点A、E重合），请问：是否存在某一时刻，以点A、B、M、N为顶点的四边形面积与以点C、D、M、N为顶点的四边形面积相等，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)16，8
(2)①t＝12s或20s或36s；②存在，t＝8s或24s
【分析】（1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果；
（2）①分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过或线段图列方程求得；②分为相遇前（点M在BC上，N在AD上），此时CM=AN即可列出方程求得，当M点返回时，点M在AD上，点N在BC上，此时AM=CN，列出方程求得，
（1）
BC＝48×＝16，CD＝48×＝8，
故答案是：16，8；
（2）
①当M、N第一次相遇时，t＝＝16s，当M到达E点时，t＝s，
如图1，
当0＜t＜16时，
2t+12+t＝48，
∴t＝12，
如图2，
当12＜t＜24时，
2t﹣12+t＝48，
∴t＝20，
如图3，
当24＜t＜48时，
t＝2t﹣48+12，
∴t＝36，
综上所述：t＝12s或20s或36s；
②如图4，
当0＜t＜16时，
由AN＝CM得，
24﹣2t＝t，
∴t＝8，
如图5，
当24≤t＜32时，
2t﹣48＝t﹣24，
∴t＝24，
综上所述：t＝8s或24s．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形．
月用水量吨
不超过12吨的部分
超过12吨的部分
收费标准（元/吨）
2.00
3.00
-1
-6
b
0
a
-4
-5
2
档次
月用电量
电价（元/度）
第1档
不超过240度的部分
a
第2档
超过240度但不超过400度的部分
0.65
第3档
超过400度的部分
a+0.3
月用水量
不超过16吨的部分
超过16吨不超过30吨的部分
超过30吨的部分
收费标准（元/吨）
2.5
3.5
4.0