苏科版数学七上期末提升训练专题07 新定义型有理数运算及解一元一次方程（2份，原卷版+解析版）

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考点一 新定义型有理数的运算 考点二 新定义型解一元一次方程
典型例题

考点一 新定义型有理数的运算
1．（2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习）定义，则（ ）
A．2B．C．0D．
【答案】D
【分析】根据新定义，先算，再算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，涉及知识点：有理数的乘方和减法，理解新定义是解题的关键．
2．（2022·江苏·无锡高新区金桥外国语学校七年级期中）现定义新运算“※”，对任意有理数，规定，则的值（ ）
A．2023B．2022C．D．
【答案】A
【分析】根据新定义得出，再根据有理数的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键．
3．（2022·山东泰安·期中）规定一种运算“”满足：，则的值为___________．
【答案】33
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：33．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2022·重庆市育才中学七年级期中）对有理数a、b，规定一种新的运算：，则______．
【答案】
【分析】直接根据新运算的定义代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解并应用定义的新运算是解题的关键．
5．（2022·湖北·恩施市龙凤镇民族初级中学七年级期中）已知、为有理数，现定义一种新运算，满足．则的值为____；的值为____；
【答案】 9
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：根据题中的新定义得：
；
．
故答案为：9，．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
6．（2022·湖南邵阳·七年级期中）定义一种运算符号“★”：，如：，那么的结果是_______．
【答案】8
【分析】根据运算律，先算括号内，再算括号外即可
【详解】解：
故答案为
【点睛】此题考查了有理数的混合运算、新定义，解决本题的关键是会用新定义解答问题
7．（2022·吉林·长春博硕学校七年级期中）定义一种新运算：．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题目的新定义可得：；计算即可；
（2）根据题目的新定义可得：，计算出括号里的数，然后再根据新定义计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，定义新运算，读懂题意，理解题目所给出的新运算是解本题的关键．
8．（2022·福建泉州·七年级期中）我们定义一种新运算：例如：．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值；
根据题目中的新定义，先计算出中括号里的式子，然后再计算中括号外面的式子．
【详解】（1）解：，



；
（2），
∴

．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是会用新定义解答问题．
9．（2022·山东淄博·期中）已知x，y均为有理数，现规定一种新运算“”，满足．例如．
(1)求的值；
(2)计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律．
【答案】(1)
(2)都是11，这种新定义满足交换律
【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可；
（2）根据新定义的运算法则计算出和的值，判断结果是否相等即可．
【详解】（1）解：原式，
即的值为；
（2）解：，
，
，
∴这种新定义满足交换律．
【点睛】本题考查新定义运算、去绝对值、有理数的混合运算等，解题的关键是掌握新定义的运算法则．
10．（2022·江苏徐州·七年级期中）对于正整数a，b，定义一种新算．
(1)计算的值为 ；
(2)求的所有可能的值；
(3)若a，b都是正整数，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．．
【答案】(1)0；
(2)；
(3)B．
【分析】（1）直接根据新定义的运算，进行计算即可；
（2）分三种情况进行讨论：①均为偶数；②中一个奇数一个偶数；③均为奇数；即可得出答案；
（3）根据新定义的运算，一一进行判断即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：0；
（2）解：分三种情况进行讨论：
①当均为偶数时，
；
②当中一个奇数一个偶数时，
；
③当均为奇数时，
，
综上所述，的所有可能的值为；
（3）解：A、，，故正确，故选项A不符合题意；
B、取，则，，故，因此选项B错误，符合题意；
C、，故选项C正确，不符合题意；
D、，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则、运算顺序以及对新定义的理解是解答此题的关键．
11．（2022·江苏扬州·七年级期中）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题．
，，，请你想一想：
(1) ； ．
(2)若，那么 （填入“＝”或“≠”）．
(3)计算：．
【答案】(1)23，
(2)≠
(3)
【分析】（1）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可；
（2）先根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则将和计算出来，再用作差法比较即可；
（3）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：；；
故答案为：23，．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴
∴．
故答案为：≠．
（3）
．
【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，明白题中所给新定义的运算顺序和运算法则，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
12．（2022·江苏宿迁·七年级期中）设a、b都表示有理数，规定一种新运算“※”：当时，，当时，．例如：，．
(1)_______________；
(2)求的值；
(3)若有理数x在数轴上对应点的位置如图所示，设：；，比较m、n的大小关系．
【答案】(1)25
(2)1
(3)
【分析】（1）先比较大小，然后按照题意进行求值即可；
（2）先计算，再计算即可；
（3）根据数轴确定x的取值范围，然后根据题意进行化简比较即可．
【详解】（1）解：，
；
（2）
；
（3）由数轴知，
，
，
．
【点睛】本题考查了新定义计算、有理数的混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题关键．
考点二 新定义型解一元一次方程
1．（2022·湖北·武汉市武珞路中学七年级期中）对于有理数a，b定义运算“*”，若，则，若，则，例如，若，则有理数x的值为____________．
【答案】或
【分析】分和两种情况进行讨论，根据新运算的法则进行求解即可．
【详解】当，即：时：，
∴，
∴或，
∴或（舍）；
当，即：时：，
∴，
∴（舍）或；
综上：或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查定义新运算．正确地理解并掌握新运算的法则，是解题的关键．
2．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语学校七年级期中）已知一种运算满足，；．例如：2★．若2※的值为41，则的值为 __．
【答案】8
【分析】根据；，求出的值，再代入中，得到关于a的一元一次方程，解之即可．
【详解】解：根据题意得： ，
2※，
，
解得，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，正确掌握解一元一次方程的方法和有理数混合运算的顺序是解题的关键．
3．（2022·上海奉贤·七年级期中）对于有理数定义了一种新运算“*”，规定：，例如：
，，若，那么______．
【答案】1
【分析】通过阅读理解新运算转化为常规运算，列出方程求解．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练运用新运算定义转化是解题的关键．
4．（2022·江苏扬州·七年级期中）“”表示一种新运算，它的意义是
(1)求；
(2)已知，求值．
【答案】(1)11
(2)x的值为．
【分析】（1）利用定义的新运算，进行计算即可解答；
（2）利用定义的新运算，计算得出关于x的方程，解方程即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴x的值为．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键．
5．（2022·吉林松原·七年级期中）对有理数、，规定运算“”的意义是，如．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】由新定义列出算式计算即可；
由新定义列出方程，解方程可得的值．
【详解】（1）解：


；
（2）解：，
，
解得，
的值是．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，涉及新定义，解题的关键是根据新定义列出算式或方程．
6．（2022·河北·涿州市实验中学七年级期中）我们规定一种新的运算“”： ．例如：，．
(1)___________，___________；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)7；
(2)
【分析】（1）根据题意，按照新运算的定义进行相关运算化简即可；
（2）先根据新运算的定义，化简和，再运用，建立关于x的方程，解方程即可求得x的值．
【详解】（1）解：由题意得，，
．
（2）解：由题意得，，
，
∵，
∴，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
故x的值为．
【点睛】本题考查了定义新运算，解一元一次方程，正确理解该题新运算的运算方法是解题的关键．
7．（2022·江苏扬州·七年级期中）定义：若，则称a与b是关于6的实验数．
(1)4与___________是关于6的实验数；___________与是关于6的实验数．（用含x的代数式表示）．
(2)若，判断a与b是否是关于6的实验数，并说明理由．
(3)若，且c与d是关于6的实验数，求k的值．
【答案】(1)2；
(2)a与b是是关于6的实验数，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据实验数的定义，即可求解；
（2）计算出的值，即可求解；
（3）根据实验数的定义，可得，再化简，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴4与2是关于6的实验数；
∵，
∴与是关于6的实验数；
故答案为：2；
（2）解：a与b是是关于6的实验数，理由如下：
，
∴a与b是是关于6的实验数；
（3）∵，且c与d是关于6的实验数，
∴，
∴
即，
解得：，
即k的值为．
【点睛】本题主要考查了整式的加减混合运算的应用，一元一次方程的应用，理解实验数的定义是解题的关键．
8．（2020·江苏·扬州市梅岭中学七年级期中）定义：对于一个有理数，我们把称作的对称数，若，则；若，则，例：，．
(1)求，的值．
(2)已知有理数，，且满足，试求代数式的值．
(3)解方程：．
【答案】(1)
(2)-36
(3)或
【分析】（1）利用题中新定义计算即可；
（2）根据已知条件及新定义计算得到，对原式化简整理再整体代入计算即可；
（3）分；两种情况分别解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：若，则，
若，则，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴




．
（3）解： ，
若，
则方程为，
，
符合题意，
若，
则方程为，
，
符合题意，
∴或．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、整式的加减及有理数的混合运算，掌握分类讨论以及灵活运用相关知识是解题的关键．
9．（2022·江苏扬州·七年级期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由；
(2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(3)若关于x方程与是“美好方程”，求n的值．
【答案】(1)是，见解析
(2)1
(3)
【分析】（1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“美好方程”的定义验证即可求解；
（2）分别解一元一次方程，根据“美好方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解；
（3）分别解一元一次方程，根据“美好方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解；
【详解】（1）解：是，理由如下：
由解得；
由解得：．
方程与方程是“美好方程”．
（2）解：由解得；
由解得．
方程与方程是“美好方程”
，
解得．
（3）解：由解得；
由解得；
∵关于x方程与是“美好方程”
∴，
解得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键．
10．（2022·江苏宿迁·七年级期中）阅读并解决问题：
对于任何数，我们规定符号的意义是．
例如：．
(1)求的值；
(2)当时，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，求的值即可；
（2）先利用运算法则化简，再将，代入求解即可；
（3）先利用运算法则得到方程，再解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，


．
（2）解：

，
，
，，
原式

．
（3）解：∵
∴，
解得，
的值为．
【点睛】本题考查整式的加减——化简求值、有理数的混合运算和解一元一次方程，正确理解题目定义的新运算，掌握运算法则是解答本题的关键．