人教A高中数学必修第二册第八章立体几何初步 知识梳理

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第八章 立体几何初步一.空间几何体的结构特征1．多面体的结构特征2．旋转体的形成　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　重要结论1．特殊的四棱柱eq \x(四棱柱)eq \o(―――→,\s\up7(底面为平),\s\do5(行四边形))eq \x(平行六面体)eq \o(――――→,\s\up7(侧棱垂直),\s\do5(于底面))eq \x(直平行六面体)eq \o(――→,\s\up7(底面为),\s\do5(矩形))eq \x(长方体)eq \o(―――→,\s\up7(底面边),\s\do5(长相等))eq \x(正四棱柱)eq \o(―――――→,\s\up7(侧棱与底面),\s\do5(边长相等))eq \x(正方体)2．球的截面的性质(1)球的截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝eq \r(R2－d2).二.空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2.柱、锥、台、球的表面积和体积注意：1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的联系：S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl.2.柱体、锥体、台体的体积公式间的联系：V柱体＝ShV台体＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)heq \o(――→,\s\up7(S′＝0),\s\do5(　))V锥体＝eq \f(1,3)Sh.重要结论1．设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝eq \f(a,2)，外接球半径R＝eq \f(\r(3),2)a.2．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝eq \f(\r(a2＋b2＋c2),2).3．设正四面体的棱长为a，则它的高为eq \f(\r(6),3)a，内切球半径r＝eq \f(\r(6),12)a，外接球半径R＝eq \f(\r(6),4)a.4．直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．三.空间点、线、面之间的位置关系1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(平行,相交)),异面直线：不同在任何一个平面内))　　　 　　　　　　　　　　　　(1)两条异面直线不能确定一个平面．(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线. (2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补．(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．　　　　　　　 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．重要结论1．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．2．异面直线的2个结论(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．四.直线、平面平行的判定及其性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理2．平面与平面平行的判定定理和性质定理(1)应用线面平行判定定理的注意点：在推证线面平行时，一定要强调直线a不在平面内，直线b在平面内，且a∥b，否则会出现错误．(2)应用线面平行性质定理的注意点：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．(3)线面平行的判定定理和性质定理使用的区别：如果结论中有a∥α，则要用判定定理，在α内找与a平行的直线；如果条件中有a∥α，则要用性质定理，找(或作)过a且与α相交的平面．应用定理证明有关平行问题时，一定要满足定理的前提条件．(4)面面平行判定定理的一个推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝O，a′⊂β，b′⊂β，a′∩b′＝O′，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.五.直线、平面垂直的判定及其性质1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理和性质定理：2．平面与平面垂直的判定定理和性质定理重要结论1．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．2．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．3．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．4．若一条直线和两个不重合的平面都垂直，那么这两个平面平行．5．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l名称几何体　　表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq \f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq \f(4,3)πR3文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))  ⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α)) ⇒a∥b文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊂β,l⊥α))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α