2025年河北省初中学业水平考试数学试卷（样卷）

这是一份2025年河北省初中学业水平考试数学试卷（样卷），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列选项中为负数的是（ ）
A．2B．C．D．
2．将两根矩形木条如图放置，固定其中一根，转动另一根，若增大，则下列说法正确的是（ ）
A．减小B．减小
C．增大D．与的和不变
3．下列运算结果等于的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列几何体都是由5个棱长为1的正方体组成，它们的左视图中与其它三个不同的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，嘉嘉借助刻度尺画了一条数轴，则这条数轴上点A对应的实数为（ ）
A．B．C．0D．2.5
6．某芯片每秒可执行100亿次运算，它工作2025秒可执行的运算次数用科学记数法表示为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图所示，转盘被等分成四个扇形区域，并分别标有数字，0， 2， ． 随机转动转盘两次，转盘停止后指针所指区域的数字都是有理数的概率是（指针固定向上，当指针恰好指在分界线上时按指针左侧相邻区域算）（ ）
A．B．C．D．23
8．我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺； 若将绳四折测之，绳多一尺． 井深几何？ 这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺； 如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺． 问井深多少尺？ 下列说法正确的是（ ）
A．设井深为x尺，所列方程为
B．设绳子的长为x尺，所列方程为
C．绳子的长是32尺
D．井深8尺
9．如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，时，（ ）
A．B．C．D．
10．关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个正实数根
C．两根之积为D．两根之和为1
11．如图，正方形的顶点坐标分别为，，．抛物线经过点D，顶点坐标为1,0，将此抛物线在正方形内(含边界)的部分记为图象G．若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或或
12．如图，中，，，将沿对角线折叠，使点A落在平面上处．若，则长为（ ）
A．8B．C．D．
二、填空题
13．计算：＝ ．
14．如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数 ．
15．如图，在平面直角坐标系内有两个点，若反比例函数的图象交线段于点C、D，且，则 ．
16．如图， O是正六边形的中心，，点M， N分别为，的内心， 则长为 ．
三、解答题
17．有一个数学游戏，如图，一个实数从A，B，C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置． 例如：将3按照 (或) 的顺序进行运算，是将数据3经过“乘以”的运算得出结果．
(1)将 按照 的顺序进行运算， 列出算式并求出运算结果；
(2)将一个大于3的数按照 的顺序进行运算，发现运算结果总小于 1． 请验证这个结论．
18．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
(1)分别写出习题1，习题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的；
(2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．
19．某果园共收获5万箱鸭梨，为估算该果园鸭梨总产量，从中随机抽取n箱进行称重，单箱净重（单位：， 精确到）分别有： ， ， ， ， ， 根据数据，绘制了如图1和2所示尚不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
(1)求n的值及α的度数，并补全条形统计图；
(2)直接写出这 n箱鸭梨的单箱净重的中位数与众数；
(3)计算这n箱鸭梨的单箱净重的平均数，并估算该果园鸭梨总产量．
20．日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，．
(1)求的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
21．如图， 平面直角坐标系中，有一动点，点先向右平移3个单位长度再向下平移6个单位长度得到点．
(1)求直线的解析式；
(2)①当时，判断点是否在直线上；
②求的最小值；
(3)若点在内部(不含边界)，直接写出a的取值范围．
22．风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段、、表示三片风叶，，，某时刻，的影子恰好重合为线段，于点，测得，，同一时刻测得高为4m的标杆影长为3m．
(1)直接写出的度数及的长；
(2)求风叶转动时点到地面的最小距离．
23．如图，斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当平面直角坐标系，得到点，点．已知喷水管及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为
(1)求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标．
(2)若抛物线恰好过小树的树顶N，点M在斜坡上，且点A到M，N两点距离相等，求M点坐标．
(3)若，为两棵等高小树(在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合)，抛物线恰好经过E，N两点．
①当时，求长；
②直接写出M横坐标m的取值范围．
24．如图1和图2，和中，，，，，．点D，E分别在，边上滑动，点F在的右侧，当与相交时，交点记为P．
(1)的长为 ，的最小值为 ；
(2)如图1，当时，请证明；
(3)如图2，
①尺规作图：过点A做直线的垂线，垂足为点N (保留作图痕迹，不写作图过程)；
②若垂直平分，求的长；
(4)直接写出点A与点F的最大距离．
习题1：计算
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
习题2：解方程
解：方程两边同乘，得
第一步
第二步
第三步
经检验，是原方程的解．第四步
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了有理数的乘方、求一个数的绝对值、负数的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
先将各数化简，再根据负数小于0逐项判断即可．
【详解】解：A．2是正数，不是负数，不符合题意；
B．，故不是负数，不符合题意；
C．是负数，符合题意；
D．，故不是负数，不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查平行线的性质及对顶角、邻补角，根据平行线的性质得出，，再由邻补角及等量代换即可得出结果．
【详解】解：如图所示：
∵两根矩形木条，
∴，
∴，，
∵，
∴，
当增大时，减小，减小．
∵，，
∴，
∴，
当增大时，增大；
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、原式，故此选项符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】本题考查三视图的知识，解题的关键是掌握找左视图的方法，即从物体的左面看得到的图形．
找到从左面看得到的图形，比较即可．
【详解】
解：A选项的左视图为，
B选项的左视图为，
C选项的左视图为，
D选项的左视图为，
可以看出只有选项B的左视图与其他选项的左视图不同，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了数轴，由图可得刻度尺上的0.5对应数轴1个单位长度，点A在原点O的左侧5个单位长度处，即可得点A对应的实数．
【详解】解：观察数轴图可得，O为原点，刻度尺上的0.5对应数轴1个单位长度，点A在原点O的左侧5个单位长度处，
∴数轴上点A对应的实数为，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：亿，
亿，
故选：C．
7．B
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，无理数、有理数的区分，无理数是指无限不循环小数，有理数包括整数和分数．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：画树状图得：
共有16种等可能的结果，两个数字都是有理数的有4种情况，
两个数字都是有理数的概率是．
故选：B．
8．D
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．
【详解】解：设井深为x尺，根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为：，根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为：，
故，故选项A错误，不符合题意；
设绳子的长为x尺，根据井深度一定，可得，故选项B错误，不符合题意；
解方程得，，
∴井深为8尺，绳长为尺，故选项C错误，，不符合题意；选项D正确，符合题意．
故选：D．
9．B
【分析】本题主要考查旋转变换的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键．
根据图象旋转的性质，得，从而得，结合，即可求解．
【详解】解：∵将绕点逆时针旋转，得到，
，
，
，
，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和．
【详解】解：解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，故选项A错误，
设、是一元二次方程的两个实数根，
∴，，故选项C正确，选项D错误，
∴两根的符号相反，故选项B错误，
故选：C．
11．A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求出抛物线解析式为，再求出抛物线与正方形边长另一个交点为，再根据直线过定点，结合函数图象解题即可．
【详解】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为，
，
∵正方形的顶点坐标分别为，，，
∴，
∵抛物线经过点D，顶点坐标为1,0，
∴设抛物线解析式为，
把代入得到，解得，
∴抛物线解析式为，
当时，解得，
∴，
∵直线，
∴直线过定点，
当时，
∴直线与必有两个交点，
∵将此抛物线在正方形内(含边界)的部分记为图象G，直线与图象G有唯一交点，
∴当时，抛物线过，，即，解得，
当时，抛物线过，，即，解得，
综上所述，或，
故选：A．
12．C
【分析】由平行四边形和折叠得到，，，过作于，过作于，再证明，得到，，即可得到，四边形是矩形，，设，则，，再在和中，利用勾股定理得到，代入列方程求解即可．
【详解】解：过作于，过作于，则，
∵中，，，
∴，，，
∴，
∵将沿对角线折叠，
∴，，，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
13．2
【分析】先化简，再合并同类二次根式即可
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键
14．
【分析】本题考查了解不等式，由整式的值落在数轴上的区间②内得，解不等式得x的取值范围，进而可得整数x的值．
【详解】解：若整式的值落在数轴上的区间②内，则
，
解得，
整数，
故答案为：．
15．
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题、相似三角形的判定和性质、坐标与图形等知识．先求出直线的解析式为；过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，设点C的坐标为，则，过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，证明，，求出，，则，得到点D的坐标为，由反比例函数的图象交线段于点C、D得到，解得（不合题意，舍去），得到点C的坐标为，即可求出答案．
【详解】解：设直线的解析式为，把点代入得到，
，
解得，
∴直线的解析式为；
如图，过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，
∴；
设点C的坐标为，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
∴点D的坐标为，
∵反比例函数的图象交线段于点C、D，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴点C的坐标为，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查正多边形的有关计算，勾股定理，三角形的内心，连接，，，过作于，由正六边形得到，，，，即可得到是等边三角形， ，再由点M为的内心，得到，，根据勾股定理和直角三角形的性质得到，，，，由，求得，最后证明，根据求解即可．
【详解】解：连接，，，过作于，
∵O是正六边形的中心，，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵点M为的内心，
∴平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
17．(1)， 原式
(2)见解析
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，不等式的性质，列代数式，根据题意列出算式并准确计算成为解题的关键．
（1）根据列出算式，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可；
（2）先根据的运算顺序列出代数式，然后根据不等式的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：列式为：
．
（2）解：设这个数为x，
则．
∵，
∴，
∴．
18．(1)第1题第一步， 第2题第二步
(2)见解析
【分析】本题主要考查了解分式方程和分式加法，计算分式加减法时第一步是通分，解分式方程的第一步是去分母，去分母时要给方程左右两边的每一项都要乘以最简公分母，这是解题的关键．
（1）根据解分式方程和分式加法计算的步骤一步步检查即可．
（2）按照解分式方程和分式加法计算的步骤进行计算即可．
【详解】（1）解：第1题第一步和分式加法计算， 第2题第二步和分式加法计算．
（2）解：习题1：
．
习题2：解：，
方程两边同乘 ，得，
解得 ：．
经检验是原分式方程的解．
19．(1)，，补全条形统计图见详解
(2)中位数是，众数是
(3)这20箱鸭梨的单箱净重的平均数为，该果园鸭梨总产量为
【分析】该题主要考查了条形统计图和扇形统计图、中位数和众数等知识点，解题的关键是读懂统计图．
（1）根据对应的圆心角度数算出所占百分比，再根据条形统计图中有5箱即可算出抽取的总箱数，用总箱数减去其他四部分积的乘所对的箱数，即可得出所对圆心角度数，解答即可．
（2）根据中位数和众数的定义解答即可．
（3）算出平均数，即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可得：所占百分比，
故抽取的总箱数箱，
即，
所对的箱数箱，
所对圆心角，
即．
补全条形统计图如图：
（2）解：根据条形统计图可得：这20箱鸭梨的单箱净重的中位数是，
众数是．
（3）解：这20箱鸭梨的单箱净重的平均数，
∴该果园鸭梨总产量．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积；
（1）连接，先证明，再由垂径定理得到，然后设的半径，在中，利用勾股定理得到，列方程计算即可；
（2）由，求出等边三角形的边长，再分别求出，，最后根据计算即可．
【详解】（1）解∶∵，，
∴，
∴，
，
，
如图，连接，
设的半径，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即的半径为；
（2）解∶∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得（负值舍去），
，
，
．
21．(1)
(2)①点P不在直线上；②
(3)
【分析】本题考查点的平移，求一次函数的解析式，勾股定理，一次函数的图象与性质；
（1）先由平移求出B4,0，再利用待定系数法求的解析式即可；
（2）①当时，，求出当时，的值再判断即可；
②由可得当点在上时，有最小值，最小值为；
（3）由得到点在直线上移动，分别求出当在上时，当在上时，再结合函数图象确定当点在内部(不含边界)时，a的取值范围即可．
【详解】（1）解：点先向右平移3个单位长度再向下平移6个单位长度得到点B4,0，
设直线的解析式为，把，B4,0代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：①当时，，
当时，，
∴点P不在直线上；
②∵，
∴当点在上时，有最小值，最小值为；
（3）解：∵，
令，消去得，
∴点在直线上移动，
∵，
∴直线的解析式为，
当在上时，，解得，
当在上时，，解得，
观察图象可发现，当点在内部(不含边界)时，a的取值范围为．
22．(1)，
(2)
【分析】（1）通过，即可求得，再根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理即可求解的度数；
（2）过点作于点H，过点E作于点I，由，求得，则，根据直角三角形的性质得到，故当时，风叶转动时点到地面的最小距离为；
【详解】（1）解：如图，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过点作于点H，过点E作于点I，
在中，由勾股定理得；
同理可证明：，
∴，
∴，
∴，
由题意得，，而，
∴，
∵在中，，
∴，
∴当时，风叶转动时点到地面的最小距离为，
答：风叶转动时点到地面的最小距离为．
【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，正确运用相似三角形的性质是解题的关键．
23．(1)，
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据在抛物线上建立方程组求解并将解析式整理成的形式即可得解；
（2）先求出直线的解解式，进而设，根据题意得到点在中垂线上，进而由中垂线性质（若为中垂线，则且与交点为中点)解得，得到，根据点在抛物线上即可建立方程求解；
（3）①取，表示任意位置的小树高，令解得横坐标，即可求解；
②设，根据题意得到直线与抛物线在区间上有两交点，为靠左一点的横坐标，注意到，即可结合一元二次方程求根公式通过计算求解；
【详解】（1）解：点，点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线方程为，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵点，点在轴上，
∴，
∵，，
∴设直线的解析式为，即，解得：，
故直线的解析式为，
∵点在直线上，
设，，
∵轴，
∴点在中垂线上，故，
解得：，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，整理得：，
解得：（舍）或，此时，
∴．
（3）解：①令，
则表示小树高，
∵，即，
∴，整理得，
解得：，
∵在左侧，故，，
∴．
②设，则在上有两解，且为其中较小解，
即直线与抛物线在上有两交点，
当时，，
令，得或x=6（舍去），
∴，
又，
对称轴为，
为直线与抛物线两交点中靠左一点的横坐标，故，
综上，；
【点睛】该题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，解直角三角形等知识点，解题的关键是理解题意．
24．(1)9；
(2)见解析
(3)①见解析；②的长为18
(4)
【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再由垂线段最短得到当时，有最小值，即可解答；
（2）先证明得到，再推出即可得出结论；
（3）①按照要求用尺规作图作出直线的垂线即可；②延长交延长线于点，先利用全等三角形判定定理推出，得到，再利用求出、的长，最后利用求出的长即可；
（4）作的外接圆，记圆心为，作交于点，连接、、，利用外接圆的性质及相似三角形的性质求出圆的半径，再作交延长线于，连接，利用矩形的性质和勾股定理求出的长，最后利用两点之间线段最短性质即可求出点A与点F的最大距离．
【详解】（1）解：在中，，
，
当与相交时，交点记为P，
由垂线段最短得，当时，有最小值，
此时为的高，
，
．
故答案为：9；．
（2）证明：，，，，
，，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
．
（3）解：①如图所示，垂线即为所求；
②如图，延长交延长线于点，
垂直平分，
，，，
由作图可得，，
，
，
，
，
，
，
由（2）中的结论有，，
，
即，
，
又，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，即，
解得：，
，
的长为18．
（4）解：作的外接圆，记圆心为，作交于点，连接、、，
圆是的外接圆，
，，
，
，平分，
，
又，
，
，即，
解得：，
，即圆的半径为10，
作交延长线于，连接，则，
又，，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
由两点之间线段最短性质得，，
，
点A与点F的最大距离为．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、尺规作图、三角形的外接圆、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造相似三角形，利用勾股定理求线段长度，利用三角形外接圆的性质求最值是解题的关键，本题属于几何综合题，适合几何知识储备较强，有能力解决几何难题的学生．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
B
A
C
B
D
B
C
题号
11
12








答案
A
C