2023-2024学年浙江省杭州市滨江区八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市滨江区八年级上学期期末数学试题及答案，共24页。
A．B．
C．D．
2．（3分）已知三角形的两边长分别为5cm和7cm，则第三边的长可以是（ ）
A．1cmB．2cmC．6cmD．12cm
3．（3分）若a＜0，b＞0，则点（a，b+1）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（3分）等腰三角形的一个外角是80°，则其底角等于（ ）
A．40°B．80°C．100°D．40°或100°
5．（3分）已知a＜b＜0，则下列各式中，正确的是（ ）
A．3a＞3bB．a2＜b2
C．﹣4a+1＞﹣4b+1D．
6．（3分）点M（3，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣3）B．（3，3）C．（﹣3，3）D．（﹣3，﹣3）
7．（3分）对于一次函数y＝﹣5x+3，下列结论正确的是（ ）
A．图象经过（﹣1，1）
B．y随x的增大而减小
C．图象经过一、三、四象限
D．不论x取何值，总有y＜0
8．（3分）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠A＝90°，∠B＝30°
B．AB＝3，BC＝4
C．∠A＝20°，∠B＝120°，∠C＝40°
D．∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝3
9．（3分）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝2x﹣1上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）
A．若x1x3＜0，则y1y2＞0B．若x1x2＞0，则y2y3＞0
C．若x2x3＜0，则y1y2＞0D．若x2x3＜0，则y1y3＞0
10．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝8，∠C＜90°，点D，E，AC，AB上，DE．已知点B和点E关于直线DF对称，若ED＝CD，则CE的长为（ ）
A．B．C．D．
二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11．（3分）函数的自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测量得A'B'＝10cm，则工件内槽宽AB为 cm．
13．（3分）将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 ．
14．（3分）一次生活常识知识竞赛一共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，小滨有1道题没答，竞赛成绩超过30分，则小滨至多答错了 题．
15．（3分）已知关于x的一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a（a，b为常数，a＞b且ab≠0），下列结论：①点（1，a+b）在函数y1＝ax+b图象上；②若y1＞y2，则x＞1；③若a+b＝0，则函数y1＝ax+b一定不经过第二象限；④若函数y2＝bx+a经过点（2，0），则函数y1＝ax+b一定经过点．其中正确结论的序号是 ．
16．（3分）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC和BC为边，按如图所示的方式作正方形ABKH，KH与CI交于点J，AB与DF交于点E．若四边形BCFE和△HIJ的面积和为5，则AC+BC的值为 ．
三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）解不等式（组）：
（1）5x﹣3＜1﹣3x；
（2）．
18．（6分）如图，已知∠β和线段a，b，用直尺和圆规作△ABC，BC＝a，AC＝b（保留作图痕迹）
19．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线
（1）若∠B＝60°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
（2）若∠B＝α，∠C＝β（α＞β），请直接写出∠DAE的度数（用含α，β的代数式表示）．
20．（8分）一次函数的图象经过M（3，2），N（﹣2，﹣8）两点．
（1）求此函数的表达式．
（2）试判断点P（3a，6a﹣4）是否在此函数的图象上，并说明理由．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，CD与BE相交于点F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）若∠A＝60°，△ADC的中线DG＝1，求BC的长．
22．（10分）甲、乙两车分别从相距200km的A，B两地相向而行，乙车比甲车先出发，两车分别以各自的速度匀速行驶．甲从A地出发，行驶80千米到达C地（A，B，C三地在同一直线上）时小时后，按原速度继续前往B地，甲车也到达了B地．甲、乙两车距A地的路程分别记为y1（km），y2（km），它们与乙车行驶的时间x（h）的函数关系如图所示．
（1）分别求出甲、乙两车的速度及y2关于x的函数表达式．
（2）试求乙车在出发多长时间后与甲车相遇．
23．（12分）如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处，测量方案如下表：
（1）第一小组认为，河宽AB的长度就是线段 的长度．
（2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得EF的长就是所求河宽AB的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行；请给出证明如果不可行，请说明理由．
（3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长
24．（12分）如图1，已知△ABC和△DBE都是等边三角形，且点D在边AC上
（1）求证：△ABD≌△CBE．
（2）求∠DCE的度数．
（3）如图2，过点B作BF⊥AC于点F，设△BCE的面积为S1，△BCD的面积为S2，求△BFD的面积（用含S1，S2的代数式表示）．
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D的图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合．
选项A的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形．
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2．（3分）已知三角形的两边长分别为5cm和7cm，则第三边的长可以是（ ）
A．1cmB．2cmC．6cmD．12cm
【分析】设三角形第三边的长是x，由三角形三边关系定理得到2＜x＜12，即可得到答案．
【解答】解：设三角形第三边的长是x，
∴7﹣5＜x＜3+5，
∴2＜x＜12，
∴第三边的长可以3cm．
故选：C．
【点评】本题考查三角形三边关系定理，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边
3．（3分）若a＜0，b＞0，则点（a，b+1）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据点在平面直角坐标系中第二象限的坐标特点解答即可．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，
∴b+8＞0，
点（a，b+1）在第二象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．（3分）等腰三角形的一个外角是80°，则其底角等于（ ）
A．40°B．80°C．100°D．40°或100°
【分析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解．
【解答】解：∵等腰三角形的一个外角为80°，
∴相邻角为180°﹣80°＝100°，
∵三角形的底角不能为钝角，
∴100°角为顶角，
∴底角为：（180°﹣100°）÷2＝40°．
故答案为：A．
【点评】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
5．（3分）已知a＜b＜0，则下列各式中，正确的是（ ）
A．3a＞3bB．a2＜b2
C．﹣4a+1＞﹣4b+1D．
【分析】运用不等式的性质进行逐一辨别、求解．
【解答】解：∵a＜b＜0，
∴根据不等式的性质2，得3a＜3b；
根据不等式的性质3，得a5＞ab＞b2，即a2＞b8；
根据不等式的性质1和3，得﹣7a+1＞﹣4b+6；
根据不等式的性质3，得，
∴选项C符合题意，选项A，B，
故选：C．
【点评】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行辨别．
6．（3分）点M（3，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣3）B．（3，3）C．（﹣3，3）D．（﹣3，﹣3）
【分析】让横坐标为原来点的相反数，纵坐标不变即可得到关于y轴对称的点的坐标．
【解答】解：∵是关于y轴对称，原来点的坐标为（3，
∴所求点的横坐标为﹣3，纵坐标为﹣2，
即（﹣3，﹣3），
故选：D．
【点评】考查关于y轴对称的点的特点；用到的知识点为：两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
7．（3分）对于一次函数y＝﹣5x+3，下列结论正确的是（ ）
A．图象经过（﹣1，1）
B．y随x的增大而减小
C．图象经过一、三、四象限
D．不论x取何值，总有y＜0
【分析】根据一次函数y＝﹣5x+3的图象和性质，对所给选项依次判断即可．
【解答】解：将x＝﹣1代入函数解析式得，
y＝﹣5×（﹣3）+3＝8≠8，
所以点（﹣1，1）不在一次函数的图象上．
故A选项错误．
因为﹣4＜0，
所以一次函数y＝﹣5x+6中y随x的增大而减小．
故B选项正确．
因为一次函数与y轴交于点（0，3），
所以该一次函数的图象经过第一、二、四象限．
故C选项错误．
当x＝﹣8时，
y＝﹣5×（﹣1）+2＝8＞0．
故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的图象和性质，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．
8．（3分）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠A＝90°，∠B＝30°
B．AB＝3，BC＝4
C．∠A＝20°，∠B＝120°，∠C＝40°
D．∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝3
【分析】由全等三角形的判定，即可判断．
【解答】解：A、C中的条件没有边的长度，故A；
B、只是知道两边的长度，不能画出唯一的△ABC；
D、已知两角和这两角的夹边，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
9．（3分）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝2x﹣1上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）
A．若x1x3＜0，则y1y2＞0B．若x1x2＞0，则y2y3＞0
C．若x2x3＜0，则y1y2＞0D．若x2x3＜0，则y1y3＞0
【分析】根据一次函数y＝2x﹣1的图象和性质即可解决问题．
【解答】解：一次函数y＝2x﹣1的图象如图所示，
因为x3x3＜0，且x3＜x2＜x3，
所以x3＜0，x3＞2．
结合函数图象可知，
此时y1＜0，但y4的正负无法确定．
故A选项错误．
因为x1x2＞6，
则x1＞0，x3＞0或x1＜6，x2＜0，
当x3＞0时，
y2和y7的正负都无法确定．
故B选项错误．
因为x2x3＜2，
所以x2＜0，x2＞0，
则x1＜8．
结合函数图象可知，
y1＜0，y2＜0，
所以y1y7＞0．
故C选项正确．
结合上述过程，
当x3＞4时，y3的正负无法确定，
故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的图象和性质，根据所给条件，进行正确的讨论是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝8，∠C＜90°，点D，E，AC，AB上，DE．已知点B和点E关于直线DF对称，若ED＝CD，则CE的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】如图，连接EB，过点C作CJ⊥AB于点J．首先证明BE⊥AC，利用面积法求出BE，再利用勾股定理求出CE．
【解答】解：如图，连接EB．
∵B，E关于DF对称，
∴DB＝DE，
∵ED＝DC，
∴DB＝DE＝DC，
∴∠BEC＝90°，
∴BE⊥AC，
∵CA＝CB＝6，CJ⊥AB，
∴AJ＝JB＝AB＝3，
∴CJ＝＝＝，
∴S△ABC＝•AB•CJ＝，
∴BE＝＝，
∴CE＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题．
二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11．（3分）函数的自变量x的取值范围是 x≠﹣2 ．
【分析】根据分式的分母不为0可得x+2≠0，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：x+2≠0，
解得：x≠﹣2．
故答案为：x≠﹣2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（3分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测量得A'B'＝10cm，则工件内槽宽AB为 10 cm．
【分析】根据全等的SAS定理证得△AOB≌△A′OB′，即可得到A′B′＝AB，进而得出答案．
【解答】解：连接A′B′，如图，
∵点O分别是AA′、BB′的中点，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．
∴A′B′＝AB，
∵A'B'＝10cm，
∴AB＝10cm，
故答案为：10．
【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．
13．（3分）将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 如果两个角是对顶角，那么它们相等 ．
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等；
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
14．（3分）一次生活常识知识竞赛一共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，小滨有1道题没答，竞赛成绩超过30分，则小滨至多答错了 2 题．
【分析】设小滨答错了x道题，则答对（10﹣1﹣x）道题，利用总分＝5×答对题目数﹣2×答错题目数，结合小滨的竞赛成绩超过30分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值，即可得出结论．
【解答】解：设小滨答错了x道题，则答对（10﹣1﹣x）道题，
根据题意得：5（10﹣4﹣x）﹣2x＞30，
解得：x＜，
又∵x为自然数，
∴x的最大值为7，
∴小滨至多答错了2道题．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
15．（3分）已知关于x的一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a（a，b为常数，a＞b且ab≠0），下列结论：①点（1，a+b）在函数y1＝ax+b图象上；②若y1＞y2，则x＞1；③若a+b＝0，则函数y1＝ax+b一定不经过第二象限；④若函数y2＝bx+a经过点（2，0），则函数y1＝ax+b一定经过点．其中正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】①将点（1，a+b）代入y1＝ax+b即可判断；②根据题意列不等式，求解即可；③若a+b＝0，又a＞b，则a＞0，b＜0，根据一次函数图象的性质判断即可；④将点（2，0）代入y2＝bx+a，可得a＝﹣2b，将a＝﹣2b代入y1＝ax+b，得到y1＝﹣2bx+b，再判断其是否经过（，0）即可．
【解答】解：将x＝1代入y1＝ax+b，得y2＝a+b，
∴点（1，a+b）在函数y1＝ax+b图象上，
故①正确；
若y6＞y2，即ax+b＞bx+a，解得x＞1，
故②正确；
若a+b＝8，又a＞b，b＜0，
∴y1＝ax+b的图象占一、三、四象限，
∴函数一定不经过第二象限，
故③正确；
将（8，0）代入y2＝bx+a，得y2＝2b+a＝0，
∴a＝﹣2b，
∴y1＝﹣2bx+b，
当x＝时，y1＝﹣7b×+b＝3，
∴函数y1＝ax+b一定经过点，
故④正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式的联系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
16．（3分）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC和BC为边，按如图所示的方式作正方形ABKH，KH与CI交于点J，AB与DF交于点E．若四边形BCFE和△HIJ的面积和为5，则AC+BC的值为 ．
【分析】可证明△AEF与△HJI全等，进而得出△ABC的面积，再将所给的面积全部相加，得出正方形BCFD和梯形ACIH的面积之和，用AC和BC的长将其表示出来即可解决问题．
【解答】解：由题知，
令BC＝a，AC＝b，
∵四边形ABKH和四边形ACIG是正方形，
∴∠BAH＝∠CAG＝90°，AB＝AH，
∴∠BAH﹣∠CAH＝∠CAG﹣∠CAH，
即∠BAC＝∠HAG．
在△BAC和△HAG中，
，
∴△BAC≌△HAG（SAS），
∴HG＝BC＝a．
又∵AF＝b﹣a，IH＝b﹣a，
∴AF＝IH．
∵∠HAG+∠AHG＝∠AHG+∠JHI＝90°，
∴∠HAG＝∠JHI，
∴∠BAC＝∠JHI．
在△EAF和△JHI中，
，
∴△AEF≌△HJI（ASA），
∴S△AEF＝S△HJI．
又∵四边形BCFE和△HIJ的面积和为5，
∴S四边形BCFE+S△AEF＝5，
即S△ABC＝4，
∴，
则ab＝10．
又∵四边形BCFE和△HIJ的面积和为5，四边形ACJH和△BDE的面积和为12，
将四部分的面积相加得，
S正方形BDFC+S梯形ACIH＝17，
∴a2+b8﹣，
则a3+b2＝22．
∴（a+b）2＝a3+b2+2ab＝22+5×10＝42，
则a+b＝（舍负），
即AC+BC的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理的证明，整体思想的巧妙运用是解题的关键．
三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）解不等式（组）：
（1）5x﹣3＜1﹣3x；
（2）．
【分析】（1）先去分母，再去括号，接着移项、合并同类项，然后把x的系数化为1得到不等式的解集即可；
（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：（1）5x﹣3＜8﹣3x，
移项得5x+4x＜1+3，
合并得6x＜4，
系数化为1得x＜；
（2），
解①得x，
解②得x≤3，
所以不等式组的解集为x≤．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了解一元一次不等式．
18．（6分）如图，已知∠β和线段a，b，用直尺和圆规作△ABC，BC＝a，AC＝b（保留作图痕迹）
【分析】先作∠MBN＝∠β，再在OM上截取BC＝a，然后以C为圆心，b为半径画弧交BN于A和A′，则△ABC和△A′BC满足条件．
【解答】解：这样的三角形能作2个．
如图，△ABC和△A′BC为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
19．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线
（1）若∠B＝60°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
（2）若∠B＝α，∠C＝β（α＞β），请直接写出∠DAE的度数（用含α，β的代数式表示）．
【分析】（1）由高线可得∠ADB＝90°，再由三角形的内角和可求得∠BAD＝30°，∠BAC＝80°，利用角平分线的定义可求得∠BAE＝40°，从而可求∠DAE的度数；
（2）参照（1）进行求解即可．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝60°，∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝30°，
∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°；
（2）∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝α，∠C＝β，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝90°﹣α，
∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣α﹣β，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝90°﹣，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
20．（8分）一次函数的图象经过M（3，2），N（﹣2，﹣8）两点．
（1）求此函数的表达式．
（2）试判断点P（3a，6a﹣4）是否在此函数的图象上，并说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求直线MN的解析式即可；
（2）利用（1）中的解析式，通过计算自变量为3a对应的函数值可判断点P是否在此函数的图象上．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把M（3，2），﹣6）分别代入得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x﹣4；
（2）点P（7a，6a﹣4）此函数的图象上．
理由如下：
∵当x＝4a时，y＝2x﹣4＝5a﹣4，
∴点P（3a，7a﹣4）在直线y＝2x﹣7上．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，CD与BE相交于点F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）若∠A＝60°，△ADC的中线DG＝1，求BC的长．
【分析】（1）根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质求出∠DAC＝∠DFB，BD＝CD，利用AAS证明△ACD≌△FBD，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出AC＝2，AD＝1，再根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDF＝90°，
∴∠DBF+∠DFB＝180°﹣∠BDF＝90°，
又∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°，
∴∠DBF+∠DAC＝180°﹣∠BEA＝90°，
∴∠DAC＝∠DFB，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠DCB＝180°﹣∠ABC﹣∠BDF＝45°＝∠ABC，
∴BD＝CD，
在△ACD和△FBD中，
，
∴△ACD≌△FBD（AAS），
∴AC＝BF；
（2）解：如图，
在Rt△ACD中，中线DG＝1，
∴AC＝2DG＝8，
∵∠A＝60°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，
∴CD＝＝＝BD，
∴BC＝＝．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，利用AAS证明△ACD≌△FBD是解题的关键．
22．（10分）甲、乙两车分别从相距200km的A，B两地相向而行，乙车比甲车先出发，两车分别以各自的速度匀速行驶．甲从A地出发，行驶80千米到达C地（A，B，C三地在同一直线上）时小时后，按原速度继续前往B地，甲车也到达了B地．甲、乙两车距A地的路程分别记为y1（km），y2（km），它们与乙车行驶的时间x（h）的函数关系如图所示．
（1）分别求出甲、乙两车的速度及y2关于x的函数表达式．
（2）试求乙车在出发多长时间后与甲车相遇．
【分析】（1）根据路程除以时间可得甲，乙的速度；用中路程减去乙行驶的路程可列出y2关于x的函数表达式；
（2）通过计算可知乙车在甲车停留时和甲车相遇；再列出式子计算即可．
【解答】解：（1）甲车速度为200÷（4﹣﹣）＝80（km/h）；
根据题意，y3＝200﹣50x；
（2）当甲车行驶80千米到达C地时，x＝，
此时乙车行驶的路程为×50＝62.5（km），
∵甲车有事停留了小时，
∴甲车停留时，乙车又行驶了，
∵62.6+62.5+80＞200，
∴乙车在甲车停留时和甲车相遇；
∵＝2.6（h），
∴乙车在出发2.4h后与甲车相遇．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
23．（12分）如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处，测量方案如下表：
（1）第一小组认为，河宽AB的长度就是线段 BC 的长度．
（2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得EF的长就是所求河宽AB的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行请给出证明；如果不可行，请说明理由．
（3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长
【分析】（1）判定△ABC是等腰直角三角形，即可得到BC＝AB，
（2）由ASA证明△ABO≌△FEO，推出EF＝AB，
（3）由ASA证明△ABC≌△DBC，推出BD＝AB．
【解答】解：（1）∵AB⊥BC，∠ACB＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AB，
∴河宽AB的长度就是线段BC的长度．
故答案为：BC；
（2）第二小组的方案可行，理由如下：
∵O是BE中点，
∴OB＝OE，
∵AB⊥BE，EF⊥BE，
∴∠ABO＝∠FEO＝90°，
在△ABO和△FEO中，
，
∴△ABO≌△FEO（ASA），
∴EF＝AB，
∴河宽AB的长度就是线段EF的长度．
（3）见表格，
只要测出BD的长，就能推算出河宽AB长
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠DBC＝90°，
在△ABC和△DBC中，
，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴BD＝AB，
∴河宽AB的长等于线段BD的长．
【点评】本题考查全等三角形的应用，关键是设计出全等三角形，即可求出河的宽度．
24．（12分）如图1，已知△ABC和△DBE都是等边三角形，且点D在边AC上
（1）求证：△ABD≌△CBE．
（2）求∠DCE的度数．
（3）如图2，过点B作BF⊥AC于点F，设△BCE的面积为S1，△BCD的面积为S2，求△BFD的面积（用含S1，S2的代数式表示）．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS即可证明△ABD≌△CBE；
（2）结合（1）根据等边三角形的性质即可求∠DCE的度数；
（3）结合（1）利用三角形的面积公式分别求出△ABD的面积＝△BCE的面积＝S1＝AF•BF+FD•BF，△BCD的面积＝S2＝AF•BF﹣FD•BF，进而可以用含S1，S2的代数式表示△BFD的面积．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DBE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，
∴∠ABD＝60°﹣∠DBC＝∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
由（1）知：△ABD≌△CBE，
∴∠CEB＝∠A＝60°，
∴∠DCE＝∠ABC+∠BCE＝60°+60°＝120°；
（3）解：∵△ABC是等边三角形，BF⊥AC，
∴AF＝CF，
由（1）知：△ABD≌△CBE，
∴△ABD的面积＝△BCE的面积＝S1＝AD•BF＝AF•BF+，
∵△BCD的面积＝S2＝CD•BF＝（AF﹣FD）•BF＝FD•BF，
∴S7﹣S2＝（AF•BF+AF•BF﹣，
∴△BFD的面积＝FD•BF＝1﹣S4）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到△ABD≌△CBE．
课题
测量河流宽度
工具
测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等
小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案
观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得：∠ACB＝45°
观测者从B点向正东走到E点，O是BE的中点，继续从点E沿垂直于BE的EF方向走，O，F在一条直线上.
测量示意图



课题
测量河流宽度
工具
测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等
小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案
观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得：∠ACB＝45°
观测者从B点向正东走到E点，O是BE的中点，继续从点E沿垂直于BE的EF方向走，O，F在一条直线上.
测量示意图



课题
测量河流宽度
工具
测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆
小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案
观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得：∠ACB＝45°
观测者从B点向正东走到E点，O是BE的中点，直到点A，O
观测者从B点向正西走到C点，使用测量角度的仪器测得∠BCD＝∠ACB＝65°，
测量示意图