新高考数学二轮培优训练专题15 直线与圆（2份，原卷版+解析版）

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1、（2023年新课标全国Ⅰ卷）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
2、（2023年全国乙卷数学（文））已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
3、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．
【答案】（中任意一个皆可以）
【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
4、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）（多选题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【解析】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
5、（2020全国Ⅲ文8）点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A． 1B． C． D． 2
【答案】B
【解析】由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为．
6、（2020·新课标Ⅰ文）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A． 1B． 2
C． 3D． 4
【答案】B
【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为．
7、（2020·新课标Ⅱ文理5）若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．由题意可得，可得，解得或，∴圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为，
∴圆心到直线的距离为．故选B．
8、（2020全国Ⅰ理11】已知⊙，直线，为上的动点，过点作⊙的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，∴直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，
∴，而，
当直线时，，，此时最小．
∴即，由解得，．
∴以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程，故选D．
9、【2022年全国甲卷】设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【解析】：∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
10、【2022年全国乙卷】过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或；
【解析】依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
11、【2022年新高考1卷】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
题组一、直线与圆的位置关系
1-1、（2023·江苏南通·统考一模）已知圆，设直线与两坐标轴的交点分别为，若圆上有且只有一个点满足，则的值为__________.
【答案】
【分析】根据可得在的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求解.
【详解】在的垂直平分线上，
所以中垂线的斜率为，
的中点为，由点斜式得，
化简得，
在圆满足条件的有且仅有一个，
直线与圆相切，
，
故答案为: .
1-2、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：.
1-3、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）过点作圆的两条切线，切点分别为，则的直线方程为___________.
【答案】
【分析】根据题意以为圆心，为半径作圆，两圆方程作差即可得直线的方程.
【详解】圆的圆心，半径，方程化为一般式方程为，
则，
以为圆心，为半径作圆，其方程为，方程化为一般式方程为，
∵，则是圆与圆的交点，
两圆方程作差可得：，
∴直线的方程为.
故答案为：.
1-4、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知直线与圆相离，则整数的一个取值可以是______．
【答案】或或（注意：只需从中写一个作答即可）
【分析】利用直线与圆的位置关系列出不等式组，解出整数的范围．
【详解】因为圆的圆心为，所以圆心到直线的距离，因为圆的方程可化简为，即半径为，所以，所以，故整数的取值可能是．
故答案为：或或（注意：只需从中写一个作答即可）
题组二、圆与圆的位置关系
2-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）圆与圆的交点为A，B，则弦AB的长为______．
【答案】
【分析】先求出两圆的公共弦方程，观察发现的圆心在公共弦上，从而得到弦AB的长为圆的直径，求出公共弦长.
【详解】圆与圆联立可得：
公共弦的方程为，
变形为，
故的圆心为，半径为，
而满足，故弦AB的长为圆的直径，
故弦AB的长为．
故答案为：.
2-2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）设与相交于两点，则________．
【答案】
【分析】先求出两圆的公共弦所在的直线方程，然后求出其中一个圆心到该直线的距离，再根据弦长、半径以及弦心距三者之间的关系求得答案.
【详解】将和两式相减：
得过两点的直线方程： ，
则圆心到的距离为，
所以 ，
故答案为：.
2-3、（2023·云南红河·统考一模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数k（且）的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆．已知点圆C：上有且只有一个点P满足，则r的值是（ ）
A．2B．8C．8或14D．2或14
【答案】D
【分析】先求点P的轨迹方程，再结合两圆相切即可求.
【详解】设由，得，化简并整理得点P的轨迹方程为，其圆心为半径为6．
又因为点P在圆C；上，圆C的圆心为，半径为r．
由题意知，两圆相切，且圆心距为8．若两圆外切，则有，解得；
若两圆内切，则有，解得．
故选：D．
2-4、（2022·山东淄博·三模）（多选）已知圆和圆的交点为，，则（ ）
A．圆和圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B正确；对于C，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；
对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.故选：ABD.
题组三、圆中的最值问题
3-1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知圆：，过直线：上的一点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圆：中，圆心，半径
设，则，即
则
（当且仅当时等号成立）
故选：A
3-2、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，进而求得，再利用基本不等式即可得到答案
【详解】连接，
在中，因为是的中点，
所以，平方得，
将代入可得，
因为，所以，
所以，
在，，
所以，
当且仅当即时，取等号,
故选：A
3-3、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得A，两点坐标，根据得到，再结合可得到C轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.
【详解】由得 ，
故 由得，
由得，设 ，则 ，
即，即点C轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为 ，则，
整理得 ，代入到中，
得： ，即C轨迹的圆心在圆上，
故点（1,1）与该圆上的点的连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，最大值为 ，
故选：B.
3-4、（2023·重庆·统考三模）过直线上任一点P作直线PA，PB与圆相切，A，B为切点，则的最小值为______．
【答案】
【详解】
由已知可得，圆心，半径.
因为为切线，所以，
所以，四点共圆，过圆心，
所以，是圆与圆的公共弦，所以，
且.
设四边形面积为，则.
又，
所以，.
显然，当增大时，也增大，
所以，当最小时，有最小值.
当时，最小，，此时.
故答案为：.
题组四、直线与圆的综合性问题
4-1、（2023·安徽安庆·校考一模）（多选题）将两圆方程作差，得到直线的方程，则（ ）
A．直线一定过点
B．存在实数，使两圆心所在直线的斜率为
C．对任意实数，两圆心所在直线与直线垂直
D．过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等
【答案】BCD
【分析】利用分离参数法求出直线恒过的定点即可判断A；利用两圆心坐标求斜率进而判断B；利用垂直直线的斜率之积为-1判断C；设直线上一点，利用两点坐标求距离公式和勾股定理化简计算即可判断D.
【详解】由题意知，
，
两式相减，得，
A：由，得，
则，解得，所以直线恒过定点，故A错误；
B：，故B正确；
C：因为，故C正确；
D：，，
则圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
又，得，即直线与圆相离，
，得，即直线与圆相离，
所以过直线上任一点可作两圆的切线.
在直线上任取一点，
设点P到圆的切线长为，到圆的切线长为，
则
，
，
所以，即，故D正确.
故选：BCD.
4-2、（2023·江苏南通·三模）（多选题）直线与圆交于两点，为圆上任意一点，则( ).
A．线段最短长度为B．的面积最大值为
C．无论为何值，与圆相交D．不存在，使取得最大值
【答案】CD
【详解】由直线可知，该直线过定点,
且直线斜率一定存在，
当时，弦的弦心距最长，则长最短为，
此时的斜率不存在，与题意矛盾，故A错误；
的面积为,
若的面积取到最大值，则为直角，
由于,此时，与题意矛盾，B错误；
由于直线过定点,在内，
故无论为何值，与圆相交，C正确；
为圆上任意一点，假设当与x轴垂直时，如图中虚线位置，
此时劣弧最短，最大，但由于直线l斜率存在，
故直线取不到图中虚线位置，即不存在，使取得最大值，D正确，
故选：CD
4-3、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）（多选题）在平面直角坐标系中，过直线上任一点做圆的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形为正方形时，点的坐标为
B．四边形面积的最小值为1
C．不可能为钝角
D．当为等边三角形时，点的坐标为
【答案】ABC
【解析】解：对A：设，由题意，四边形为正方形时， ，解得，所以点的坐标为，选项A正确；
对B：四边形面积，
因为，所以，故选项B正确；
对C：由题意，，在直角三角形中，，
由选项B知，所以，
因为为锐角，所以，所以，故选项C正确；
对D：当为等边三角形时，，所以，则，解得或，此时点的坐标为或，故选项D错误；
故选：ABC.
1、（2022·河北保定·高三期末）若为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圆的圆心为，则.因为，所以，故直线的方程为.
故选：A
2、（2022·广东清远·高三期末）直线被圆截得的最短弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将圆化为一般方程为，因此可知圆C的圆心为，半径为4，
因为直线l过定点，所以当圆心到直线l的距离为时，
直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为．
故选：D
3、（2022·青海西宁·二模）已知圆，圆，若圆平分圆的圆周，则正数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圆，化为，则圆心，
两圆方程相减可得，即为两圆的相交弦方程，
因为圆平分圆的圆周，所以圆心在相交弦上，
所以，解得或（舍去），
故选：A
4、（2023·山西·统考一模）经过,,三点的圆与直线的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相交或相切D．无法确定
【答案】A
【分析】先根据圆上三点坐标求出圆的方程及圆心半径,再根据圆心到直线的距离与半径之间的大小关系,得出圆与直线的位置关系.
【详解】解:由题知,圆过,,三点,
因为,
所以,即,
所以该圆是以为直径的圆,可得圆心为,即,半径,
故圆的方程为,
因为直线方程为:,
所以圆心到直线的距离,
当时,有,所以圆与直线相交,
当时,有,所以圆与直线相交,
综上:圆与直线的位置关系是相交.
故选：A.
5、（2023·河北石家庄·统考三模）已知直线经过圆的圆心，其中且，则的最小值为（ ）
A．9B．C．1D．
【答案】A
【详解】圆的圆心为，依题意，，即，
由，知，令，则，
因此
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值9.
故选：A
6、（2021·山东日照市·高三二模）若实数满足条件，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的几何意义即圆上的点到定点的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，
则AB的方程为，
由切线性质有，，解得，故的取值范围为，
故选：C
7、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是______ ．
【答案】
【分析】设点，由已知关系，可用点坐标表示出.在，有
，进而可推出，根据的范围，即可得到结果.
【详解】
由已知，，.
如图，设点，则，
，
在中，有
，
易知，则，
则，
因为，，所以当时，取得最大值，
又，所以，.
所以，的取值范围是.
故答案为：.
8、（2023·云南玉溪·统考一模）已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数________
【答案】
【分析】由是正三角形得到圆心点到直线的距离为，从而用点到直线距离公式即可求解.
【详解】设圆的半径为，
由可得，
因为是正三角形，所以点到直线的距离为,
即，
两边平方得，解得.
故答案为: .
9、（2023·云南·统考一模）若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．
【答案】
【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解．
【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，
的最小值即为的最小值减去半径．
因为，，
设，
，由于恒成立，
所以函数在上递减，在上递增，即，
所以，即的最小值为．
故答案为：．
10、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．在平面直角坐标系中，已知点，点P满足，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心，若直线与圆M相交于D，G两点，且，则____________．
【答案】或
【分析】设点由求出圆M方程，根据截圆弦长求得值.
【详解】设点点满足，
∴，
化为:，即点的轨迹圆，圆心，半径 .
圆心到直线的距离，
∴，
∴，解得或
故答案为: 或.
11、（2023·湖南岳阳·统考三模）写出与圆和都相切的一条直线方程____________．
【答案】或中任何一个答案均可
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则，
所以两圆外离，
由两圆的圆心都在轴上，则公切线的斜率一定存在，
设公切线方程为，即，
则有，
解得或或或
所以公切线方程为或.
故答案为：.（答案不唯一，写其它三条均可）
12、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）在平面直角坐标系中，笛卡尔曾阐述：过圆上一点的切线方程.若，直线与圆相交于两点，分别以点为切点作圆的切线，设直线，的交点为；若时，则直线的方程是__________；若圆O：，且与圆相切，则的最小值为__________.
【答案】 /
【详解】设，
由题意可得：，
因为直线，的交点为，则，
所以直线的方程，即.
空1：若时，则直线的方程是，即；
空2：圆O：的圆心，半径为1，
因为与圆相切，则，整理得，
当时，取到最小值.
故答案为：；.