新高考数学二轮培优训练专题21 数列综合问题的探究（2份，原卷版+解析版）

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1、（2023年全国乙卷数学（文））已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
3、（2023年新高考天津卷）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
4、【2022年新高考1卷】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
5、【2022年新高考2卷】已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
题组一 等差、等比数列的含参问题
1-1、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列前项和，数列满足为数列的前项和．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
1-2、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列的首项为1，公差，其前n项和满足.
(1)求公差d；
(2)是否存在正整数m，k使得.
1-3、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．给定，记集合的元素个数为．
(1)求，的值；
(2)求最小自然数n的值，使得．
1-4、（2023·云南·统考一模）记数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意，，求m的最小值．
题组二 等差、等比数列中的不等或证明问题
2-1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知各项为正数的数列的前项和为，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，求证：．
2-2、（2023·云南玉溪·统考一模）在①，②这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后求解．
设等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，， ．（说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）
(1)请写出你的选择，并求数列和的通项公式；
(2)若数列满足，设的前n项和为，求证：．
2-3、（2023·云南红河·统考一模）已知正项数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式：
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知正项等比数列的前项和为，，且数列的前项和为，若对于一切正整数都有，则数列的公比的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2、（2021·山东菏泽市·高三期末）已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的和为（ ）
A．1022B．1023C．2046D．2047
3、（2023·山西·统考一模）从下面的表格中选出3个数字（其中任意两个数字不同行且不同列）作为递增等差数列的前三项.
(1)求数列的通项公式，并求的前项和；
(2)若，记的前项和，求证.
4、（2023·安徽安庆·校考一模）数列中，，且满足
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)设，求；
(3)设，是否存在最大的；正整数，使得对任意均有成立？若存在求出的值；若不存在，请说明理由.
5、（2022·山东青岛·高三期末）给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.
(1)已知数列的通项公式为，证明：为“指数型数列”；
(2)若数列满足：；
（I）判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(Ⅱ)若，求数列的前项和.
第1列
第2列
第3列
第1行
7
2
3
第2行
1
5
4
第3行
6
9
8