人教版数学九上期末复习讲练专项09 二次函数的字母系数的相关问题（2份，原卷版+解析版）

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1.二次函数中a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
根据二次函数图像判断a，b，c的关系式与0的关系
【考点1 对称轴】
【典例1】如图，二次函数 的图象经过点 （1，0）， （4，0），下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．图象的对称轴是直线 D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【解答】解： 二次函数 的图象经过点 （1，0）， （4，0），
＞ 故 不符合题意，
当 时，
由函数图像可得： 在第三象限，
所以 ＜ 故 不符合题意，
二次函数 的图象经过点 （1，0）， （4，0），
图象的对称轴是直线 故 不符合题意， 符合题意，
故答案为：D
【变式1-1】二次函数 的图象如图所示，对称轴是 ，下列结论正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴ ，
∴ ，
故A不符合题意；
∵ ，
∴ ，
故B不符合题意；
∵ 时，
y=a-b+c ，
∴2a-2b+2c ，
∵ ，
∴ ，
∴-b-2b+2c ，
∴3b-2c ，
故C不符合题意；
∵ 时，
y=a-b+c ，
∵ ，
∴ ，
∴3a+c ，
故D符合题意；
故答案为：D．
【变式1-2】若 与 在抛物线 的图象上，则其对称轴是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【解答】解：∵A（m，6）与B（4-m，6）在抛物线 的图象上，
∴A（m，6），B（4-m，6）关于对称轴对称，
即对称轴过A（m，6），B（4-m，6）的中点，
，
故答案为：C．
【考点2 a、b、c及b²-4ac对图像的影响】
【典例2】抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b＋c＝0；④8a﹣2b＋c＞0；⑤若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确的有（ ）
A．②③④B．①②③C．②④⑤D．②③
【答案】A
【解答】解：∵图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵图象与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，①不符合题意．
由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，②符合题意，
由图象可知，抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
当x＝﹣3时，y＝0，
∴9a﹣3b+c＝0，③符合题意，
8a﹣2b＋c中：a＞0、b＝2a＞0；c＜0
由（1,0）在抛物线上，可得a+b+c=0 c=-a-b
所以8a﹣2b＋c=a＞0，④复合题
∵|﹣2﹣（﹣1）|＝1，|﹣0.5﹣（﹣1）|＝0.5，
∵1＞0.5，
∴当x＝﹣2时的函数值大于x＝﹣0.5时的函数值，
∴y1＜y2，⑤不符合题意，
∴正确的有②③④，
故答案为：A．
【变式2-1】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑤b＜c.其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＞0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0），
∴x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的2个交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④正确；
∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，
即b＜c，所以⑤正确.
故答案为：B.
【变式2-2】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的坐标为（-4，0），抛物线的对称轴为直线x=-1，有以下结论：①该抛物线的最大值为a-b+c；②a+b+c>0；③b2-4ac>0；④2a+b=0，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，开口向下，
∴当x=-1，y有最大值，最大值y=a-b+c，故①正确；
∵点A的坐标为（-4，0），对称轴为直线x=-1，
∴B（2，0），
∴当x=1时，y=a+b+c＞0，故②正确；
∵ 抛物线与x轴有两个交点，
∴ b2-4ac>0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴-=-1，
∴2a-b=0，故④错误，
∴正确的个数为3个.
故答案为：C
【变式2-3】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＞0；④b2+8a＞4ac．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：如图：
∵x＝-2时，y＜0，
∴4a－2b＋c＜0，所以①符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，
∴-2＜x1+x2＜0
∴﹣1＜＜0，
∵对称轴x=，
∴，
∴2a－b＜0，故②符合题意；
∵，，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故③符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），对称轴在-1和0之间，
∴顶点纵坐标大于2，
∴，
∵a＜0，
∴b2＋8a＞4ac，所以④符合题意．
∴正确的选项有4个；
故答案为：D．
【变式2-4】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；②a﹣2b+c＞0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解答】解：①∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，
∴当x=1时，，
故结论①符合题意；
②根据函数图像可知，
当，即，
对称轴为，即 ，
根据抛物线开口向上，得，
∴，
∴，
即，
故结论②不符合题意；
③根据抛物线与x轴的一个交点为，
对称轴为可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，
∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1，
故结论③不符合题意；
④根据函数图像可知：，
故结论④不符合题意；
⑤当时，，
∴当时，，
∴，
故结论⑤不符合题意，
综上：①符合题意，
故答案为：A．
【变式2-5】如图，已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：
①；②；③；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】①图像开口朝下，故，根据对称轴可知，
图像与y轴交点位于x轴上方，可知c>0
故①不符合题意；
②得
故②不符合题意；
③经过
又由①得c>0
故③不符合题意；
④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等
当时，即
即
经过，即经过
故④符合题意；
⑤当时，， 当时，
函数有最大值
化简得，
故⑤符合题意．
综上所述：④⑤符合题意．
故答案为：B．
1．（2021秋•密山市校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③b+2a＝0；④3a+c＝0；其中正确的是（ ）
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③
【答案】A
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴b+2a＝0，③正确．
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，
∴②错误．
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，④正确．
故选：A．
2．（2021秋•泸西县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②③C．①③D．②③
【答案】C
【解答】解：由抛物线的开口向上，得到a＞0，
∵﹣＞0，
∴b＜0，
由抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，
∴abc＞0，选项①正确；
∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，选项②错误；
根据图象知，当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0．选项③正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴x＝3与x＝﹣1时函数值相等，
又∵x＝﹣1时，y＞0，
∴x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，选项④错误．
则其中正确的选项有①③．
故选：C．
3．（2021秋•仁寿县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列结论：①4a+2b+c＜0；②a+c＞0；③2a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【解答】解：①由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＞0，故错误；
②抛物线过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵﹣＝1，a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴a+c＝b＞0，故正确；
③∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝c＞0，故正确；
④抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，故错误；
故正确的共有2个，
故选：C．
4．（2021秋•沈北新区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误是（ ）
A．a﹣b+c＞0B．abc＞0C．4a﹣2b+c＜0D．2a﹣b＝0
【答案】C
【解答】解：由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，故A项正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，﹣＝﹣1，与y轴的交点为（0，1），
∴a＜0，b＝2a＜0，c＝1＞0，
∴2a﹣b＝0，abc＞0，故B、D项正确，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在原点和点（1，0）之间，
∴另一个交点在（﹣2，0）与（﹣3，0）之间，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故C项错误，符合题意，
故选：C．
5．（2022•深圳模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝﹣1，有下列结论：①abc＞0；②a+b＜﹣c；③4a﹣2b+c＞0；④3b+2c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）（其中m为任意实数），其中正确结论的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解答】解：∵开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线和y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0，
∴a+b＜﹣c，故②正确；
由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故③正确；
∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，
∴a＝b，
∴b+b+c＜0，
∴3b+2c＜0，故④正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，
所以当m为任意实数时，有a﹣b+c≥am2+bm+c，
所以a﹣b≥m（am+b），故⑤错误．
故选：C．
6．（2022•日照一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2，
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，②错误．
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
∴﹣b+c＜0，
∴2c＜3b，③正确．
∵x＝1时，y＝a+b+c为函数最大值，
∴a+b+c＞m（am+b）+c（m≠1），
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），
∵b＞0，
∴a+2b＞a+b＞m（am+b）（m≠1），④正确．
方程|ax2+bx+c|＝1的四个根分别为ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1的根，
∵抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，
∴抛物线与直线y＝1的交点的横坐标为之和为2，
抛物线与直线y＝﹣1的交点横坐标为之和为2，
∴方程|ax2+bx+c|＝1的四个根的和为4，⑤错误．
故选：A．
7．（2022•鄞州区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＞0，﹣＞0，b＞0，∴abc＞0，错误；
②∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在（3，0）左边
∴二次函数与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，
∴a﹣b+c＜0，∴②错误；
③∵对称轴是直线x＝1，图象开口向下，
∴x＝1时，函数最大值是a+b+c；
∴m为任意实数，则a+b+c≥am2+bm+c，∴③错误；
④∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a
由②得a﹣b+c＜0，
∴3a+c＜0，∴④正确；
⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
∵x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，
∵x1+x2＝﹣，b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，∴⑤正确；
故选：B．
8．（2021秋•薛城区期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①abc＞0；②b＝﹣a；③9a﹣3b+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）；⑤4ac﹣b2＜0，其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴是x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线交于y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，①说法错误；
∵b＝2a，
∴②说法错误；
∵抛物线与x轴交于（1，0），对称轴是x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，③说法正确；
∵抛物线的对称轴是x＝﹣1，且开口向上，
∴函数最小值为a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴m（am+b）≥a﹣b，④说法正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，⑤说法正确；
故选：C．
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
关系式
实际比较
2a+b
比较
2a+b
比较
a+b+c
令x=1，看纵坐标
a-b+c
令x=-1，看纵坐标
4a+2b+c
令x=2，看纵坐标
4a-2b+c
令x=-2，看纵坐标