人教版数学九上期末复习讲练专项13 二次函数与几何综合-特殊平行四边形存在问题（2份，原卷版+解析版）

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知识总结：
线段中点坐标公式
2.平行四边形顶点公式：
分类：
三个定点，一个动点问题
已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解。这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论；
两个定点、两个动点问题
这中题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一条直线上。设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式。该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式。
方法总结：
这种题型，关键是合理有序分类：无论式三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为顶点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，份三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组），这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广，其本质用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、属性结合的思想。
【考点1 三定一动类型】
【典例1】（2022•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∵A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，
此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，
此时△BPC的周长最短，
∵点C的横坐标是2，
yC＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，
当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
（3）存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设E（x，y），
①当AB为对角线时，
则，
解得：，
∴E（0，3）；
②当AC为对角线时，
则，
解得：，
∴E（﹣2，﹣3）；
③当BC为对角线时，
则，
解得：，
∴E（6，﹣3）．
综上所述，E点坐标为（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）．
【变式1-1】（2022•宝山区模拟）已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求经过A、D两点的直线的表达式；
（3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
【解答】解：（1）设y＝ax2+bx+c，
将点A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴D（2，1），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣1；
（3）设P（t，t﹣1），
①当AB为平行四边形的对角线时，t＝1+3＝4，
∴P（4，3）；
②当AC为平行四边形的对角线时，1＝3+t，
∴t＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣3）；
③当AP为平行四边形的对角线时，t+1＝3，
∴t＝2，
∴P（2，1），
此时﹣3+0≠1+0，
∴P（2，1）不符合题意；
综上所述：P点的坐标为（4，3）或（﹣2，﹣3）．
【变式1-2】（2021秋•建昌县期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方的抛物线上时，求△PBC的最大面积，并直接写出此时P点坐标；
（3）若点M在抛物线的对称轴上，以B，C，P，M为顶点、BC为边的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
∵点B（﹣3，0），
∴﹣3k+3＝0，
∴k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
过点P作PQ∥y轴交BC于Q，
设P（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），
∴Q（m，m+3），
∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∴S△PBC＝PQ（xC﹣xB）＝（﹣m2﹣3m）[0﹣（﹣3）]＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，△PBC的最大面积为，此时，点P的坐标为（﹣，）；
（3）能是平行四边形；
如图2，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴设点M（﹣1，a），P（n，﹣n2﹣2n+3），
假设存在以B，C，P，M为顶点、BC为边的四边形是平行四边形，
①当四边形BCMP是平行四边形时，
∵点C（0，3），B（﹣3，0），
∴（n+0）＝（[﹣3+（﹣1）]，
∴n＝﹣4，
∴P（﹣4，﹣5），
②当四边形BCP'M'是平行四边形时，
∵点C（0，3），B（﹣3，0），
∴[n+（﹣3）]＝（[0+（﹣1）]，
∴n＝2，
∴P（2，﹣5），
即：满足条件的点P（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．
【考点2 两定两动类型】
【典例2】（2022•牡丹区三模）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0），
把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线y＝ax2+x+c，
得：，
解之，得，
∴抛物线的解析式为．
（2）∵BC为定值，
∴当△BEC的面积最大时，点E到BC的距离最大．
如图，过点E作EG∥y轴，交直线BC于点G．
设点E的坐标为，则点G的坐标为（m，﹣m+4），
∴，
∴，
∴当m＝2时，S△BEC最大．此时点E的坐标为（2，4）．
（3）存在．由抛物线可得对称轴是直线x＝1．
∵Q是抛物线对称轴上的动点，∴点Q的横坐标为1．
①当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，
∴点Q到点P的水平距离也是4．
∴点P的横坐标是5或﹣3，∴点P的坐标为或；
②当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3，
∴点B到点P的水平距离也是3，∴点P的坐标为．
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，
点P的坐标是或或．
【变式2-1】（2022•南京模拟）已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A（﹣1，0），C（0，﹣3）两点，对称轴为直线x＝1，对称轴与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴设抛物线y＝a（x﹣1）2+k，
把A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2+k得：，
∴，
∴y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
依题意设N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），
∵C（0，﹣3），对称轴为直线x＝1，
∴F（2，﹣3），
∵A（﹣1，0），F（2，﹣3），N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），
当以AF为对角线时，
，
∴m＝0，
∴M（0，﹣3），
当以AN为对角线时，
，
∴m＝﹣2，
∴M（﹣2，5），
当以AM为对角线时，
，
∴m＝4，
∴M（4，5），
综上所述：M（0，﹣3）或M（﹣2，5）或M（4，5）．
【变式2-2】（2022•东莞市校级一模）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，﹣3），已知AB＝4，对称轴在y轴左侧．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点N在对称轴上，则抛物线上是否存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交y轴于点C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3，
设A（x1，0），B（x2，0），
由题意得x2﹣x1＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∵x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，
∴b2+12＝16，
∴b＝±2，
又∵对称轴在y轴左侧，
∴b＝2，
∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形．
∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴y＝0时，x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
①若OA为边，
∴AO∥MN，OA＝MN＝3，
∵N在对称轴x＝﹣1上，
∴点M的横坐标为2或﹣4，
当x＝2时，y＝5，当x＝﹣4时，y＝5，
∴M（2，5）或（﹣4，5）；
②若OA为对角线时，
∵A（﹣3，0），O（0，0），
∴OA的中点的坐标为（﹣，0），
∵N在直线x＝﹣1上，
设M的横坐标为m，
∴，
∴m＝﹣2，
把m＝﹣2代入抛物线解析式得y＝﹣3，
∴M（﹣2，﹣3）．
综上所述，M的坐标为（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）；
（3）∵B（1，0），C（0，﹣3），
∴S△OBC＝，
∴S△OBC＝S△PBC＝，
设BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝3x﹣3，
过点O作OP∥BC交抛物线于P，则S△OBC＝S△PBC，直线OP的解析式为y＝3x，
∴，
解得，，
∴P（，）或（，）．
【变式2-3】（2022•百色一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），B（2，3）两点，抛物线的顶点为M．
（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；
（2）若抛物线的对称轴与直线AB相交于点N，E为直线AB上的任意一点，过点E作EF∥y轴交抛物线于点F，以M，N，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得，
所以抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M的坐标为（1，4）．
（2）能．
设点E的横坐标为t，则点F的横坐标为t，
当﹣1＜t＜2，由（2）得，EF＝（﹣t2+2t+3）﹣（t+1）＝﹣t2+t+2；
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点M的坐标为（1，4），
直线AB：y＝x+1，当x＝1时，y＝2，
∴B（1，2），
∴BD＝4﹣2＝2，
∵EF∥MN，
∴当EF＝MN＝2时，四边形MNEF是平行四边形，
∴﹣t2+t+2＝2，
解得t1＝0，t2＝1（不符合题意，舍去），
直线y＝x+1，当x＝0时，y＝1，
∴E（0，1）；
当x＜﹣1或x＞2时，则EF＝（t+1）﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2，
∴t2﹣t﹣2＝2，
解得t1＝，t2＝，
直线y＝x+1，当x＝时，y＝；当x＝时，y＝，
∴E（，），E′（，），
综上所述，点E的坐标为（0，1）或（，）或′（，）．
1.（2021秋•克东县期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式，并直接写出点D的坐标；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，当点P的坐标为多少时，△APC的面积有最大值．
（3）点Q在平面内，试探究是否存在以A，C，D，Q为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
设直线AC的解析式为y＝kx+n，
则，
解得：，
∴直线的解析式为y＝x+1，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；
（2）过点P作PF∥y轴，交AC于点F，
∵点P在抛物线y＝﹣x2+3x+3上，设P（a，﹣a2+2a+3），
F点在直线AC上，设F（a，a+1），
∴PF＝（﹣a2+2a+3）﹣（a+1）＝﹣a2+a+2，
∴S＝﹣
当a＝时，面积最大，﹣a2+2a+3＝，
即P（）；
（3）存在，理由如下：
由（1）知D（1，4），A（﹣1，0），C（2，3），设Q（m，n），
若以点A，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形，
①以AD为对角线，则AD与CQ1的中点坐标相同，
则，
解得：，
∴Q1（﹣2，1）；
②以DC为对角线，则DC与AQ2的中点坐标相同，
则
解得：，
∴Q2（4，7）；
③以AC为对角线，则AC与DQ3的中点坐标相同，
则
解得：，
∴Q3（0，﹣1），
综上所述，符合条件的Q点的坐标为（﹣2，1）或（4，7）或（0，﹣1）．
2．（2021秋•龙江县校级期末）综合与探究
如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式，连接BC，并求出直线BC的解析式；
（2）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，此时点P的坐标是 （，） ；
（3）点Q在第一象限的抛物线上，连接CQ，BQ，求出△BCQ面积的最大值．
（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4；
在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
设BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（4，0），C（0，4），
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；
（2）如图1中，
由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x＝对称，
连接BC交直线x＝于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长＝＝4，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
∴x＝时，y＝﹣+4＝，
∴此时P（，）．
故答案为：（，）；
（3）设Q（m，﹣m2+3m+4）过Q作QD⊥x轴，交BC于点D，则D（m，﹣m+4），
∴QD＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
，
当m＝2时，S△BCQ取最大值，最大值为8，
∴△BCQ面积的最大值为8；
（4）在抛物线上存在点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形，N（3，4）或（，﹣4）（，﹣4）．理由如下：
观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或﹣4，
对于抛物线y＝﹣x2+3x+4，当y＝4时，x2﹣3x＝0，解得x＝0（不符合题意，舍去）或3，
∴N1（3，4）．
当y＝﹣4时，x2﹣3x﹣8＝0，解得x＝，
∴N2（，﹣4）（，﹣4），
综上所述：在抛物线上存在点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为（3，4）或（，﹣4）（，﹣4）．
3．（2022春•青秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c，与y轴交于点A，与x轴交于点E、B．且点A（0，5），B（5，0），抛物线的对称轴与AB交于点M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，连接PB，PM，求△PMB面积的最大值；
（3）若点P是抛物线上一点，在直线AB上是否存在一点Q，使得以点M、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A（0，5），B（5，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）如图，
∵A（0，5），B（5，0），
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
∵点M是抛物线的对称轴与直线AB的交点，
∴M（2，3），
由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5，
过点P作PH∥y轴交AB于H，
设P（m，﹣m2+4m+5）（0＜m＜5），
∴H（m，﹣m+5），
∴PH＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m，
∴S△PMB＝PH（xB﹣xM）＝（﹣m2+5m）（5﹣2）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，S△PMB最大＝，
即△PMB面积的最大值为；
（3）∵抛物线的对称轴与y＝﹣x+5交于点M，
∴M（2，3），
设Q（a，﹣a+5），P（m，﹣m2+4m+5），
若EM＝PQ，四边形EMPQ为平行四边形，
∴，
解得或，
∴Q（﹣1，6）或（0，5）；
若EM＝PQ，四边形EMQP为平行四边形，同理求出Q（9，﹣4）；
若EM为对角线，则，
解得（不合题意舍去）或
综合以上可得出点Q的坐标为Q（﹣1，6）或（0，5）或（9，﹣4）或（﹣5，10）．
4．（2022•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．
（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）方法一：如图1，
连接OP，
设点P（m，﹣2m﹣6），
∴S△POC＝xP＝＝3m，
S△BOP＝|yP|＝+2m+6），
∵S△BOC＝＝18，
∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18
＝﹣（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，S△PBC最大＝；
方法二：如图2，
作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，
∵B（6，0），C（0，﹣6），
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，
∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，S△PBC最大＝；
（3）如图3，
当▱ACFE时，AE∥CF，
∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2，
∴F1点的坐标：（4，﹣6），
如图4，
当▱ACEF时，
作FG⊥AE于G，
∴FG＝OC＝6，
当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，
∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6），
综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．
5．（2022•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的图象上，
∴0＝﹣52﹣4×5+c
∴c＝5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1：
∵A（﹣5，0），C（0，5）
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AHF＝45°＝∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴，
∴当PH最大时，PE最大，
设直线AC解析式为y＝kx+5，
将A（﹣5，0）代入得0＝5k+5，
∴k＝1，
∴直线AC解析式为y＝x+5，
设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），
∴，
∵a＝﹣1＜0，
∴当时，PH最大为，
∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5），
分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣3，8）；
②当AM为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（3，﹣16）；
③当AN为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）；
综上，点M的坐标为：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．
6．（2022•江州区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）求点B，C的坐标；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBOC的面积最大，求出点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一动点，x轴上是否存在一点Q，使以B、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴A（1，0），B（﹣3，0）．
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（﹣3，0），C（0，3），在直线BC上，
∴，解得，
∴y＝x+3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），
过P点作PH⊥x轴交直线BC于点H，
∴H（t，t+3），
∵S四边形PBOC＝S△PBC+S△BCO，
∴当PH最大时，四边形PBOC的面积最大，
∵PH＝﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，
∴当时，PH有最大值，
∴P；
（3）存在点Q使以B、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设Q（x，0），M（m，﹣m2﹣2m+3），
①当BC为对角线时，
则BC的中点为（﹣，），MQ的中点为（，），
∴﹣＝，＝，
∴m＝0，x＝﹣3（舍）或m＝﹣2，x＝﹣1，
∴Q（﹣1，0）；
②当BM为对角线时，
则BM的中点为（，），CQ的中点为（，），
∴＝，＝，
∴m＝0，x＝﹣3（舍）或m＝﹣2，x＝﹣5，
∴Q（﹣5，0）；
③当BQ为对角线时，
则BQ的中点为（，0），CM的中点为（，），
∴＝，0＝，
∴m＝﹣1+，x＝2+，或m＝﹣1﹣，x＝2﹣，
∴Q（2+，0）或（2﹣，0）；
综上所述：Q点坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）或（2+，0）或（2﹣，0）．
7．（2021秋•綦江区期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），对称轴l与x轴交于点F，点E是直线AC上方抛物线上一动点，连接AE、EC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形AECO面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B（1，0），与y轴交于点C（0，3），则：
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）如图1中，连接OE．设E（m，﹣m2﹣2m+3）．
当﹣x2﹣2x+3＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
∴OA＝OC＝3，
∴S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC＝×3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）﹣×3×3＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝﹣时，△AEC的面积最大，
∴E（﹣，）；
（3）存在．如图2中，因为点P是x轴上，点Q在抛物线上，
①EF是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为±，
对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当y＝时，﹣x2﹣2x+3＝，解得x＝﹣（舍弃）或﹣，
∴Q1（﹣，）．
当y＝﹣时，﹣x2﹣2x+3＝﹣，解得x＝，
∴Q2（，﹣），Q3（，﹣）．
②当EF为对角线时，
﹣x2﹣2x+3＝，
解得x＝﹣（舍弃）或﹣，
∴Q4（﹣，）．
综上所述，满足条件的点Q坐标为（﹣，）或（，﹣）或（，﹣）．
8．（2021秋•富裕县期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为x＝2，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是 2 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求△BCE面积的最大值；
（4）平面内存在点Q，使以点B、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
∵对称轴为x＝2，
∴B（5，0），
将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+4x+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+4x+5；
（2）令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5），
∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴D（2，9），
∴CD＝2，
故答案为：2；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+5，
过点E作EF⊥x轴交直线BC于点F，
设E（t，﹣t2+4t+5），则F（t，﹣t+5），
∴EF＝﹣t2+5t，
∴S△BCE＝×5×（﹣t2+5t）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，S△BCE有最大值；
（4）设Q（m，n），
①当BD为平行四边形对角线时，
BD的中点（，），CQ的中点（，），
∴＝，＝，
∴m＝7，n＝4，
∴Q（7，4）；
②当BC为平行四边形对角线时，
BC的中点（，），DQ的中点（，），
∴＝，＝，
∴m＝3，n＝﹣4，
∴Q（3，﹣4）；
③当BQ为平行四边形对角线时，
BQ的中点（，），CD的中点（1，7），
∴＝1，＝7，
∴m＝﹣3，n＝14，
∴Q（﹣3，14）；
综上所述：Q点坐标为（7，4）或（3，﹣4）或（﹣3，14）．
9．（2021秋•龙亭区校级月考）如图，抛物线y＝x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y＝x﹣5上，设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧）．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，
∴A（1，c﹣1），
∵A点在y＝x﹣5上，
∴c﹣1＝1﹣5，
∴c＝﹣3，
∴A（1，﹣4），
∴y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x＝﹣1或x＝3，
∴C（﹣1，0），D（3，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴B（0，﹣3）；
（2）存在点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设P（t，t﹣5），
①当PA、BD为平行四边形的对角线时，
∴，
此时t无解；
②当PB、AD为平行四边形的对角线时，
∴，
∴t＝4，
∴P（4，﹣1）；
③当PD、AB为平行四边形的对角线时，
∴，
∴t＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣7）；
综上所述：P点的坐标为（4，﹣1）或（﹣2，﹣7）．
10．（2021秋•雨花区校级月考）已知：抛物线与x轴相交于A、B（A点在B点的左边），与y轴相交于点C，若点B的坐标为（2，0），⊙M经过A、B、C三点．
（1）求c的值；
（2）求⊙M的半径；
（3）过C点作直线交x轴于D，当直线CD与抛物线只有一个交点时，直线CD是否与⊙M相切？如果相切，请证明之；如果相交，请求出直线CD与圆的另外一个交点的坐标；
（4）点E、F分别为⊙M与抛物线上的动点，当点O、C、E、F四点构成的四边形为以OC为边的平行四边形时，请直接写出点E的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2﹣x+c经过点B（2，0），
∴﹣×22﹣×2+c＝0，
解得：c＝4，
∴c的值为4；
（2）在y＝﹣x2﹣x+4中，令y＝0，
得：﹣x2﹣x+4＝0，
解得：x1＝﹣8，x2＝2，
∴A（﹣8，0），
∴AB＝2﹣（﹣8）＝10，
∴⊙M的半径为5；
（3）直线CD与⊙M相交．
在y＝﹣x2﹣x+4中，令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4），
设直线CD解析式为y＝kx+b，将点C（0，4）代入，得：b＝4，
∴直线CD解析式为y＝kx+4，
∵直线CD与抛物线只有一个交点，
∴方程﹣x2﹣x+4＝kx+4有两个相等的实数根，整理，得：x2+（4k+6）x＝0，
∴Δ＝（4k+6）2﹣4×1×0＝0，
解得：k＝﹣，
∴直线CD解析式为y＝﹣x+4，
设直线CD与⊙M的另外一个交点的坐标为（x，﹣x+4），
∵M（﹣3，0），⊙M的半径为5，
则（x+3）2+（﹣x+4）2＝52，
解得：x＝0（舍去）或x＝，
∴直线CD与⊙M的另外一个交点的坐标为（，）；
（4）设E（x，﹣x2﹣x+4），
∵点O、C、E、F四点构成的四边形为以OC为边的平行四边形，
∴EF＝OC＝4，EF∥OC，
∴F（x，﹣x2﹣x），
∵MF＝5，
∴（﹣3﹣x）2+（﹣x2﹣x）2＝52，
整理，得：（x2+6x）2+16（x2+6x）﹣256＝0，
设x2+6x＝y，则y2+16y﹣256＝0，
解得：y＝﹣8+或﹣8﹣（舍去），
∴x2+6x＝﹣8+，即x2+6x+8﹣＝0，
解得：x1＝﹣3﹣，x2＝﹣3+，
∴E（﹣3﹣，2﹣2）或（﹣3+，2﹣2）．
11．（2021•南充模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线l上的动点，求△PBC周长的最小值；
（3）点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标，不存在，说明理由．
【解答】解：（1）把点A（4，0）、B（0，4）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，
得，，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4，
（2）由抛物线解析式可知，l：x＝，C（﹣1，0），
如图，作点B关于直线l的对称轴B′，连接B′C交l于一点P，点P即为使△PBC周长最小的点，
此时B′（3，4），直线B′C：y＝x+1，
∴P（，），
∵B（0，4），C（﹣1，0），B′（3，4），
∴BC＝，CB′＝4，
∴△PBC周长的最小值为：+4．
（3）存在，以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（，﹣），（，﹣）或（，）．理由如下：
由抛物线解析式可知，E（，），
∵A（4，0）、B（0，4），
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，
∴F（，）．
∴EF＝．
设M（m，﹣m2+3m+4），
①当EF为边时，则EF∥MN，
∴N（m，﹣m+4），
∴NM＝EF＝，即|﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）|＝，
解得m＝（舍）或或或，
∴M（，）或（，﹣），（，﹣））．
②当EF为对角线时，EF的中点为（，），
∴点N的坐标为（3﹣m，m2﹣3m+），
∴﹣3+m+4＝m2﹣3m+，解得m＝（舍），m＝，
∴M3（，）．
综上，满足以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（，﹣），（，﹣）或（，）．