人教版数学九上期末复习讲练专项19 圆中利用转化思想求角度（2份，原卷版+解析版）

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类型一 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角
类型二 构造圆内接四边形转化角
类型三 利用直径构造直角三角形转化角
类型四 利用特殊数量关系构造特殊角转化角
【考点1 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角】
【典例1】（2021九上·无棣期末）如图，内接于，是的直径，，则的度数是（ ）
A．36ºB．34ºC．56ºD．78º
【答案】B
【解答】解：如图，连接
是的直径，
故答案为：B
【变式1-1】（2021九上·崂山期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=54°，则∠ABO的度数是（ ）
A．27°B．36°C．54°D．108°
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝54°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝108°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝36°，
故答案为：B．
【变式1-2】（2021九上·天桥期末）如图：点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数是（ ）
A．18°B．30°C．36°D．72°
【答案】C
【解答】∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB均对着
∴
故答案为：C
【变式1-3】（2021九上·西城期末）如图，点A，B，C在上，是等边三角形，则的大小为（ ）
A．60°B．40°C．30°D．20°
【答案】C
【解答】解：∵为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴=∠AOB =×60°=30°．
故答案为：C．
【变式1-4】（2021九上·休宁月考）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝48°，则∠OAB的度数为( )
A．24°B．30°C．50°D．60°
【答案】A
【解答】解：∵AC∥OB，
∴∠BOC＝∠ACO＝48°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO＝48°，
∵∠CAB＝∠BOC＝24°，
∴∠BAO＝∠OAC﹣∠CAB＝24°．
故答案为：A．
【变式1-5】（2021九上·衢江月考）如图，在中，，点在上，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵在⊙O中，，点D在⊙O上，∠CDB=25°，
∴∠AOB=2∠CDB=50°.
故答案为：B.
【考点2 构造圆内接四边形转化角】
【典例2】（2021九上·哈尔滨月考）如图，四边形ABCD内接于 ，如果它的一个外角 ，那么 的度数为（ ）
A．64°B．128°C．20°D．116°
【答案】B
【解答】∵四边形ABCD内接于
∴∠BAD+∠DCB=180°
∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠BAD=∠DCE=64°
∵∠BOD、∠BAD对着圆中同一段弧
∴∠BOD=2∠BAD=2×64°=128°
故答案为：B
【变式2-1】（2021九上·南开期中）如图，四边形 为 的内接四边形，若 ，则 等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°．
∵∠A=60°，
∴∠C=180°-60°=120°．
故答案为：C．
【变式2-2】（2021九上·禹城期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A．55°B．65°C．60°D．75°
【答案】B
【解答】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝ ∠BDC＝65°，
故答案为：B．
【变式2-3】（2021九上·无棣期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为( )
A．65°B．130°C．50°D．100°
【答案】C
【解答】∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．
故答案为：C．
【考点3 利用直径构造直角三角形转化角】
【典例3】（2021九上·梅里斯期末）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（ ）
A．32°B．58°C．64°D．116°
【答案】A
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠ABD＝58°，
∴∠A＝90°﹣58°＝32°，
∴∠BCD＝∠A＝32°．
故答案为：A．
【变式3-1】（2021九上·荆州月考）如图，是的直径，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵AB是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【变式3-2】（2021九上·越城期中）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝24°，则∠ABD＝（ ）
A．54°B．56°C．64°D．66°
【答案】D
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝24°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣24°＝66°.
故答案为：D.
【变式3-3】（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝ ．
【答案】13°
【解答】解：如图，连接DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是⊙O的直径，
∵点B是的中点，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，
故答案为：13°．
【考点4 利用特殊数量关系构造特殊角转化角】
【典例4】（2018•石家庄模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝5，AC＝5，则∠B的度数是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【答案】D
【解答】解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°．
Rt△ACD中，AD＝2r＝10，AC＝5．
根据勾股定理，得：CD＝＝5，
∴CD＝AD，
∴∠DAC＝30°，
∴∠B＝∠D＝90°﹣30°＝60°；
故选：D．
【变式4】（2021秋•无为市期中）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为（ ）
A．45°B．30°C．75°D．60°
【答案】D
【解答】解：连接OA，OB，过O作OD⊥AB于D，延长OD交⊙O于C，则∠ODA＝∠ODB＝90°，
∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD＝CD＝OC＝OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝120°，
∴∠APB＝AOB＝60°，
故选：D．
1．（2021九上·禹城期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A．55°B．65°C．60°D．75°
【答案】B
【解答】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝ ∠BDC＝65°，
故答案为：B．
2．（2021九上·温州月考）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠AOB的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．80°
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB=40°，
∴∠AOB=2∠ACB=80°.
故答案为：D
3．（2021九上·东阳月考）如图，在⊙O中，∠CBO＝45°，∠CAO＝15°，则∠AOB的度数是（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
【答案】B
【解答】解：连接OC，
∵OB＝OC＝OA，∠CBO＝45°，∠CAO＝15°，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∠OCA＝∠OAC＝15°，
∴∠ACB＝∠OCB﹣∠OCA＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°.
故答案为：B.
4．（2021九上·天门月考）如图，中，弦相交于点，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵，
∴，
∴.
故答案为：D.
5．（2021九上·鹿城期末）如图所示，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝58°，则∠C的度数为（ ）
A．23°B．26°C．29°D．32°
【答案】C
【解答】解：∵∠AOB和∠C都对 ，
∴∠C＝ ∠AOB＝ 58°＝29°.
故答案为：C
6．（2021九上·重庆月考）如图，已知在⊙O中，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上，且AC＝AB，若∠BCD＝26°，则∠ABC的度数为（ ）
A．26°B．27°C．28°D．32°
【答案】D
【解答】解：∵CD是直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD＋∠ADC＝90°，
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠B，
∵∠D＝∠B，
∴∠ACB＝∠D，
∴∠ACB＋26°＋∠D＝90°，
∴∠ACB＝32°，
∴∠ABC＝∠ACB＝32°，
故答案为：D.
7.（2021九上·龙沙期中）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【答案】A
【解答】∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：A．
8．（2021九上·泰山期末）如图，是⊙O的内接四边形，且，那么等于（ ）
A．125°B．120°C．110°D．130°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
∵
∴∠D=180°-∠A=180°-125°=55°，
由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=110°，
故答案为：C．
9．（2021九上·宜春期末）如图，AE是四边形ABCD外接圆的直径，，，则的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【答案】D
【解答】解：连接OC、OD，
∵∠B=50°，
∴∠AOC=2∠B=100°，
∵AD=CD，
∴，
∴∠AOD=∠COD= ∠AOC=50°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAE=（180°－50°）÷2=65°，
故答案为：D．
10．（2021九上·石景山期末）如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是菱形，则的度数为（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【答案】B
【解答】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC=∠AOC；
∠ADC=β；
四边形为圆的内接四边形，
α+β=180°，
∴，
解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，
故答案为：B．
11.（2021秋•泰安期末）如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E＝30°，∠F＝40°，则∠A＝（ ）
A．25°B．30°C．40°D．55°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝∠FBC，
∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠F，∠FBC＝∠A+∠E，
∴180°﹣∠A﹣∠F＝∠A+∠E，
则2∠A＝180°﹣（∠F+∠E）＝110°，
解得，∠A＝55°，
故选：D．
12．（2021•汉台区一模）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于（ ）
A．33°B．57°C．67°D．66°
【答案】B
【解答】解：连接CD，如图，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
而∠DBC＝33°，
∴∠D＝90°﹣33°＝57°，
∴∠A＝∠D＝57°．
故选：B．
13.（2022•凤山县模拟）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝50°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【答案】D
【解答】解：连接AD，
∵OA＝OD，∠AOD＝50°，
∴∠ADO＝＝65°．
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝115°，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝65°．
故选：D．
14．（2022•南宁一模）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝100°，则∠ABC＝（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【答案】D
【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，
∵∠AOC＝100°，
∴∠ADC＝∠AOC＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．
故选：D．
15.（2022•曲周县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（ ）
A．100°B．105°C．110°D．120°
【答案】B
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝45°，
∵∠BAD＝∠BCD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°．
故选：B．