人教版数学九下期末复习讲练专项06 相似三角形-射影定理综合应用（2种类型）（2份，原卷版+解析版）

这是一份人教版数学九下期末复习讲练专项06 相似三角形-射影定理综合应用（2种类型）（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版数学九下期末复习讲练专项06相似三角形-射影定理综合应用2种类型原卷版doc、人教版数学九下期末复习讲练专项06相似三角形-射影定理综合应用2种类型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
一、射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，
则有ＣD２＝ＢＤ•AD、
ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或
ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。（证明略）
二、变式推广
１．逆用 如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2））
如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

【类型1：直角三角形中射影定理】
【典例1】（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．
（1）求证△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵＝，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝．
【变式1-1】（2022•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（ ）
A．4B．4C．4D．
【答案】A
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝，即＝，
解得：CD＝4，
故选：A．
【变式1-2】（2021秋•漳州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，CD＝4，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
∴△BDA∽△ADC，
∴＝，
∵AD＝3，CD＝4，
∴＝，
解得：BD＝，
故选：A．
【变式1-3】（2020秋•梁平区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（ ）
A．AC2＝AD•ABB．CD2＝CA•CBC．CD2＝AD•DBD．BC2＝BD•BA
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴AC2＝AD•AB，CD2＝DA•DB，BC2＝BD•BA．
故选：B．
【变式1-4】（2015•黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（ ）
A．3B．8C．D．2
【答案】A
【解答】解：连接CA、CD；
根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，
又∵所对的圆周角是∠CBA，
∵∠CBD＝∠CBA，
∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；
∴△CAD是等腰三角形；
过C作CE⊥AB于E．
∵AD＝4，则AE＝DE＝2；
∴BE＝BD+DE＝7；
在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：
BC2＝BE•AB＝7×9＝63；
故BC＝3．
故选：A．
【类型2：非直角三角形中射影定理】
【典例2】如图，已知∠A＝70°，∠APC＝65°，AC2＝AP•AB，则∠B的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝70°，∠APC＝65°，
∴∠ACP＝180°﹣70°﹣65°＝45°．
∵AC2＝AP•AB，
∴＝．
∵∠B＝∠B，
∴△BAC∽△CPA．
∴∠B＝∠ACP＝45°．
故选：A．
【变式2-1】如图，在△ABC中，点D在边AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝3，BD＝4，则AC的长为（ ）
A．2B．C．5D．2
【答案】B
【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∵AD＝3，BD＝4，
∴AB＝AD+BD＝3+4＝7，
∴，
∴AC＝或﹣（舍去），
故选：B．
【变式2-2】如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴，
∴AC2＝2×6＝12，
∴AC＝2．
【典例3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC边上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，则BC的长为 ．
【答案】8
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠C，
∵∠C+∠CDE＝45°
∴2∠C+∠CDE＝90°，
∴∠ADB+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
作DF⊥BC于F，如图所示：
则BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，
∴＝＝＝，
设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，
∴BC＝8x，DE＝x，
∴CD＝BD＝2x，AC＝6+2x，
∵∠DFC＝∠A＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDF∽△CBA，
∴＝，即＝，
解得：x＝，
∴BC＝8；
故答案为：8．
【变式3】如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝ ．
【答案】2
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴BD2＝AB2﹣AD2＝142﹣42＝180，
设BE＝9x，EC＝2x，
∵DE⊥BC，
∴BD2＝BE•BC，
即180＝9x（9x+2x），解得x2＝，
∵CD2＝CE•CB＝2x•11x＝22×＝40，
∴CD＝2．
1.（2022秋•义乌市月考）如图，小明在A时测得某树的影长为3m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）m．
A．B．C．6D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝3m；
∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠F，
∴△EDC∽△CDF，
∴＝，即DC2＝ED•FD＝2×3＝6，
解得CD＝m．
故选：B．
2．（2012•麻城市校级自主招生）如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，则⊙O的半径是（ ）
A．3B．4C．4D．2
【答案】D
【解答】解：延长EC交圆于点F，连接DF．
则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴．则DE＝4．
在直角△ADF中，根据射影定理，得
EF＝＝4．
根据勾股定理，得DF＝＝4，
则圆的半径是2．
故选：D．
3．（2022春•周村区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝12，则AD的长为 ．
【答案】6
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AD2＝CD•BD＝36，
∴AD＝6，
故答案为：6．
4．（2021春•汉阴县期中）如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝ cm．
【答案】3
【解答】解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x（3x+x），即36＝12x2，x2＝3；
由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．
5．（2022•武汉模拟）在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于点E，G为垂足．若CG＝CD＝1，则AC的长是 ．
【答案】
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AGB＝90°＝∠ABC，
∵∠BAG＝∠CAB，
∴△ABG∽△ACB，
∴＝，
∴AG•AC＝AB2（射影定理），
即（AC﹣1）•AC＝12，
解得：AC＝或AC＝（不合题意舍去），
即AC的长为，
故答案为：．
6．（2021秋•滦州市期中）已知关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若CD是AB边上的高，AC＝2，AD＝1，求BD的长．
【解答】解：（1）∵两根相等，
∴可得：4（a+b）2﹣4（c2+2ab）＝0，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）由（1）可得：AC2＝AD×AB，
∵AC＝2，AD＝1，
∴AB＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝3．
7．如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADC+∠BAC＝180°，AB＝4，BC＝8，求BD的长．
【解答】解：∵∠ADC+∠BAC＝180°，∠ADC+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝∠BAC，
又∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴＝，
∴BA2＝BD•BC，
∵AB＝4，BC＝8，
∴BD＝2．
即AC⋅CF＝CB⋅DF．
8．（盐城校级模拟）【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；
【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若DE＝2CE，求OF的长．
【解答】【问题情境】
证明：如图1，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
而∠CAD＝∠BAC，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC：AB＝AD：AC，
∴AC2＝AD•AB；
【结论运用】
（1）证明：如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，
∴BC2＝BO•BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2＝BF•BE，
∴BO•BD＝BF•BE，
即＝，
而∠OBF＝∠EBD，
∴△BOF∽△BED；
（2）方法一：∵BC＝CD＝6，
而DE＝2CE，
∴DE＝4，CE＝2，
在Rt△BCE中，BE＝＝2，
在Rt△OBC中，OB＝BC＝3，
∵△BOF∽△BED，
∴＝，即＝，
∴OF＝．
方法二：将△OFC绕O顺时针旋转90度得到△OGB，如图3，
由△BOF∽△BED得到∠OFB＝45°，
∴∠OGB＝∠OFC＝45°+90°＝135°，
∵OG＝OF，
∴△OGF为等腰直角三角形，
∴∠OGF＝45°，
∴G点在BE上，
∵BG＝CF＝，
∴GF＝，
∴OF＝GF＝．