人教版数学七下期末考点复习第03讲 实数最常考点专题复习（2份，原卷版+解析版）

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考点一 开方运算
典例1（2021秋•卫辉市月考）求下列各数的平方根和算术平方根：
（1）49；（2）；（3）2；（4）0.36；（5）（）2．
思路引领：根据平方根和算术平方根的定义即可得到结论．
解：（1）49的平方根是±7，算术平方根是7；
（2）的平方根是±；算术平方根是；
（3）2的平方根是±；算术平方根是；
（4）0.36的平方根是±0.6；算术平方根是0.6；
（5）（）2的平方根是±；算术平方根是．
解题秘籍：本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟记定义是解题的关键．
典例2（2021秋•甘州区校级月考）求下列各数的立方根：
（1）﹣27；
（2）；
（3）0.216；
（4）﹣5．
思路引领：根据立方根的定义逐个计算可得．
解：（1）∵（﹣3）3＝﹣27，
∴﹣27的立方根为﹣3，即3；
（2∵（）3，
∴的立方根为，即；
（3）∵0.63＝0.216，
∴0.216的立方根为0.6，即0.6；
（4）﹣5的立方根为．
解题秘籍：本题主要考查立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．
典例3（2022春•上杭县期中）求下列各式中x的值：
（1）25（x2﹣1）＝24；
（2）（x﹣3）3＝﹣32．
思路引领：（1）根据等式的性质以及算术平方根的定义进行计算即可．
解：（1）两边都除以25 得，
x2﹣1，
即x2，
由平方根的定义得，x±；
（2）两边都乘以2得，（x﹣3）3＝﹣64，
∵（﹣4）3＝﹣64，
∴x﹣3＝﹣4，
即x＝﹣1．
解题秘籍：本题考查平方根，立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
例4（2022春•綦江区校级月考）求下列各式的值：
（1）；
（2）；
思路引领：（1）首先计算开平方和开立方，然后计算减法，求出算式的值即可．
（2）首先计算乘方、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：（1）
＝2﹣3
＝﹣1．
（2）
＝﹣9+（3）﹣2
＝﹣9+32
＝﹣8．
解题秘籍：此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
针对训练1
1．（2022春•工业园区校级月考）求下列各数的算术平方根．
（1）169；
（2）；
（3）0.09；
（4）（﹣3）2．
思路引领：利用求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，可以借助乘方运算来寻找一个非负数的算术平方根．
解：（1）∵132＝169，
∴169的算术平方根是13，
即13；
（2）∵（）2，
∴的算术平方根是，
即；
（3）∵0.32＝0.09，
∴0.09的算术平方根是0.3，
即0.3；
（4）∵32＝9＝（﹣3）2，
∴（﹣3）2的算术平方根是3，
即3．
解题秘籍：本题考查算术平方根，解题的关键是明确求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算．
2．（2017秋•商水县期中）（1）求出下列各数：①2的平方根；②﹣27的立方根；③的算术平方根．
（2）将（1）中求出的每个数表示在下图中的数轴上；
（3）将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
思路引领：（1）利用平方根、立方根定义计算即可求出；
（2）将各数表示在数轴上即可；
（3）按照从小到大顺序排列即可．
解：（1）①2的平方根是±；
②﹣27的立方根是﹣3；
③4，4的算术平方根是2；
（2）数轴表示，如图所示：
（3）﹣32．
解题秘籍：此题考查了实数大小比较，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2022春•崇川区校级期中）求下列各式中x的值：
（1）（x﹣5）2﹣9＝0；
（2）64（x﹣1）3＝27．
思路引领：（1）应用平方根的计算方法进行求解即可得出答案；
（2）应用立方根的计算方法进行求解即可得出答案．
解：（1）（x﹣5）2＝9，
x﹣5±3，
x﹣5＝3，x﹣5＝﹣3，
x＝8或x＝2；
（2）（x﹣1）3，
x﹣1，
x﹣1，
x．
解题秘籍：本题主要考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的计算方法进行求解是解决本题的关键．
考点二 实数的有关概念
典例5（2021春•蕲春县期中）有6个数：0.1427，（﹣0.5）3，3.1416，，﹣2π，0.1020020002……若无理数的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，求||的值．
思路引领：由于无理数就是无限不循环小数，由此即可判定无理数x的值，根据整数的定义和非负数的定义即可判定y、z的值，然后即可求解．
解：无理数有：﹣2π，0.1020020002……，则x＝2；
没有整数：则y＝0；
非负数有：0.1427，3.1416，，0.1020020002……，共4个；
则z＝4．
则||＝|0+2|＝2．
解题秘籍：本题主要考查实数的分类．无理数和有理数统称实数．关键是搞清无理数，整数，非负数等概念．
针对训练2
4．在0，，﹣0.101001，π，中，无理数的个数是 ．
思路引领：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：0是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
﹣0.101001是有限小数，属于有理数；
2是整数，属于有理数；
π是无理数，无理数共有1个．
故答案为：1．
解题秘籍：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
5．试求，，﹣3，，0.808008…（相邻两个8之间的0的个数逐次加1）中的有理数与无理数的个数之积．
思路引领：根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得有理数的个数，根据无理数是无限不循环小数，可得无理数的个数，根据有理数的乘法，可得答案．
解：，﹣3，是有理数，故有理数的个数是3，
，0.808008…（相邻两个8之间的0的个数逐次加1）是无理数，故无理数的个数是2，
故有理数与无理数的个数之积是3×2＝6．
解题秘籍：本题考查了实数，先判断有理数、无理数，再进行有理数的乘法运算．
考点三 实数的估算
例6（2022春•岳池县期中）数学活动课上，张老师说：“是一个无限不循环小数，同学们，你能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用（2）表示它的小数部分．”张老师说：“晶晶同学的说法是正确的，因为4＜5＜9，所以23，所的整数部分是2，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．”接着张老师出示了以
下问题，请聪明的你给出正确答案．
（1）介于连续的两个整数a和b之间，且a＜b，那么a＝ ，b ；
（2）x是2的小数部分，y是1的整数部分，则x＝ ，y＝ ；
（3）已知：4x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．
思路引领：（1）估算无理数的大小即可得出答案；
（2）估算无理数的大小即可得出答案；
（3）估算无理数的大小即可得出x，y的值，代入代数式求值即可．
解：（1）∵16＜17＜25，
∴45，
∴a＝4，b＝5，
故答案为：4，5；
（2）∵45，
∴62＜7，31＜4，
∴x2﹣64，y＝3，
故答案为：4，3；
（3）∵916，
∴34，
∴7＜48，
∴x＝7，y＝473，
∴x﹣y＝7﹣（3）
＝73
＝10．
解题秘籍：本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
针对训练3
6．（2018秋•西湖区校级月考）在学习《实数》过节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来计算出一系列越来越接近的方法，请回答如下问题：
（1）的连续两个整数a和b之间，a＜b，那么a＝ ；b＝ ．
（2）我们知道，1.41.5，请类似计算在哪两个近似数之间（精确到0.1）？
（3）若x是的整数部分，y是的小数部分，求x的平方根．
思路引领：（1）根据算术平方根的定义解答即可；
（2）从3.1的平方开始计算，发现3.3的平方＝10.89，3.4的平方等于11.56，11在两数之间，进而得到的近似值；
（3）按不等式性质1得到的近似值，则整数部分为4，小数部分即原数减去整数部分，再代入求值．
解：（1）∵，
∴，
∴a＝3，b＝4．
故答案为：3；4
（2）∵3.12＝9.61，3.22＝10.24，3.32＝10.89，3.42＝11.56
∴3.33.4
（3）∵1.41.5，3.33.4
∴4.74.9
∴x＝4，y4
∴（﹣4）4＝256．
∴±，
∴x的平方根为±16．
解题秘籍：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“逐步逼近”是估算的一般方法，也是常用方法．
7．（2017秋•景泰县校级期中）在两个连续整数a和b之间，ab，那么a、b的值分别是 ．
比较大小：（1）3 ； （2）7 6；
2的相反数是 ，绝对值是 ．
思路引领：首先找出与10邻近的两个完全平方数，则这两个数应该是9和16，即，由此可求得a、b的值．
根据底数越大幂越大，可得答案；
根据相反数的定义，绝对值的性质即可求解．
解：由于3，4，
∴；
∴a＝3，b＝4．
（1）∵3，9＜10，
∴3；
（2）∵7，6，
294＞252，
∴76；
2的相反数是2，绝对值是 2．
故答案为：3，4；＜；＞；2，2．
解题秘籍：此题主要考查了无理数的估算能力，用估算的方法求无理数的近似值，主要是依据两个公式：（1）a（a≥0）；（2）a （a为任意数）．熟记这两个公式是解答此类题的关键．同时考查了实数大小比较，利用底数越大幂越大是解题关键．
考点四 实数与数轴的结合
典例7（2022•槐荫区校级模拟）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．﹣2B．0C．﹣2aD．2b
思路引领：根据化简，然后去绝对值化简即可．
解：根据数轴知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0．
∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+1）+b﹣1+a﹣b
＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b
＝﹣2．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，掌握是解题的关键．
针对训练4
8．（2022春•长沙期中）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是﹣27的立方根，c是的相反数．
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）先化简，再求值：．
思路引领：（1）根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答；
（2）根据题意可得c＞0，a﹣b＞0，a﹣c＜0，然后先化简各式，再进行计算即可解答．
解：（1）由题意得：
a＝﹣2，b＝﹣3，，
故答案为：﹣2，﹣3，31；
（2）由题意可得：
c＞0，a﹣b＞0，a﹣c＜0，
∴
＝|c|+a﹣b﹣（a﹣c）
＝c+a﹣b﹣a+c
＝2c﹣b，
当b＝﹣3，时，
原式＝2×（31）﹣（﹣3）
＝62+3
＝61．
解题秘籍：本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．（2022春•孝南区期中）如图，a，b，c是数轴上A，B，C三点所对应的实数，试化简：|a﹣b||b﹣c|．
思路引领：直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
解：由数轴可得：c＞0，a﹣b＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，
故原式＝c﹣（a﹣b）+a+b﹣（c﹣b）
＝c﹣a+b+a+b﹣c+b
＝3b．
解题秘籍：此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
10．（2021秋•兴庆区校级期中）在数轴上表示实数的点如图所示，化简的结果为 3 ．
思路引领：直接利用数轴得出a的取值范围，再利用二次根式以及绝对值的性质化简得出答案．
解：由数轴上a的位置可得：2＜a＜5，
则a﹣5＜0，a﹣2＞0，
故原式＝5﹣a+a﹣2
＝3．
故答案为：3．
解题秘籍：此题主要考查了实数与数轴，正确得出a的取值范围再化简是解题关键．
考点6 实数对运算
典例8（2022春•随州期中）计算下列各式：
①
②
思路引领：（1）利用算术平方根和立方根计算即可．
（2）先利用绝对值的定义去绝对值，再合并运算．
解：①
＝14﹣（﹣4）
＝1+2+4
＝7．
②
（1）
1

＝21．
解题秘籍：本题考查实数的运算、绝对值和算术平方根，注意细心运算，不要出错．
针对训练6
11．（2022春•西华县期中）计算：
（1）；
（2）3||；
（3）23÷|﹣2|．
思路引领：（1）首先计算开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（2）首先计算绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（3）首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后计算除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：（1）
＝0.2+2
＝2．
（2）3||
＝3（）
＝3
＝4．
（3）23÷|﹣2|
＝2﹣8÷2+（）
＝2﹣4+（）
．
解题秘籍：此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
12．（2020秋•孟津县期中）计算：．（结果精确到0.01，π≈3.142，
思路引领：直接利用已知数据，进而去绝对值，再结合π≈3.142，代入计算得出答案．
解：∵1.167﹣1.732＝﹣0.565＜0，
∴||≈0.565，
∴原式0.565
＝1.571+0.565
＝2.136
≈2.13．
解题秘籍：此题主要考查了近似数和实数的性质，正确去绝对值是解题关键．
专题提优训练
1．（2021•淄博）设m，则（ ）
A．0＜m＜1B．1＜m＜2C．2＜m＜3D．3＜m＜4
思路引领：先估算出的范围，再求1的范围，最后求的范围，即可解答．
解：∵4＜5＜9，
∴23，
∴11＜2，
∴1，
故选：A．
解题秘籍：本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
2．（2021•湖州）已知a，b是两个连续整数，a1＜b，则a，b分别是（ ）
A．﹣2，﹣1B．﹣1，0C．0，1D．1，2
思路引领：先估算出的范围，再得到1的范围即可．
解：∵1＜3＜4，
∴12，
∴01＜1，
∴a＝0，b＝1．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
3．（2009•江西）写出一个大于1且小于4的无理数 ．（答案不唯一）
思路引领：由于开方开不尽的数是无理数，然后确定的所求数的范围即可求解．
解：∵1，4，
∴只要是被开方数大于1而小于16，且不是完全平方数的都可．
同时π也符合条件．
解题秘籍：此题主要考查了无理数的大小的比较，其中无理数包括开方开不尽的数，和π有关的数，有规律的无限不循环小数．
4．（2021秋•沈北新区期中）化简|1|+1＝ ．
思路引领：直接利用绝对值的性质化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．
解：原式1+1
．
故答案为：．
解题秘籍：此题主要考查了实数的性质，正确去绝对值是解题关键．
5．（2021春•思明区校级期中）一个立方体的棱长是4cm，如果把它的体积扩大为原来的8倍，则扩大后的立方体的棱长是 cm．
思路引领：先求出立方体的棱长是4cm的体积，再求出新的体积，进而求出扩大后的立方体的棱长．
解：∵立方体的棱长是4cm，
∴它的体积：64（cm3）；
∴它的体积扩大为原来的8倍：512（cm3）；
∴扩大后的立方体的棱长是：8（cm），
故答案为：8．
解题秘籍：本题主要考查了立方根的概念的运用，掌握立方根的应用，根据题意求出数值是解题关键．
6．（2022春•天河区校级期中）阅读材料，解答问题：材料：∵即：23，∴的整数部分为2，小数部分为2．问题：已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
求（1）的小数部分为 ．
（2）求2a+b﹣c的平方根．
思路引领：（1）估算无理数的大小即可得出答案；
（2）根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，根据无理数的估算得到c的值，代入代数式求值，最后求平方根即可．
解：（1）∵，
∴34，
∴的小数部分是3；
故答案为：3；
（2）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3，
∴2a+b﹣c＝10+2﹣3＝9，
∴9的平方根为±3．
解题秘籍：本题考查了估算无理数的大小，平方根，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
7．（2022春•容县期中）求下列各式中的x．
（1）x2﹣121＝0；
（2）2（x+1）3+16＝0．
思路引领：（1）根据平方根的定义即可求出答案．
（2）根据立方根的定义即可求出答案．
解：（1）x2﹣121＝0，
x2＝121，
x＝±11．
（2）2（x+1）3+16＝0．
2（x+1）3＝﹣16，
（x+1）3＝﹣8，
x+1＝﹣2，
x＝﹣3．
解题秘籍：本题考查平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．
8．（2020秋•温江区校级月考）已知a，b是有理数，若，求ab的平方根．
思路引领：根据二次根式和分式有意义的条件得出，据此可得a＝﹣2，此时b＝﹣4，再根据平方根的定义求解可得．
解：若要使有意义，
则，
解得a＝﹣2，此时b＝﹣4，
则±．
解题秘籍：本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不能为零及平方根的定义．
9．（2022春•长乐区期中）计算：
（1）；
（2）|2|（1）．
思路引领：（1）首先计算开平方和开立方，然后计算加法，求出算式的值即可．
（2）首先计算绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：（1）
＝﹣4+（﹣5）
＝﹣9．
（2）|2|（1）
＝2
＝23
＝5．
解题秘籍：此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．