人教版数学七下期末考点复习第09讲 二元一次方程组中的新定义题型（2份，原卷版+解析版）

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类型一 “新运算”型专题
典例1 （2021春•万山区期中）定义新运算：，其中，是常数，已知，；求的值？
针对训练1
1．（2021•兰山区二模）对于实数，我们定义一种新运算（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，例如，时，．若，，则 ．
2．（2021春•蒙阴县期末）对于实数，，定义运算“”： ，例如：，因为，所以．若，是二元一次方程组的解，则 ．
3．（2022春•龙游县月考）定义运算“”，规定，其中，为常数，且，，则 ．
4．（2021春•宁波期末）对，定义一种新运算，规定：，（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则 ；当时，，，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ．
5．（2022春•卫辉市期中）对于、我们定义一种新运算“※”：※，其中、类为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算．已知：5※、3※，求4※3的值．
类型二 “新方程”型
典例2 （2022春•越秀区校级期中）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程” 化为，其“完美值”为．
（1）求“雅系二元一次方程” 的“完美值”；
（2）是“雅系二元一次方程” 的“完美值”，求的值；
（3）是否存在，使得“雅系二元一次方程” 与是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．
针对训练2
6．（2021春•福州期中）把（其中、是常数，是未知数）这样的方程称为“中雅一元一次方程”，其中“中雅一元一次方程”的的值称为“中雅一元一次方程”的“卓越值”．例如：“中雅一元一次方程” ，其“卓越值”为．
（1）是“中雅一元一次方程” 的“卓越值”，求的值；
（2）“中雅一元一次方程” ，为常数）存在“卓越值”吗？若存在，请求出其“卓越值”，若不存在，请说明理由；
（3）若关于的“中雅一元一次方程” 的“卓越值”是关于的方程的解，求此时符合要求的正整数，的值．
类型三 “新概念”型
典例3 （海淀区校级期末）新定义，若关于x，y的二元一次方程组①的解是，关于x，y的二元一次方程组②的解是，且满足||≤0.1，||≤0.1，则称方程组②的解是方程组①的模糊解，关于x，y的二元一次方程组的解是方程组的模糊解，则m的取值范围是 ．
针对训练3
7．（2021秋•海淀区校级期末）对于数轴上的点A和正数r，给出如下定义：点A在数轴上移动，沿负方向移动r个单位长度后所在位置点表示的数是x，沿正方向移动r个单位长度后所在位置点表示的数是y，x与y这两个数叫做“点A的r对称数”，记作D（A，r）＝{x，y}，其中x＜y．
例如：原点O表示0，原点O的1对称数是D（O，1）＝{﹣1，1}．
（1）若点A表示2，则点A的4对称数D（A，4）＝{x，y}，则x＝ ，y＝ ；
（2）若D（A，r）＝{﹣3，11}，求点A表示的数及r的值；
（3）已知D（A，5）＝{x，y}，D（B，3）＝{m，n}，若点A、点B从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点A的速度是点B速度的2倍，当2（y﹣n）＝3（x﹣m）时，请直接写出点A表示的数．
8．（赣县区期末）我们定义：若整式M与N满足：M+N＝k（k为整数），我们称M与N为关于k的平衡整式．例如，若2x+3y＝4，我们称2x与3y为关于4的平衡整式．
（1）若2a﹣5与4a+9为关于1的平衡整式，求a的值；
（2）若3x﹣10与y为关于2的平衡整式，2x与5y+10为关于5的平衡整式，求x+y的值．
类型四 定义新的解题思想或方法
典例4（2019春•朝阳区期中）定义：在解方程组时，我们可以先①+②，得x+y＝1，再②﹣①，得x﹣y＝9，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法．
（1）用轮换对称解法解方程组，得 ；
（2）如图，小强和小丽一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为32cm，小丽所搭的“小树”高度为31cm，设每块A型积木的高为xcm每块B型积木的高为ycm，求x与y的值．
针对训练4
9．（2022春•西城区校级期中）有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数，满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．小明在做题过程仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，发现本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
请同学们运用这样的思想解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）对于实数，，定义新运算：※，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3※，4※，那么求1※1的值．
类型五 阅读材料题型中的新定义
典例5（2019•南岸区校级三模）阅读下列材料，回答问题：
线性方程组是指各个方程未知数的次数均为一次的方程组．对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，最早的记载见公元初《九章算术》方程章中我们初中学习的二元一次方程组：是其中一种．
定义：可化为其中一个未知数的系数都为1，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关线性方程组” ，其中，称为该方程组的“相关系数”．
（1）若关于，的方程组可化为“相关线性方程组”，则该方程组的解为
（2）若某“相关线性方程组”有无数多组解，求该方程组的两个相关系数之和；
（3）已知关于，的“相关线性方程组” 的未知数的值为整数，试写出符合题意的的几个值．
针对训练5
10．（2019秋•九龙坡区校级月考）阅读下列材料并解决问题
定义：对于任意一个实数R，R的干数m是与R最接近的两个整数中较小的一个整数，R的支数n是R减去R的干数m之差，即n＝R﹣m
例如：实数2.07，因为与2.07最接近的两个整数是2和3，且2小于3，所以2.07的干数m＝2，2.07的支数n＝2.07﹣2＝0.07；
实数﹣1.72，因为与﹣1.72最接近的两个整数是﹣1和﹣2，且﹣2小于﹣1，所以﹣1.72的干数m＝﹣2，﹣1.72的支数n＝﹣1.72﹣（﹣2）＝0.28相关结论：m是一个整数，n的取值范围是0≤n＜1．
（1）实数10.8的干数m＝ ，实数的支数n＝ ．
（2）某实数的干数是x，支数是y，且x+3y＝0.5，求这个实数．
11．（2019秋•锦江区校级期末）【阅读】
将九个数分别填在行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”，下面的三个图（图都是满足条件的“和幻方”
【探究】
（1）若图2为“和幻方”，则 ， ， ．
（2）若图3为“和幻方”，请通过观察上图的三个幻方，试着用含，的代数式表示，并说明理由．
（3）若图4为“和幻方”，且为整数，试求出所有满足条件的整数的值．
专题提提优训练
1．（2021春•丹江口市期中）对于、定义一种新运算“※”：※，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：2※，1※，求5※3的值．
2．（2021•唐山一模）对于实数、，定义关于“※”的一种运算：※．
例如1※．
（1）求4※的值；
（2）若※，※，求和的值．
3．（2021春•广饶县期中）对于任意实数，，定义关于“”的一种运算如下：．例如．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值．
4．（2020春•沙坪坝区校级月考）请阅读下列材料，并解决相关的问题：
对于任意一个三位数，如果个位上的数字与十位上的数字之和等于百位上数字的两倍．则称这个三位数为“均衡数”．
（1）请直接写出200以内的“均衡数”；
（2）如果一个三位数，，，，为自然数），规定为这个三位数的“匀称值”，求出“匀称值”为整数的“均衡数”的个数．
5．（2022春•江阴市期中）对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：．
（1）填空： （用含，的代数式表示）；
（2）若，．
①求与的值；
②若，，，求出此时的值．
6．（2020秋•海淀区校级期末）定义数对经过一种运算可以得到数对，并把该运算记作，，，其中，为常数）．例如，当，且时，，，．
（1）当且时， ；
（2）若，，，则 ， ；
（3）如果组成数对的两个数，满足二元一次方程，并且对任意数对经过运算又得到数对，求和的值．
7．（2020春•萧山区期中）阅读理解：已知实数，满足①，②，求和的值．仔细观察未知数系数之间的关系，如由①②可得，由①②可得．这就是通常说的“整体思想”．尝试利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．