人教版数学七下期末考点复习第10讲 不等式与不等式组最常考点归类复习（2份，原卷版+解析版）

这是一份人教版数学七下期末考点复习第10讲 不等式与不等式组最常考点归类复习（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版数学七下期末考点复习第10讲不等式与不等式组最常考点归类复习原卷版doc、人教版数学七下期末考点复习第10讲不等式与不等式组最常考点归类复习解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
考点一 一元一次不等式的定义和性质
典例1（2022春•凤翔县月考）下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）
①；②；③6x＞0；④2x+1＞3（x+2）；⑤﹣3＜2．
A．5个B．4个C．3个D．2个
思路引领：根据一元一次不等式的定义逐个判断即可．
解：＜1，不等式的左边不是整式，不是一元一次不等式，
﹣3＜2，没有未知数，不是一元一次不等式，
所以一元一次不等式有：，6x＞0，2x+1＞3（x+2），共3个，
故选：C．
解题秘籍：本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义是解此题的关键，注意：含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式．
典例2 （2022春•岑溪市期中）a、b都是实数，且a＜b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a+8＜b+8B．4﹣a＞4﹣bC．5a＜5bD．ax＞bx
思路引领：根据不等式的性质逐个判断即可．
解：A、在不等式a＜b的两边都加上8，不等号的方向不变，即a+8＜b+8，原变形正确，故本选项不符合题意；
B、在不等式a＜b的两边都乘﹣1，再加上4，不等号的方向改变，即4﹣a＞4﹣b，原变形正确，故本选项不符合题意；
C、在不等式a＜b的两边都乘5，不等号的方向不变，即5a＜5b，原变形正确，故本选项不符合题意；
D、在不等式a＜b的两边都乘x，不等号的方向改变，即ax＞bx，必须规定x＜0，原变形错误，故本选项符合题意；
故选：D．
解题秘籍：本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
迁移应用1
1．（2022春•西城区校级期中）在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝﹣2a+b．已知不等式x△k≤1的解集在数轴上如图表示，则k的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
思路引领：根据新运算法则得到不等式2x﹣k≥1，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值．
解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥﹣1，
∴﹣2x≤2．
∴﹣2x﹣1≤1．
∵a△b＝﹣2a+b，
∴x△k＝﹣2x+k，
∵x△k≤1，
∴﹣2x+k≤1，
∴﹣2x﹣1≤﹣k，
∴﹣k＝1．
∴k＝﹣1．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
考点二 解一元一次不等式
典例3（2022春•南岗区校级月考）解一元一次不等式，并将解集表示在数轴上．
（1）3（x+2）≤4（x﹣1）﹣7；
（2）﹣＞1．
思路引领：（1）不等式去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解集；
（2）不等式去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解集．
解：（1）去括号得：3x+6≤4x﹣4﹣7，
移项得：3x﹣4x≤﹣4﹣7﹣6，
合并得：﹣x≤﹣17，
解得：x＞17；
（2）去分母得：2（x+4）﹣3（x﹣1）＞6，
去括号得：2x+8﹣3x+3＞6，
移项合并得：﹣x＞﹣5，
解得：x＜5．
解题秘籍：此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
迁移应用2
2．（2022•滨江区二模）已知x，y，n满足，若y＜1，则n的取值范围是 ．
思路引领：下面方程减去上面方程，整理得出y＝2n﹣1，结合y＜1知2n﹣1＜1，解之即可．
解：，
②﹣①得：3y＝6n﹣3，
∴y＝2n﹣1，
∵y＜1，
∴2n﹣1＜1，
解得n＜1，
故答案为：n＜1．
解题秘籍：本题主要考查解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
3．（2022春•十堰期中）如果一元一次不等式（m+3）x＞m+3的解集为x＜1，则m的取值范围为 ．
思路引领：根据已知解集，利用不等式的基本性质求出m的范围即可．
解：∵一元一次不等式（m+3）x＞m+3的解集为x＜1，
∴m+3＜0，
解得：m＜﹣3．
故答案为：m＜﹣3．
解题秘籍：此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
4．（2021秋•邵阳县期末）不等式﹣3≤0的非负整数解共有 个．
思路引领：不等式去分母．合并后，将x系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即可．
解：﹣3≤0，
2x﹣1﹣6≤0，
2x≤7，
解得：x≤3.5，
则不等式的非负整数解为0，1，2，3共4个．
故答案为4．
解题秘籍：此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点三 一元一次不等式的应用
典例4（2022春•山西期中）为了响应国家低碳生活的号召，更多的市民放弃开车选择自行车出行，市场上的自行车销量增加，某种品牌自行车专卖店抓住商机，搞促销活动对原进价为800元，标价为1000元的某款自行车进行打折销售，若要保持利润率不低于5%，则这款自行车最多可打 折．
思路引领：设打x折时销售最优惠，根据“实际售价﹣进价≥进价×利润率”列不等式求解可得．
解：设打x折时销售最优惠，
根据题意，得：1000×﹣800≥800×5%，
解得：x≥8.4，
即最多打8.4折时销售最优惠，
故答案为：8.4．
解题秘籍：本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，依据利润率的定义列出不等式．
迁移应用4
5．（2022春•介休市期中）某品牌服装的进价为100元，出售时标价为120元，为促销，商店决定降价销售，但是要保证利润不低5%，那么商店最多降价 元出售．
思路引领：设该商品降价x元出售，利用利润＝售价﹣进价，结合要保证利润不低5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
解：设该商品降价x元出售，
依题意得：120﹣x﹣100≥100×5%，
解得：x≤15，
∴该商品最多降价15元出售．
故答案为：15．
解题秘籍：本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
6．（2022•新城区校级模拟）截止12月25日，全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过12亿剂次．为了满足市场需求，某公司计划投入10个大、小两种车间共同生产同一种疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂．
（1）该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？
（2）若投入的10个车间每周生产的疫苗不少于135万剂，则至少需要投入几个大车间生产疫苗？
思路引领：（1）设该公司每个大车间每周能生产疫苗x万剂，每个小车间每周能生产疫苗y万剂，根据“1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需要投入m个大车间生产疫苗，则投入（10﹣m）个小车间生产疫苗，根据投入的10个车间每周生产的疫苗不少于135万剂，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
解：（1）设该公司每个大车间每周能生产疫苗x万剂，每个小车间每周能生产疫苗y万剂，
依题意得：，
解得：．
答：该公司每个大车间每周能生产疫苗15万剂，每个小车间每周能生产疫苗10万剂．
（2）设需要投入m个大车间生产疫苗，则投入（10﹣m）个小车间生产疫苗，
依题意得：15m+10（10﹣m）≥135，
解得：m≥7．
答：至少需要投入7个大车间生产疫苗．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
7．（2022•南岗区校级开学）学校去商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．
（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元．
（2）学校再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，至多需要购买多少个甲种笔记本．
思路引领：（1）设购买一个甲种笔记本需要x元，一个乙种笔记本需要y元，根据“购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需要购买m个甲种笔记本，则购买（35﹣m）个乙种笔记本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过上一次总价的90%，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
解：（1）设购买一个甲种笔记本需要x元，一个乙种笔记本需要y元，
依题意得：，
解得：，
答：购买一个甲种笔记本需要10元，一个乙种笔记本需要5元．
（2）设需要购买m个甲种笔记本，则购买（35﹣m）个乙种笔记本，
依题意得：（10﹣2）m+5×80%（35﹣m）≤250×90%，
解得：m≤，
又∵m为整数，
∴m的最大值为21．
答：至多需要购买21个甲种笔记本．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
8．（2022春•鼓楼区校级期中）某学校在疫情期间的复学准备工作中，计划购买室内、室外两种型号的消毒液．已知每桶室外消毒液的价格比每桶室内消毒液的价格多30元，买3桶室内消毒液和2桶室外消毒液共需310元．
（1）求购买室内、室外两种型号消毒液各1桶分别需要多少元？
（2）根据学校实际情况，需购买室内、室外两种型号的消毒液共150个，总费用不超过1万元，问室内消毒液至少要购买多少桶？
思路引领：（1）设室内型号消毒液每桶的价格为x元，室外型号消毒液每桶的价格为y元，由题意：每桶室外消毒液的价格比每桶室内消毒液的价格多30元，买3桶室内消毒液和2桶室外消毒液共需310元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设室内消毒液要购买m桶，则室外消毒液要购买（150﹣m）桶，由题意：总费用不高于1万元，列出一元一次不等式，解不等式，取最小正整数解即可．
解：（1）设室内型号消毒液每桶的价格为x元，室外型号消毒液每桶的价格为y元，
由题意得：，
解得：，
答：室内型号消毒液每桶的价格为50元，室外型号消毒液每桶的价格为80元；
（2）设室内消毒液要购买m桶，则室外消毒液要购买（150﹣m）桶，
由题意得：50m+80（150﹣m）≤10000，
解得：m≥66，
答：室内消毒液至少要购买67桶．
解题秘籍：本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．
考点四 一元一次不等式组的定义与解集
典例5 （2022春•沙坪坝区校级期中）若关于x的不等式组有2个整数解，方程+＝1有非负数解，则满足条件的所有整数a的和是（ ）
A．14B．10C．9D．5
思路引领：先解不等式组，根据有2个整数解，确定a的取值1＜a≤5，根据方程+＝1有非负数解解得x＝3﹣a≥0，从而可得a的范围，并计算所有符合条件的和．
解：解不等式x﹣3≥a﹣3x，得：x≥，
解不能等式x+1，得：x＜4，
∵有2个整数解，
∴1＜≤2，
∴1＜a≤5，
解方程+＝1得：x＝3﹣a，
∵方程有非负数解，
∴3﹣a≥0，
解得：a≤，
∴1＜a≤，
则满足条件的所有整数a的和为2+3+4＝9，
故选：C．
解题秘籍：此题考查了一元一次方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
迁移应用4
9．（2022春•高新区校级月考）若关于x的不等式组，恰有3个正整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．3≤a＜4B．3≤a≤4C．2≤a＜3D．2≤a≤3
思路引领：不等式组整理后，根据正整数解恰有3个，确定出a的范围即可．
解：不等式组整理得：，
解得：﹣1＜x≤a，
∵不等式组恰有3个正整数解，即1，2，3，
∴3≤a＜4．
故选：A．
解题秘籍：此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
10．（2022春•裕安区校级期中）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3B．a＜﹣3C．a＞3D．a≥3
思路引领：先解不等式组，根据不等式组无解可得a﹣4≥3a+2，然后进行计算即可解答．
解：，
解不等式①得：x≤3a+2，
解不等式②得：x＞a﹣4，
∵不等式组无解，
∴a﹣4≥3a+2，
∴a≤﹣3，
故选：A．
解题秘籍：本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组无解是解题的关键．
11．（2022春•碑林区校级月考）若不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≥0C．m≤0D．m≤1
思路引领：分别解两个不等式，然后根据解集为x＞1即可确定m的取值范围．
解：，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得x＞m，
∵不等式组的解集是x＞1，
∴m≤1．
故选：D．
解题秘籍：本题考查解一元一次不等式组，解题关键是熟知解集公共部分的求法．
12．（2022春•渝北区月考）如果关于x的不等式组的解集为x＞4，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则不符合条件的整数m的有（ ）
A．﹣4B．2C．4D．10
思路引领：不等式组整理后，根据已知解集确定出m的范围，再由方程组的解为整数确定出满足题意m的值，判断即可．
解：不等式组整理得：，
∵不等式组的解集为x＞4，
∴m≤4，
方程组，
①﹣②得：（m﹣3）x＝7，
解得：x＝，
把x＝代入②得：+y＝1，
解得：y＝1﹣，
∵x与y都为整数，
∴m﹣3＝±1或±7，
解得：m＝4或2或10（舍去）或﹣4，
则m的值为4或2或﹣4，不符合条件的m＝10．
故选：D．
解题秘籍：此题考查了一元一次不等式组的整数解，二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
13．（2022春•长泰县期中）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4＜a＜﹣3B．﹣4＜a≤﹣3C．﹣4≤a＜﹣3D．﹣4＜a＜
思路引领：表示出不等式组的解集，由整数解共有5个，确定出a的范围即可．
解：不等式组整理得：，
∵不等式组整数解有5个，
∴a≤x≤，
∴a的范围为﹣4＜a≤﹣3．
故选：B．
解题秘籍：此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
考点五 解一元一次不等式组
典例6（2022春•如东县期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
（1）；
（2）．
思路引领：（1）先求出两个不等式的解集，再求其公共解；
（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
解：（1）解不等式3（x﹣2）≤x﹣4，得：x≤1，
解不等式﹣＜0，得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
；
（2）解不等式11﹣2（x﹣3）＞3（x﹣1），得：x＜4，
解不等式x﹣2＞，得：x＞，
∴不等式组的解集为＜x＜4，
．
解题秘籍：本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆圈表示．
迁移应用6
14．（2022春•高新区校级月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式组．
（1）试求出m的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2x﹣mx＜2﹣m的解集为x＞1．
思路引领：（1）方程组两方程相加减表示出x+y与x﹣y，代入不等式组计算即可求出m的范围；
（2）确定出不等式组的整数解，满足题意即可．
解：（1），
①+②得：3x+3y＝3+m，即x+y＝，
①﹣②得：x﹣y＝3m﹣1，
代入得：，
解得：0＜m≤3；
（2）∵2x﹣mx＜2﹣m的解集为x＞1，
∴2﹣m＜0，
解得：m＞2，
∵0＜m≤3，
∴2＜m≤3，
则整数m＝2或3．
解题秘籍：此题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
15．（2022春•淅川县期中）解不等式组．
（1）将不等式组的解集在数轴上表示出来；
（2）求出最小整数解与最大整数解的和．
思路引领：（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而表示在数轴上即可；
（2）结合不等式组解集得出其最小整数解与最大整数解，继而相加可得答案．
解：（1）解不等式①，得：x＞﹣4，
解不等式②，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
（2）该不等式的最小整数解为﹣3，最大整数解为2，
所以最小整数解与最大整数解的和为﹣3+2＝﹣1．
解题秘籍：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
考点六 用一元一次不等式组解决实际问题
典例7（2022春•雁塔区校级期中）为了给某“特殊儿童康复学校”筹集助学资金，“NIC青年公益平台”的同学们在校园内举办一场义卖活动．他们将自己设计制作的高新熊和抱枕作为主打商品，其中高新熊每个50元，抱枕每个100元．已知当天共售出两种商品200个，其中高新熊数量不少于抱枕数量的2倍．如果它们全部卖出后销售额不少于13200元，那么这次义卖售出的高新熊数量可能是多少个？
思路引领：设这次义卖售出x个高新熊，则售出（200﹣x）个抱枕，根据“售出高新熊数量不少于抱枕数量的2倍，且它们全部卖出后销售额不少于13200元”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出结论．
解：设这次义卖售出x个高新熊，则售出（200﹣x）个抱枕，
依题意得：，
解得：≤x≤136．
又∵x为正整数，
∴x可以为134，135，136．
答：这次义卖售出的高新熊数量可能是134个或135个或136个．
解题秘籍：本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
迁移应用7
16．（2022春•西城区校级期中）为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表：
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求a，b的值；
（2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你利用方程组或不等式组设计一个总费用最少的方案，并说明总费用最少的理由．
思路引领：（1）利用总价＝单价×数量，结合“购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆，设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车（10﹣m）辆，根据“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，即可得出m的值，再利用总价＝单价×数量，可求出各购买方案所需总费用，比较后即可得出结论．
解：（1）依题意得：，
解得：．
答：a的值为100，b的值为150．
（2）总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆，理由如下：
设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车（10﹣m）辆，
依题意得：，
解得：6≤m≤8．
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，8．
当m＝6时，10﹣m＝10﹣6＝4，购买总费用为100×6+150×4＝1200（万元）；
当m＝7时，10﹣m＝10﹣7＝3，购买总费用为100×7+150×3＝1150（万元）；
当m＝8时，10﹣m＝10﹣8＝2，购买总费用为100×8+150×2＝1100（万元）．
答：总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
17．（2022•龙马潭区模拟）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
（1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵则有哪几种购买方案？
思路引领：（1）设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，利用总价＝单价×数量，结合“购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，需要800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，利用总价＝单价×数量，结合“购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
解：（1）设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元．
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，
依题意得：，
解得：52≤m≤53，
又∵m为正整数，
∴m可以为52，53，
∴共有2种购买方案，
方案1：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；
方案2：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
18．（2022•凤山县模拟）某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1000元；若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．
（1）求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？
（2）若该文具店准备拿出1000元全部来购进这两种钢笔，考虑客户需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过160支，那么该文具店共有几种进货方案？
思路引领：（1）设购进甲种钢笔每支需x元，购进乙种钢笔每支需y元，根据“若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种钢笔的单价；
（2）设购进甲种钢笔m支，则购进乙种钢笔（100﹣m）支，根据“购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过160支，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m，（100﹣m）均为正整数，即可得出进货方案的数量．
解：（1）设购进甲种钢笔每支需x元，购进乙种钢笔每支需y元，
根据题意得：
解得．
答：购进甲种钢笔每支需5元，购进乙种钢笔每支需10元；
（2）设购进甲种钢笔m支，则购进乙种钢笔＝（100﹣m）支，
依题意得，
解得：150≤m≤160．
又∵m，（100﹣m）均为正整数，
∴m可以为150，152，154，156，158，160，
∴该文具店共有6种购进方案．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于m的一元一次不等式组．
19．（2022春•金水区校级月考）进入2022年，“一带一路”的朋友圈越来越大，为许多企业的发展带来了新的机遇．某公司生产甲、乙两种机械设备，每台乙种设备的成本是甲种设备的1.5倍；公司若生产4台甲种设备，6台乙种设备，共需花费资金52万元．
（1）甲、乙两种设备每台的成本分别是多少万元？
（2）若甲、乙两种设备每台的售价分别是6万元、10万元，公司决定生产两种设备共60台，计划销售后获利不低于126万元，且甲种设备至少生产55台，则该公司有哪几种生产方案？
思路引领：（1）设甲种设备每台的成本x万元，乙种设备每台的成本y万元，根据“每台乙种设备的成本是甲种设备的1.5倍；生产4台甲种设备，6台乙种设备，共需花费资金52万元”列方程组，求解即可；
（2）设甲种设备生产m台，则乙种设备生产（60﹣m）台，根据“获利不低于126万元，且甲种设备至少生产55台”列不等式，求出m取值范围即可确定生产方案．
解：（1）设甲种设备每台的成本x万元，乙种设备每台的成本y万元，
根据题意，得，
解得，
∴甲种设备每台的成本4万元，乙种设备每台的成本6万元．
（2）设甲种设备生产m台，则乙种设备生产（60﹣m）台，
根据题意，得（6﹣4）m+（10﹣6）（60﹣m）≥126，
解得m≤57，
又∵m≥55，
∴m取整数：55，56，57．
∴有三种生产方案：
方案一：甲生产55台，乙生产5台；
方案二：甲生产56台，乙生产4台；
方案三：甲生产57台，乙生产3台．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的综合，根据给定的不等关系建立一元一次不等式是解决本题的关键．
考点提优训练
1．（2016春•罗平县期末）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．5+4＞8B．2x﹣1C．2x≤5D．﹣3x≥0
思路引领：根据一元一次不等式的定义进行选择即可．
解：A、不含有未知数，错误；
B、不是不等式，错误；
C、符合一元一次不等式的定义，正确；
D、分母含有未知数，是分式，错误．
故选：C．
解题秘籍：本题考查一元一次不等式的识别，注意理解一元一次不等式的三个特点：
①不等式的两边都是整式；
②只含1个未知数；
③未知数的最高次数为1次．
2．下面给出的不等式组中①②③④⑤，其中是一元一次不等式组的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
思路引领：根据两个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1次的，可得答案．
解：①是一元一次不等式组，故①正确；
②是一元一次不等式组，故②正确；
③是一元二次不等式组，故③错误；
④是一元一次不等式组，故④正确；
⑤是二元一次不等式组，故⑤错误；
故选：B．
解题秘籍：本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组．
3．（2021春•罗湖区校级期末）下列不等式一定成立的是（ ）
A．a≥﹣aB．3a＞aC．aD．a+1＞a
思路引领：根据不等式的两边都加（或减去）同一个整式，不等号的方向不变，可得答案．
解：A、a≤0时，a≤﹣a，故A错误；
B、a≤0时，3a≤a，故B错误；
C、a＜﹣1时，a＜，故C错误；
D、1＞0，1+a＞a，故D正确；
故选：D．
解题秘籍：本题考查了不等式的性质，熟记不等式得性质是解题关键．
4．下列说法中正确的是（ ）
A．y＝3是不等式y+4＜5的解
B．y＝3是不等式3y＜11的解集
C．不等式3y＜11的解集是y＝3
D．y＝2是不等式3y≥6的解
思路引领：先解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就能得到使不等式成立的未知数的值，即可作出判断．
解：A、不等式y+4＜5的解集是y＜1，则y＝3不是不等式y+4＜5的一个解；故本选项错误；
B、不等式3y＜11的解集是y＜，则y＝3是不等式3y＜11的解，故本选项错误；
C、不等式3y＜11的解集是y＜，故本选项错误；
D、不等式3y≥6的解集是y≥2，则y＝2不是不等式3y≥6的一个解；故本选项正确；
故选：D．
解题秘籍：本题考查了不等式的解集．不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
5．（2021春•冠县期末）若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝ ．
思路引领：根据一元一次不等式的定义可知m+1≠0，|m|＝1，从而可求得m的值．
解：∵（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，
∴m+1≠0，|m|＝1．
解得：m＝1．
故答案为：1．
解题秘籍：本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的特点是解题的关键．
6．若m＜n＜0，则的解集为 ．
思路引领：确定2m，2n，﹣2n在数轴上的位置，并表示出x＞2m，x＞﹣2n，x＜2n的解，即可求出不等式组的解集．
解：∵m＜n＜0，
∴x＞2m，x＞﹣2n，x＜2n在数轴上表示为：．
∴无解集，
故答案为：无解集．
解题秘籍：本题主要考查了不等式的解集，解题的关键是运用数轴表示出各不等式的解．
7．下列选项中，同时适合不等式x+5＜7和2x+2＞0的数是（ ）
A．3B．﹣3C．﹣1D．1
思路引领：不等式组成不等式组，解不等式组求得不等式组的解集即可得到结论．
解：，
由①得x＜2，
由②得x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜2，
故选：D．
解题秘籍：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．（2019春•阿荣旗期末）不等式＜1的正整数解为（ ）
A．1个B．3个C．4个D．5个
思路引领：首先利用不等式的基本性质解不等式，然后找出符合题意的正整数解．
解：解不等式得，x＜4，
则不等式＜1的正整数解为1，2，3，共3个．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
9．（2015•聊城）不等式x﹣3≤3x+1的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：不等式移项，再两边同时除以2，即可求解．
解：不等式得：x≥﹣2，其数轴上表示为：
故选：B．
解题秘籍：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
10．（2015•曲靖）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
思路引领：先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．
解：，
解得：．
故不等式组无解．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥，≤”要用实心圆点表示；“＜，＞”要用空心圆点表示．
11．解一元一次不等式：
（1）5x+15＞4x﹣13；
（2）5（x+1）﹣3x＞x+3；
（3）解不等式 x﹣，并把解集在数轴上表示出来．
思路引领：根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：（1）移项，得5x﹣4x＞﹣13﹣15，
合并同类项，得x＞﹣28；
（2）去括号，得5x+5﹣3x＞x+3，
移项，得5x﹣3x﹣x＞3﹣5，
合并同类项，得x＞﹣2；
（3）去分母，得6x﹣3x+2（x+1）＜6+（x+8），
去括号，得6x﹣3x+2x+2＜6+x+8，
移项，得6x﹣3x+2x﹣x＜6+8﹣2，
合并同类项，得4x＜12，
系数化为1，得x＜3．
将不等式的解集表示在数轴上如下：
．
解题秘籍：本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12．解不等式组：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
思路引领：（1）分别解出两个不等式组的解集，再根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集即可；
（2）分别解出两个不等式组的解集，再根据“同大取大”确定不等式组的解集即可；
（3）分别解出两个不等式组的解集，再根据“大大小小找不到”确定不等式组的解集即可；
（4）分别解出两个不等式组的解集，再根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集即可．
解：（1），
解①得x＞，
解②得x≤2，
故不等式组的解集为；
（2），
解①得x＞2，
解②得x＞4，
故不等式组的解集为x＞4；
（3），
解①得x≤﹣5，
解②得x＞3，
故不等式组无解；
（4），
解①得x≤4，
解②得x＞，
故不等式组的解集为．
解题秘籍：此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握确定不等式组解集的方法．
13．（广饶县校级月考）若代数式的值不大于代数式5k+1的值，求k的取值范围．
思路引领：根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
解：根据题意得：≤5k+1，
去分母得：3（2k+5）≤2（5k+1），
去括号得：6k+15≤10k+2，
移项合并得：4k≥13，
解得：k≥．
解题秘籍：此题考查了解一元一次不等式，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集．
14．求同时满足6x﹣1≥3x﹣3和＜的整数解．
思路引领：分别解出不等式6x﹣1≥3x﹣3和＜，然后即可求出符合条件的整数解．
解：由不等6x﹣1≥3x﹣3，解得x≥﹣，
由不等式＜，解得x＜1，
则x需要满足﹣≤x＜1，
因此其整数x为0．
解题秘籍：本题考查了一元一次不等式组的整数解，关键是先求出同时满足不等式组的解，再求整数解．
15．（2013•安顺）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是 a＞1 ．
思路引领：因为不等式的两边同时除以1﹣a，不等号的方向发生了改变，所以1﹣a＜0，再根据不等式的基本性质便可求出不等式的解集．
解：由题意可得1﹣a＜0，
移项得，﹣a＜﹣1，
化系数为1得，a＞1．
解题秘籍：本题考查了同学们解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
16．已知关于x，y的方程组（x＞0，y＜0）的解满足求a取值范围．
思路引领：先用含a的式子表示x与y，再结合x＞0，y＜0即可求解．
解：，
①+②得3x＝3+6a，
x＝1+2a，
由②得：y＝6a﹣2x
＝6a﹣2（1+2a）
＝4a﹣2，
∵x＞0，y＜0，
∴，
∴﹣．
解题秘籍：本题考查了解一元一次不等式组，二元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次不等式组的解法是解题的关键．
17．（2014春•巴中期中）已知关于x，y的方程组的解满足x+y＞0，则a的取值．
思路引领：方程组两方程相加，变形后表示出x+y，代入已知不等式计算即可求出a的范围．
解：，
①+②得：4（x+y）＝2+2a，即x+y＝，
代入x+y＞0得：＞0，
解得：a＞﹣1．
解题秘籍：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
18．已知关于x的不等式组的解集为﹣3＜x＜2，求a、b的值
思路引领：先解不等式组，再结合﹣3＜x＜2，即可求解．
解：，
由①得：x＞a+2，
由②得：x＜b﹣2，
∵﹣3＜x＜2，
∴a+2＝﹣3，b﹣2＝2，
∴a＝﹣5，b＝4，
∴a＝﹣5，b＝4．
解题秘籍：本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
19．（2013•成都模拟）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围．
思路引领：根据不等式组无解列出不等式计算即可得解．
解：由题意得：a+2≥3a﹣2，
解得a≤2．
解题秘籍：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
20．已知关于x的不等式组只有四个整数解，求a的取值范围．
思路引领：首先解不等式组，即可确定不等式组的整数解，即可确定a的范围．
解：不等式组整理得，
∵不等式组有四个整数解，
∴不等式组的整数解是：﹣2，﹣1，0，1．
则a的取值范围是：﹣3＜a≤﹣2．
解题秘籍：本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
21．（2020秋•黄石期末）某校计划安排初三年级全体师生参观黄石矿博园，现有36座和48座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用48座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过了30人；已知36座客车每辆租金400元，48座客车每辆租金480元．
（1）该校初三年级共有师生多少人参观黄石矿博园？
（2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．
思路引领：（1）设租36座的车x辆，则租48座的客车（x﹣1）辆．根据不等关系可列出一元一次不等式组，则可得出答案；
（2）根据（1）中求得的人数，进一步计算三种方案的费用：①只租36座客车；②只租48座客车；③合租两种车．再进一步比较得到结论即可．
解：（1）设租用36座客车x辆，
根据题意，得：，
解得：4＜x＜，
∵x为整数，
∴x＝5，
36x＝180，
答：该校初三年级共有师生180人参观黄石矿博园；
（2）方案①：租36座车5辆的费用：5×400＝2000（元）．
方案②：租48座车4辆的费用：4×480＝1920（元）；
方案③∵＝3…36，余下人数正好36座，
可以得出：租48座车3辆和36座车1辆的总费用：3×480+1×400＝1840（元）．
∵1840＜1920＜2000，
∴方案③：租48座车3辆和36座车1辆最省钱．
解题秘籍：本题考查了一元一次不等式组的应用．正确理解此题中的不等关系是解决此题的重点，特别注意要能够分别求得每一种方案的价钱，再作比较．
22．（2021秋•管城区校级期中）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，求超市在获得的利润的最大值．
思路引领：（1）根据“该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，根据总价＝单价×数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；
（3）设超市获得的利润为y元，根据总利润＝每千克的利润×销售数量可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润的最大值．
解：（1）依题意，得：
，
解得：．
答：m的值为10，n的值为14．
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，
依题意，得：，
解得：58≤x≤60．
∵x为正整数，
∴x＝58，59，60，
∴有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
（3）设超市获得的利润为y元，则y＝（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝2x+400．
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y取得最大值，最大值为2×60+400＝520．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用一次函数的性质，得出利润的最大值．
23．（2022春•永丰县期中）某服装店销售一批进价分别为200元、170元的A、B两款T恤衫，下表中是近两天的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两款T恤衫的销售单价；
（2）若该服装店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款T恤衫共30件，求A款T恤衫最多能采购多少件？
思路引领：（1）设A款T恤衫的销售单价为x元，B款T恤衫的销售单价为y元，根据总价＝单价×数量结合近两天的销售情况，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A款T恤衫采购了m件，则B款T恤衫采购了（30﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合总价不多于5400元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最大值即可得出结论．
解：（1）设A款T恤衫的销售单价为x元，B款T恤衫的销售单价为y元，
依题意，得：，
解得：，
答：A款T恤衫的销售单价为250元，B款T恤衫的销售单价为210元；
（2）设A款T恤衫采购了m件，则B款T恤衫采购了（30﹣m）件，
依题意，得：200m+170（30﹣m）≤5400，
解得：m≤10．
答：A款T恤衫最多能采购10件．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
A型
B型
价格（万元/台）
a
b
年载客量（万人/年）
60
100
销售时段
销售数量
销售收入
A
B
第一天
3件
5件
1800元
第二天
4件
10件
3100元