中考数学三轮冲刺练习回归教材重难点01 代数式规律题与代数式求值（2份，原卷版+解析版）

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本考点是中考三星高频考点，难度中等偏上，在全国部分地市的中考试卷中也多次考查。
（2022年广州卷第10题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（ ）
A．252B．253C．336D．337
【分析】根据图形特征，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此规律，得出第n个图形需要的小木棒根数即可．
【解答】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，
第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，
按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，
当8n﹣2＝2022时，
解得n＝253，
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形的变化规律，解决问题的关键是由特殊找到规律：第n个图形需要（8n﹣2）根小木棒是解题的关键．
代数式规律题是代数式章节衍生出的一类经典题型，可以说是贯穿整个初中的学习。而代数式求值问题也是初中数学中比较重要的内容，代数式包含整式、分式、根式三大部分，考察较多的是整式的求值。在解决代数式求值问题时，常用到的思想方法有整体思想、转化思想、方程思想等，个别综合性较高的问题对学生的逻辑思维能力要求也较高。因此，在复习代数式规律题和代数式求值问题时，一是要熟悉对应题型，掌握对应解决办法，二是要融合各思想方法，提高对综合题目的逻辑理解力。
本考点是中考四星高频考点，难度中等或偏上，在全国部分地市的中考试卷中也多次考查。
技法01：周期型规律题常见处理办法：
①.找出第一周期的几个数，确定周期数
②.算出题目中的总数和待求数
③.用总数÷周期数=m……n（表示这列数中有m个整周期，最后余n个）
④.最后余几，待求数就和每周期的第几个一样；
技法02：推理型规律题常见处理办法：
①依题意推出前3~4项规律的表达式；
②类推第N项表达式
技法03：代数式求值问题常用处理办法：
①变形已知条件，使其符合待求式中含字母部分的最简组合形式
②将待求式变形，使其成为含有上面最简组合式的表达式，
③代入未知最简组合形式部分的值，求出最后结果
代数式规律题
【中考真题练】
1．（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297B．301C．303D．400
【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数．
【解答】解：观察图形可知：
摆第1个图案需要4个圆点，即4+3×0；
摆第2个图案需要7个圆点，即4+3＝4+3×1；
摆第3个图案需要10个圆点，即4+3+3＝4+3×2；
摆第4个图案需要13个圆点，即4+3+3+3＝4+3×3；
…
第n个图摆放圆点的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，
∴第100个图放圆点的个数为：3×100+1＝301．
故选：B．
2．（2022•牡丹江）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【分析】根据给出的数据可以推算出第n个数是×（﹣1）n+1所以第12个数字把n＝12代入求值即可．
【解答】解：根据给出的数据特点可知第n个数是×（﹣1）n+1，
∴第12个数就是×（﹣1）12+1＝﹣．
故选：D．
3．（2022•玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（ ）
A．4B．2C．2D．0
【分析】分别计算红跳棋和黑跳棋过2022秒钟后的位置，红跳棋跳回到A点，黑跳棋跳到F点，可得结论．
【解答】解：∵红跳棋从A点按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，
∴红跳棋每过6秒返回到A点，
2022÷6＝337，
∴经过2022秒钟后，红跳棋跳回到A点，
∵黑跳棋从A点按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，
∴黑跳棋每过18秒返回到A点，
2022÷18＝112•••6，
∴经过2022秒钟后，黑跳棋跳到E点，
连接AE，过点F作FM⊥AE，
由题意可得：AF＝AE＝2，∠AFE＝120°，
∴∠FAE＝30°，
在Rt△AFM中，AM＝AF＝，
∴AE＝2AM＝2，
∴经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是2．
故选：B．
4．（2022•恩施州）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足+＝．则a4＝ ，a2022＝ ．
【分析】由题意可得an＝，即可求解．
【解答】解：由题意可得：a1＝2＝，a2＝＝，a3＝，
∵+＝，
∴2+＝7，
∴a4＝＝，
∵＝，
∴a5＝，
同理可求a6＝＝，•••
∴an＝，
∴a2022＝，
故答案为：，．
5．（2022•大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是 49 ．
【分析】从数字找规律，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
第一个图案中的“”的个数是：4＝4+3×0，
第二个图案中的“”的个数是：7＝4+3×1，
第三个图案中的“”的个数是：10＝4+3×2，
..．
∴第16个图案中的“”的个数是：4+3×15＝49，
故答案为：49．
6．（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是 （10，18） ．
【分析】根据第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n﹣1）个数即可得出答案．
【解答】解：∵第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n﹣1）个数，
∴99＝102﹣1在第10行倒数第二个，
第10行有：2×10﹣1＝19个数，
∴99的有序数对是（10，18）．
故答案为：（10，18）．
【中考模拟练】
1．（2023•云南模拟）有一组按规律排列的多项式：a﹣b，a2+b3，a3﹣b5，a4+b7，…，则第2023个多项式是（ ）
A．a2023+b4047 B．a2023﹣b4047 C．a2023+b4045 D．a2023﹣b4045
【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．
【解答】解：多项式的第一项依次是式：a，a2，a3，a4，…，
第二项依次，﹣b，b3，﹣b5，b7
得到第n个式子是：an+（﹣1）nb2n﹣1．
当n＝2023时，多项式为a2023﹣b4045．
故选：D．
2．（2023•德城区一模）已知整数a1，a2，a3，a4，……满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，……依此类推，则a2023的值为（ ）
A．﹣1011B．﹣1010C．﹣2022D．﹣2023
【分析】分别求出a2，a3，a4，a5，a6，a7的值，观察其数值的变化规律，进而求出a2023的值．
【解答】解：根据题意可得，
a1＝0，
a2＝﹣|a1+1|＝﹣1
a3＝﹣|a2+2|＝﹣1，
a4＝﹣|a3+3|＝﹣2，
a5＝﹣|a4+4|＝﹣2，
a6＝﹣|a5+5|＝﹣3，
a7＝﹣|a6+6|＝﹣3，
⋯．
观察其规律可得，
2023﹣1＝2022，
2022÷2＝1011，
∴a2023＝﹣1011．
故选：A．
3．如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第二行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an．则a100的值为（ ）
A．100B．199C．5050D．10000
【分析】根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到a100的值．
【解答】解：由题意可得，
a1＝1，
a2＝1+2＝3，
a3＝1+2+3＝6，
a4＝1+2+3+4＝10，
a5＝1+2+3+4+5＝15，
…，
∴an＝1+2+3+…+n＝，
∴当n＝100时，a100＝，
故选：C．
4．（2023春•硚口区月考）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．如图，第1个图有1颗弹珠；第2个图有3颗弹珠；第3个图有6颗弹珠；第4个图有10颗弹珠；…；用an表示第n个图的弹珠数，若…+＝，则n的值是（ ）
A．1012B．2022C．2023D．2024
【分析】根据题意，得出an＝1+2+3+…+n＝n（n+1），代入已知条件，得出，即可求解．
【解答】解：第1个图的弹珠数为：1；
第2个图的弹珠数为：1+2＝3；
第3个图的弹珠数为：1+2+3＝6；
第4个图的弹珠数为：1+2+3+4＝10；
…
∴出an＝1+2+3+…+n＝n（n+1），
∵…+＝，
∴+…，
即2[（1﹣）+（）+（）+…+（）]＝，
∴1﹣，…
∴，
∴n＝2023．
故选：C．
5．（2023•涟源市一模）如图，下列是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的数量是 （4n+1） 个．（用含有n的式子表示）
​
【分析】通过分析图案个数与涂有阴影的小正方形的个数之间的关系即可得出结论．
【解答】解：由图形可知：
第1个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：5，
第2个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：9＝5+4＝5+4×1，
第3个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：13＝5+4+4＝5+4×2，
…，
∴第n个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：5+4（n﹣1）＝4n+1，
故答案为：（4n+1）．
代数式求值
【中考真题练】
1．（2022•郴州）若＝，则＝ ．
【分析】对已知式子分析可知，原式可根据比例的基本性质可直接得出比例式的值．
【解答】解：根据＝得3a＝5b，则＝．
故答案为：．
2．（2022•成都）已知2a2﹣7＝2a，则代数式（a﹣）÷的值为 ．
【分析】先将代数式化简为a2﹣a，再由2a2﹣7＝2a可得a2﹣a＝，即可求解．
【解答】解：原式＝（﹣）×
＝×
＝a（a﹣1）
＝a2﹣a，
∵2a2﹣7＝2a，
∴2a2﹣2a＝7，
∴a2﹣a＝，
∴代数式的值为，
故答案为：．
3．（2022•邵阳）已知x2﹣3x+1＝0，则3x2﹣9x+5＝ 2 ．
【分析】原式前两项提取3变形后，把已知等式变形代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
则原式＝3（x2﹣3x）+5
＝﹣3+5
＝2．
故答案为：2．
4．（2022•广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 14 ．
【分析】根据x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，可得：b＝3﹣2a，直接代入所求式即可解答．
【解答】解：∵x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，
∴2a+b＝3，
∴b＝3﹣2a，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1
＝4a2+4a（3﹣2a）+（3﹣2a）2+4a+2（3﹣2a）﹣1
＝4a2+12a﹣8a2+9﹣12a+4a2+4a+6﹣4a﹣1
＝14．
解法二：原式＝（2a+b）2+2（2a+b）﹣1＝32+2×3﹣1＝14，
故答案为：14．
5．（2022•苏州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1+x2+x
＝2x2﹣x+1，
∵3x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣x＝1，
∴原式＝2（x2﹣x）+1
＝2×1+1
＝3．
6．（2022•安徽）观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： （2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，
故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；
（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，
证明：左边＝4n2+4n+1，
右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2
＝4n2+4n+1，
∴左边＝右边．
∴等式成立．
7．（2022•金华）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
（2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？
【分析】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；
（2）根据正方形的面积＝边长的平方列出代数式，把a＝3代入求值即可．
【解答】解：（1）∵直角三角形较短的直角边＝×2a＝a，
较长的直角边＝2a+3，
∴小正方形的边长＝2a+3﹣a＝a+3；
（2）小正方形的面积＝（a+3）2，
当a＝3时，面积＝（3+3）2＝36．
【中考模拟练】
1．（2023•新华区模拟）已知a+2b﹣3＝0，则2a+4b+6的值是（ ）
A．8B．12C．18D．24
【分析】首先把a+2b﹣3＝0整理为a+2b＝3，然后利用整体代入法计算即可．
【解答】解：∵a+2b﹣3＝0，
∴a+2b＝3，
∴2a+4b+6＝2（a+2b）+6＝2×3+6＝12．
故选：B．
2．（2023•香洲区校级一模）若，则＝ 5 ．
【分析】根据，可得m﹣1＝3m，据此求出m的值，再把求出的m的值代入，求出算式的值即可．
【解答】解：∵，
∴m﹣1＝3m，
解得m＝﹣，
∴＝＝5．
故答案为：5．
3．（2023•化州市模拟）已知﹣2m+3n2+7＝0，则代数式﹣12n2+8m+4的值等于 32 ．
【分析】根据题意可得﹣2m+3n2＝﹣7，将﹣12n2+8m+4提取公因式﹣4得﹣4（﹣2m+3n2）+4，再整体代入即可解答．
【解答】解：∵﹣2m+3n2+7＝0，
∴﹣2m+3n2＝﹣7，
∴﹣12n2+8m+4
＝﹣4（﹣2m+3n2）+4
＝﹣4×（﹣7）+4
＝32．
故答案为：32．
4．（2023•沭阳县模拟）按如图所示的运算程序，输入x的值为1时，则输出y值为 11 ．
【分析】把x＝1代入数值运算程序中计算即可得到y的值．
【解答】解：把x＝1代入得：y＝x2﹣5＝12﹣5＝1﹣5＝﹣4，
因为﹣4＜0，
所以把x＝﹣4代入得：y＝x2﹣5＝（﹣4）2﹣5＝16﹣5＝11，
因为11＞0，
所以输出y值为11．
故答案为：11．
5．（2023•汉中一模）在数学活动课上，同学们利用如图所示的程序进行计算，计算按箭头指向循环进行．如，当初始输入5时，即x＝5，第1次计算结果为16，第2次计算结果为8，第3次计算结果为4，…
（1）当初始输入1时，第1次计算结果为 4 ；
（2）当初始输入4时，第3次计算结果为 4 ；
（3）当初始输入3时，依次计算得到的所有结果中，有 7 个不同的值，第20次计算结果为 4 ．
【分析】（1）把x＝1代入指定的关系式求值即可；
（2）把x＝4代入指定的关系式计算第1次的结果，再根据结果的奇偶数，进行第2次运算，依此类推，求出第3次计算结果即可；
（3）把x＝3代入指定的关系式计算第1次的结果，再根据结果的奇偶数，进行第2次运算……依此类推，发现其计算结果有规律，按照规律，求出第20次计算结果即可；
【解答】解：（1）当x＝1时，3x+1＝4，
故答案为：4；
（2）当x＝4时，第1次结果为：＝2，第2次结果为＝1，第3次结果为3x+1＝4；
故答案为：4；
（3）当x＝3时，
第1次结果为：3x+1＝10，第2次结果为＝5，第3次结果为3x+1＝16；第4次结果为＝8，
第5次结果为＝4，第6次结果为＝2，第7次结果为＝1，
第8次结果为3x+1＝4，……
∵（20﹣4）÷3＝5……1，
∴第20次运算的结果为4．
∴有7个不同的值，
故答案为：7，4．