中考数学三轮冲刺练习回归教材重难点04 反比例函数与一次函数的综合（2份，原卷版+解析版）

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（2022年宁夏中考数学试卷第25题）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象相交于点A，OB＝1，tan∠OBC＝2，BC：CA＝1：2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面积最大时，求点D的坐标．
【分析】（1）根据正切函数的定义可得出OC长，过点A作AF⊥x轴于点F，则△ACF∽△BCO，由相似比可得出CF和AF的长，进而可得出点A的坐标，代入反比例函数可得出m的值，进而可得结论；
（2）由（1）可得直线AB的解析式．设点D的横坐标为t，由此可表达点D，E的坐标，根据三角形的面积公式可表达△BDE的面积，根据二次函数的性质可得结论．
【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥x轴于点F，
∴AF∥y轴，
∴△ACF∽△BCO，
∴BC：AC＝OB：AF＝OC：CF＝1：2．
∵OB＝1，tan∠OBC＝2，
∴OC＝2，
∴AF＝2，CF＝4，
∴OF＝OC+CF＝6，
∴A（6，2）．
∵点A在反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象上，
∴m＝2×6＝12．
∴反比例函数的表达式为：y＝（x＞0）．
（2）由题意可知，B（0，﹣1），
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣1．
设点D的横坐标为t，
则D（t，t﹣1），E（t，）．
∴ED＝﹣t+1．
∴△BDE的面积为：
（t﹣0）（﹣t+1）
＝﹣t2+t+6
＝﹣（t﹣1）2+．
∵﹣＜0，
∴t＝1时，△BDE的面积的最大值为，此时D（1，﹣）．
一次函数和反比例函数是初中数学三大函数之中的两个，而反比例函数与一次函数的综合又是两个函数结合问题的典型问题，出题主要集中在一下几点：与方程的关系、与不等式的关系、与图形面积的关系、与坐标的关系等。旨在提升学生的思维归纳能力与数学学科素养。
本考点是中考五星高频考点，难度中等或中等偏上，个别会以压轴题出现，在全国各地市的中考试卷中均有考查。
技法01：函数解析式求解方法：
待定系数法：①设、②代入、③解、④再代入
技法02：函数图象的基本性质：
反比例函数：①K＞0，图象过第一、三象限，在其每一象限内，y随x的增大而减小
②K＜0，图象过第二、四象限，在其每一象限内，y随x的增大而增大
一次函数：①K＞0，y随x的增大而增大，图象必过第一、三象限，
②K＜0，y随x的增大而减小，图象必过第二、四象限，
③b＞0，直线交y轴于正半轴；b＜0，直线交y轴于负半轴
技法03：函数与方程的关系：
任何函数与方程的关系为：点在图象上，点的坐标符合其关系式，反之亦然。
故，常把已知的点的坐标代入函数表达式，求解函数表达式；也会把含字母的点的表达式代入确定的函数解析式，求解字母的值。
技法04：函数图象与不等式的关系：
不解不等式，而是通过函数图象的上下关系，直接由图象交点的横坐标写出不等式的解集
【中考真题练】
1．（2022•无锡）已知一次函数y＝x+2的图象上存在两个点，这两个点关于y轴的对称点恰好在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则k的范围是（ ）
A．0＜k＜B．0＜k＜1C．0＜k＜2D．0＜k＜4
【分析】设一次函数y＝x+2的图象上的点坐标为（x，x+2），可知x+2＝有两个解，即x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，再由一元二次方程根的判别式列不等式可解得答案．
【解答】解：设一次函数y＝x+2的图象上的点坐标为（x，x+2），它关于y轴的对称点坐标为（﹣x，x+2），
根据题意，x+2＝有两个解，即x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即22﹣4k＞0，
解得k＜1，
∵k＞0，
∴0＜k＜1，
故选：B．
2．（2022•东营）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜0或x＞2B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．x＜﹣1或x＞2D．﹣1＜x＜2
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k1x+b＜的解集，此题得解．
【解答】解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2＝的图象的下方，
∴不等式k1x+b＜的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，
故选：A．
3．（2022•无锡）一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（﹣，﹣2m）、B（m，1），则△OAB的面积是（ ）
A．3B．C．D．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m，进而求出点A、B的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵点A（﹣，﹣2m）在反比例函数y＝上，
∴﹣2m＝，
解得：m＝2，
∴点A的坐标为：（﹣，﹣4），点B的坐标为（2，1），
∴S△OAB＝××5﹣××4﹣×2×1﹣×1＝，
故选：D．
4．（2022•攀枝花）如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A（1，m）、B两点，当k1x≤时，x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x＜0或x≥1B．x≤﹣1或0＜x≤1
C．x≤﹣1或x≥1D．﹣1≤x＜0或0＜x≤1
【分析】根据反比例函数的对称性求得B点的坐标，然后根据图象即可求得．
【解答】解：∵正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A（1，m）、B两点，
∴B（﹣1，﹣m），
由图象可知，当k1x≤时，x的取值范围是﹣1≤x＜0或x≥1，
故选：A．
5．（2022•钢城区）如图，一次函数y＝kx+1与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（2，t），过点P作PA⊥x轴于点A，连接OP，下列结论错误的是（ ）
A．t＝3
B．k＝1
C．△OAP 的面积是3
D．点B（m，n）在y＝（x＞0）上，当m＞2时，n＞t
【分析】由反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（2，t），可得t＝3，判断A正确；把（2，3）代入y＝kx+1k＝1，判定B正确；由反比例函数中k的几何意义可判断C正确；根据y＝的增减性可D错误．
【解答】解：∵反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（2，t），
∴t＝3，故A正确，不符合题意；
∴P（2，3），
把（2，3）代入y＝kx+1得：
2k+1＝3，
解得k＝1，故B正确，不符合题意；
∵PA⊥x轴，y＝，
∴△OAP 的面积是＝3，故C正确，不符合题意；
当x＞0时，y＝中，y随x的增大而减小，
∴m＞2时，n＜3，故D错误，符合题意，
故选：D．
6．（2022•宿迁）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．4
【分析】根据三角形OAB是等腰直角三角形，当OB最小时，OA最小，再根据两点间的距离公式解答即可．
【解答】解：∵三角形OAB是等腰直角三角形，
∴当OB最小时，OA最小，
设A点坐标为（a，），
∴OA＝，
∵≥0，
即：﹣4≥0，
∴≥4，
∵≥0，
两边同时开平方得：a﹣＝0，
∴当a＝时，OA有最小值，
解得a1＝，a2＝﹣（舍去），
∴A点坐标为（，），
∴OA＝2，
∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，
∴OB＝OA＝2．
解法二：OB最小时，OA最小，此时OA是到图象上的最近距离，OA的解析式是y＝x，
故A（，），
∴OA的最小值为2，
∴OB的最小值为2．
故选：C．
7．（2022•怀化）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【分析】设点B的坐标为（m，），然后根据三角形面积公式列方程求解．
【解答】解：设点B的坐标为（m，），
∵S△BCD＝5，且a＞1，
∴×m×＝5，
解得：a＝11，
故选：D．
8．（2022•内江）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点Q（m，n）．若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 ＜m＜2 ．
【分析】过点P分别作x轴，y轴的平行线，与双曲线分别交于点A，B，利用解析式分别求得A，B坐标，依据题意确定点Q的移动范围，从而得出结论．
【解答】解：过点P作PA∥x轴，交双曲线于点A，过点P作PB∥y轴，交双曲线于点B，如图，
∵P（2，3），反比例函数y＝，
∴A（，3），B（2，1）．
∵一次函数y的值随x值的增大而增大，
∴点Q（m，n）在A，B之间，
∴＜m＜2．
故答案为：＜m＜2．
9．（2022•鄂州）如图，已知直线y＝2x与双曲线y＝（k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA＝，则k的值为 2 ．
【分析】由点A在直线y＝2x上，且OA＝，可求得A点坐标为（ 1，2）把已知点的坐标代入解析式可得，k＝2．
【解答】解：设A（x，y），
∵点A在直线y＝2x上，且OA＝，
∴A点坐标为（ 1，2），
∵点A在双曲线y＝（x＞0）上，
∴k＝2，
故答案为：2．
10．（2022•包头）如图，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD•BC＝AB•DO，连接CD，记△ADC，△DOC的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2的值为 4 ．
【分析】根据反比例函数k＝xy（定值）求出B点坐标，根据待定系数法求出直线AB的解析式，进而求出点C的坐标，求出AB，BC的长度，根据AD•BC＝AB•DO，得到AD＝2DO，根据△ADC，△DOC是等高的三角形，得到S1＝2S2，从而S1﹣S2＝S2，根据S1+S2＝S△AOC得到S2＝S△AOC，从而得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，
∴1×6＝3b，
∴b＝2，
∴B（3，2），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
，
解得：，
∴y＝﹣2x+8，
令y＝0，
﹣2x+8＝0，
解得：x＝4，
∴C（4，0），
∵AB＝＝2，
BC＝＝，
AD•BC＝AB•DO，
∴AD•＝2•DO，
∴AD＝2DO，
∴S1＝2S2，
∴S1﹣S2＝S2，
∵S1+S2＝S△AOC，
∴S1﹣S2＝S2＝S△AOC＝××4×6＝4．
故答案为：4．
11．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（﹣2，2），B（n，﹣1）．当y1＜y2时，x的取值范围是 ﹣2＜x＜0或x＞4 ．
【分析】利用待定系数法求得点B坐标，结合图象，利用数形结合法解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y2＝的图象经过点A（﹣2，2），B（n，﹣1），
∴﹣1×n＝（﹣2）×2，
∴n＝4．
∴B（4，﹣1）．
由图象可知：第二象限中点A的右侧部分和第四象限中点B右侧的部分满足y1＜y2，
∴当y1＜y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞4．
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞4．
12．（2022•陕西）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为 y＝﹣ ．
【分析】根据轴对称的性质得出点A'（2，m），代入y＝x求得m＝1，由点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，从而求得反比例函数的解析式．
【解答】解：∵点A'与点A关于y轴对称，点A（﹣2，m），
∴点A'（2，m），
∵点A'在正比例函数y＝x的图象上，
∴m＝＝1，
∴A（﹣2，1），
∵点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
13．（2022•玉林）如图，点A在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，点B在直线l：y＝mx﹣2b（m＞0，b＞0）上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：
①A（b，b）
②当b＝2时，k＝4
③m＝
④S四边形AOCB＝2b2
则所有正确结论的序号是 ②③ ．
【分析】①根据菱形的性质和勾股定理计算点A的坐标；
②根据①中的坐标，直接将b＝2代入即可解答；
③计算点B的坐标，代入一次函数的解析式可解答；
④根据菱形的面积＝底边×高可解答．
【解答】解：如图，
①y＝mx﹣2b中，当x＝0时，y＝﹣2b，
∴C（0，﹣2b），
∴OC＝2b，
∵四边形AOCB是菱形，
∴AB＝OC＝OA＝2b，
∵A与B关于x轴对称，
∴AB⊥OD，AD＝BD＝b，
∴OD＝＝b，
∴A（b，b）；
故①不正确；
②当b＝2时，点A的坐标为（2，2），
∴k＝2×2＝4，
故②正确；
③∵A（b，b），A与B关于x轴对称，
∴B（b，﹣b），
∵点B在直线y＝mx﹣2b上，
∴bm﹣2b＝﹣b，
∴m＝，
故③正确；
④菱形AOCB的面积＝AB•OD＝2b•b＝2b2，
故④不正确；
所以本题结论正确的有：②③；
故答案为：②③．
14．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为 ，点F的坐标为 （，0） ．
【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．
【解答】解：如图，
方法一：作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，
设点B（b，），D（a，），
由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，
∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD，
∴OI＝BI，
∴DI＝CI，
∴＝，
∵∠CID＝∠BIO，
∴△CDI∽△BOI，
∴∠CDI＝∠BOI，
∴CD∥OB，
∴S△BOD＝S△AOB＝S矩形AOCB＝，
∵S△BOE＝S△DOG＝＝3，S四边形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S△BOE，
∴S梯形BEGD＝S△BOD＝，
∴•（a﹣b）＝，
∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0，
∴（a﹣2b）•（2a+b）＝0，
∴a＝2b，a＝﹣（舍去），
∴D（2b，），
即：（2b，），
在Rt△BOD中，由勾股定理得，
OD2+BD2＝OB2，
∴[（2b）2+（）2]+[（2b﹣b）2+（﹣）2]＝b2+（）2，
∴b＝，
∴B（，2），D（2，），
∵直线OB的解析式为：y＝2x，
∴直线DF的解析式为：y＝2x﹣3，
当y＝0时，2﹣3＝0，
∴x＝，
∴F（，0），
∵OE＝，OF＝，
∴EF＝OF﹣OE＝，
∴＝，
方法二：如图，连接BF，BD，作DG⊥x轴于G，直线BD交x轴于H，
由上知：DF∥OB，
∴S△BOF＝S△BOD＝，
∵S△BOE＝|k|＝3，
∴＝＝，
设EF＝a，FG＝b，则OE＝2a，
∴BE＝，OG＝3a+b，DG＝，
∵△BOE∽△DFG，
∴＝，
∴＝，
∴a＝b，a＝﹣（舍去），
∴D（4a，），
∵B（2a，），
∴＝＝，
∴GH＝EG＝2a，
∵∠ODH＝90°，DG⊥OH，
∴△ODG∽△DHG，
∴，
∴，
∴a＝，
∴3a＝，
∴F（，0）
故答案为：，（，0）．
15．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A（﹣4，0）、B两点，与双曲线y＝（k＞0）交于点C、D两点，AB：BC＝2：1．
（1）求b，k的值；
（2）求D点坐标并直接写出不等式x+b﹣≥0的解集；
（3）连接CO并延长交双曲线于点E，连接OD、DE，求△ODE的面积．
【分析】（1）根据点A在直线上，把点A代入，求出b的值；过C作CF⊥x轴于点F，得△AOB∽△AFC，根据AB：BC＝2：1，可求出点F的坐标，可得点C的坐标，代入反比例函数，即可求出k的值；
（2）根据交点坐标的性质，可求出点D的坐标，根据，得，根据函数图象，即可得到解集；
（3）根据同底同高，得S△ODE＝S△COD，S△COD＝S△COA+S△ADO即可．
【解答】解：（1）∵点A在直线上，A（﹣4，0），
∴，
解得b＝2，
过C作CF⊥x轴于点F，
∴△AOB∽△AFC，
∵AB：BC＝2：1，
∴，
∴AF＝6，
∴OF＝2，
在中，令x＝2，得y＝3，
∴C（2，3），
∴，
∴k＝6．
（2）∵D点是和交点，
∴，
解得或，
∵D点在第三象限，
∴D（﹣6，﹣1），
由图象得，当﹣6≤x＜0或x≥2时，，
∴不等式的解集为﹣6≤x＜0或x≥2．
（3）∵△ODE和△OCD同底同高，
∴S△ODE＝S△OCD，
∵S△COD＝S△COA+S△ADO，
∴．
16．（2022•镇江）如图，一次函数y＝2x+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（1，4），与y轴交于点B．
（1）k＝ 4 ，b＝ 2 ；
（2）连接并延长AO，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点C，点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．
【分析】（1）将点A（1，4）分别代入反比例函数y＝（k≠0）和一次函数y＝2x+b的解析式中，求解即可；
（2）根据题意，需要分类讨论：当点D落在y轴的正半轴上，当点D落在y轴的负半轴上，△COD∽△AOB或△COD∽△BOA，依次根据比例关系，求解即可．
【解答】解：（1）将点A（1，4）代入反比例函数y＝（k≠0）的解析式中，
∴k＝1×4＝4；
将A（1，4）代入一次函数y＝2x+b，
∴2×1+b＝4，
解得b＝2．
故答案为：4；2．
（2）当点D落在y轴的正半轴上，
则∠COD＞∠ABO，
∴△COD与△ABO不可能相似．
当点D落在y轴的负半轴上，
若△COD∽△AOB，
∵CO＝AO，BO＝DO＝2，
∴D（0，﹣2）．
若△COD∽△BOA，则OD：OA＝OC：OB，
∵OA＝CO＝，BO＝2，
∴DO＝，
∴D（0，﹣），
综上所述：点D的坐标为（0，﹣2），（0，﹣）．
17．（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）设点A的坐标为（m，），根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CH＝EH，求得E（2m，），于是得到点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①根据正方形的性质得到AD＝CE，AD垂直平分CE，求得CH＝AD，设点A的坐标为（m，），得到m＝2（负值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，解方程组即可得到结论；
②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y＝x﹣2，于是得到结论．
【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，
理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，
∴设点A的坐标为（m，），
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
如图．连接CE交AD于H，
∴CH＝EH，
∵BC＝CD，OC⊥BD，
∴OB＝OD，
∴OC＝AD，
∵AD⊥x轴于D，
∴CE∥x轴，
∴E（2m，），
∵2m×＝8，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①∵四边形ACDE为正方形，
∴AD＝CE，AD垂直平分CE，
∴CH＝AD，
设点A的坐标为（m，），
∴CH＝m，AD＝，
∴m＝×，
∴m＝2（负值舍去），
∴A（2，4），C（0，2），
把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，
∴；
②延长ED交y轴于P，
∵CB＝CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，
则点P即为符合条件的点，
由①知，A（2，4），C（0，2），
∴D（2，0），E（4，2），
设直线DE的解析式为y＝ax+n，
∴，
∴，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）．

【中考模拟练】
1．（2023•攀枝花模拟）如图，已知直线y＝mx与双曲线的一个交点坐标为（﹣1，3），则它们的另一个交点坐标是（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，3）
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（﹣1，3），另一个交点的坐标为（1，﹣3）．
故选：C．
2．（2023•滨湖区一模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数与一次函数y＝ax+b（a＞0）的图象相交于A（﹣8，m）、B（﹣2，n）两点，若△AOB面积为15，则k的值为（ ）
A．﹣8B．﹣7.5C．﹣6D．﹣4
【分析】过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，根据点A（﹣8，m）、B（﹣2，n）都在反比例函数的图象上，推出n＝4m，根据S梯形ACDB＝S△OAB＝15，求得n﹣m＝3，进一步计算即可求解．
【解答】解：∵反比例函数与一次函数y＝ax+b（a＞0）的图象相交于A（﹣8，m）、B（﹣2，n）两点，
∴A（﹣8，m）、B（﹣2，n）两点在第二象限，
过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，
则AC＝8，BD＝2，OC＝m，OD＝n，
∴CD＝n﹣m，
∵点A（﹣8，m）、B（﹣2，n）都在反比例函数的图象上，
∴S△AOC＝S△BOD，﹣8m＝﹣2n，即n＝4m，
∵S△AOC+S梯形ACDB＝S△BOD+S△OAB，
∴S梯形ACDB＝S△OAB＝15，
即，
∴n﹣m＝3，
∴4m﹣m＝3，
解得m＝1，
∴A（﹣8，1），
∴k＝﹣8×1＝﹣8．
故选：A．
3．（2023•宁波模拟）如图，一次函数y1＝x﹣1的图象与反比例函数的图象交于点A（2，m），B（n，﹣2），当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或x＞2B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】先把B（n，﹣2）代入y1＝x﹣1，求出n值，再根据图象直接求解即可．
【解答】解：把B（n，﹣2）代入y1＝x﹣1，得﹣2＝n﹣1，
解得：n＝﹣1，
∴B（﹣1，﹣2），
∵图象交于A（2，m）、B（﹣1，﹣2）两点，
∴当y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞2．
故选：D．
4．（2023•宁德模拟）如图，已知直线l与x，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于C，D两点，连接OC，OD．若△AOC和△COD的面积都为3，则k的值是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣6
【分析】由S△AOC＝S△COD得，AC＝CD，设C（，m），A（0，n），由中点坐标公式得，D（，2m﹣n），代入解析式得到n＝m，过点作CH⊥y轴于H，利用S△AOC＝3，可求出k．
【解答】解：如图，∵S△AOC＝S△COD，以AC，CD作底，高相同
∴AC＝CD，即C为AD的中点，
设C（，m），A（0，n），
由中点坐标公式得，D（，2m﹣n），
∵D（，2m﹣n）在反比例函数y＝的图象上，
∴，
∴n＝m
过点作CH⊥y轴于H，
则CH＝﹣，OA＝n＝m，
∵S△AOC＝3，
∴OA•CH＝3，
∴×m×（﹣）＝3，
∴k＝﹣4．
故选：C．
5．（2023•宿迁模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l与函数 的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，若OA＝AB，且∠OAB＝90°，则tan∠AOC的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，交于点D，设A（m，），则OE＝m，AE＝，通过证得△AOE≌△BAD（AAS），求得B（），代入，即可得到（m﹣）（m+）＝k，整理得m2﹣＝k，方程两边同除k得﹣＝1，设＝y，则方程变为﹣y＝1，化为y2+y﹣1＝0，解得y＝，即可求得tan∠AOC＝＝＝＝．
【解答】解：作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，交于点D，
设A（m，），则OE＝m，AE＝，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAE+∠DAB＝90°，
∵∠OAE+∠AOE＝90°，
∴∠DAB＝∠AOE，
∵OA＝AB，∠AEO＝∠ADB＝90°，
∴△AOE≌△BAD（AAS），
∴AD＝OE＝m，BD＝AE＝，
∴B（），
∵函数 的图象过B点，
∴（m﹣）（m+）＝k，整理得m2﹣＝k，
方程两边同除以k得﹣＝1，
设＝y，则方程变为﹣y＝1，化为y2+y﹣1＝0，
解这个方程得y＝，
∴k＞0，
∴＞0，
∴＝，
∴tan∠AOC＝＝＝＝．
故选：A．
6．（2023•呼和浩特一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线上，现将正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】作CE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F，作CH⊥x轴于点H，交双曲线于点G，由函数解析式确定B的坐标是（0，3），A的坐标是（1，0），根据全等三角形的判定和性质得出△OAB≌△FDA≌△BEC，AF＝OB＝EC＝3，DF＝OA＝BE＝1，结合图形求解即可．
【解答】解：作CE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F，作CH⊥x轴于点H，交双曲线于点G
在y＝﹣3x+3中，
令x＝0，解得：y＝3，
即B的坐标是（0，3），
令y＝0，解得：x＝1，
即A的坐标是（1，0），
则OB＝3，OA＝1．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAF＝90°，
∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，
∴∠DAF＝∠OBA，
在△OAB和△FDA中，
，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
同理，△OAB≌△FDA≌△EBC，
∴AF＝OB＝EC＝3，DF＝OA＝BE＝1，
故D的坐标是（4，1），C的坐标是（3，4），
代入y＝得：k＝4，
则函数的解析式是：y＝．
∴OE＝4，
则C的纵坐标是4，
把x＝3代入y＝得：y＝．即G的坐标是，
∴CG＝4﹣＝，
∴a＝，
故选：A．
7．（2023•徐州模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，点D坐标为（4，0），则△ADC的面积为（ ）
A．3B．6C．8D．12
【分析】根据AD⊥x轴，D（4，0）求出点A的横坐标，代入一次函数表达式中求出点A纵坐标，再利用三角形面积公式计算．
【解答】解：∵AD⊥x轴，D（4，0），
∴xA＝4，代入中，
∴，即A（4，3），
∴△ADC的面积为，
故选：B．
8．（2023•茅箭区一模）如图已知反比例函数C1：的图象如图所示，将该曲线绕点O顺时针旋转45°得到曲线C2，点N是由曲线C2上一点，点M在直线y＝﹣x上，连接MN、ON，若MN＝ON，△MON的面积为，则k的值为（ ）
A．B．C．﹣2D．﹣1
【分析】将直线y＝﹣x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°，则直线y＝﹣x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，即可求解．
【解答】解：∵将直线y＝﹣x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°后直线y＝﹣x与x轴重合，
∴旋转后点N落在曲线C1上，点M落在x轴上，如图所示，
设点M和点N的对应点分别为点M'和N'，
过点N'作N'P⊥x轴于点P，连接ON'，M'N'，
∵MN＝ON，
∴M'N'＝ON'，M'P＝OP，
∴S△MON＝2S△PN'O＝2×＝|k|＝，
∵k＜0，
∴k＝﹣．
故选：B．
9．（2023•西安二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第二象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为 ﹣2 ．
【分析】过点C作CH⊥x轴于点H．求出点C的坐标，可得结论．
【解答】解：过点C作CH⊥x轴于点H．
∵直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（1，0），B（0，1），
∴OA＝OB＝1，
∵OB∥CH，
∴△AOB∽△AHC，
∴，
∴＝＝1，
∴OA＝OH＝1，
∴CH＝2OB＝2，
∴C（﹣1，2），
∵点C在y＝的图象上，
∴k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
10．（2023•双流区模拟）如图，已知一次函数的图象与反比例函数图象交于A，B两点．若AC∥x轴，且AC＝BC，则△ABC面积的最小值为 4 ．
【分析】由题意设点A的坐标为（m，m+b），点B的坐标为（n，n+b），即可推出m+n＝﹣，mn＝﹣3，利用勾股定理求得AB2＝4b2+16，进而推出S△ABC＝AB•CT＝AB2＝b2+4，利用二次函数的性质即可求得△ABC的面积有最小值为4．
【解答】解：由题意设点A的坐标为（m，m+b），点B的坐标为（n，n+b），
联立，得x2+3bx﹣9＝0，
∴m+n＝﹣，mn＝﹣3，
∴AB2＝（m﹣n）2+（m+b﹣n﹣b）2
＝（m﹣n）2
＝[（m+n）2﹣4mn]
＝4b2+16，
如图，过点C作CT⊥AB于点T，
∵AC＝BC，
∴AT＝BT＝AB，
由一次函数可知，∠CAB＝30°，
∴CT＝AT＝AB，
∴S△ABC＝AB•CT＝AB2＝b2+4，
∴当b＝0时，△ABC的面积有最小值为4，
故答案为：4．
11．（2023•青羊区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x与反比例函数的图象交于A，B两点，C是反比例函数位于第一象限内的图象上的一点，作射线CA交y轴于点D，连接BC，BD，若，△BCD的面积为30，则k＝ 6 ．
【分析】作CF⊥y于点I，BF⊥x，交CI的延长线于点F，作AE⊥CF于点E，设BC交y轴于点M，设A（m，3m），则B（﹣m，﹣3m），k＝3m2，设点C的横坐标为a，则C（a，），可证明tan∠CAE＝tan∠CBF＝，则∠CAE＝∠CBF，即可推导出∠CDM＝∠CMD，则CD＝CM，所以＝＝＝，则CI＝4FI，所以a＝4m，C（4m，），由＝tan∠CMD＝tan∠CBF＝，得DI＝MI＝3m，则DM＝6m，于是得×6m×m+×6m×4m＝30，则m2＝2，所以k＝3m2＝6．
【解答】解：作CF⊥y于点I，BF⊥x，交CI的延长线于点F，作AE⊥CF于点E，设BC交y轴于点M，
∵直线y＝3x经过原点，且与双曲线y＝交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
设A（m，3m），则B（﹣m，﹣3m），k＝3m2，
设点C的横坐标为a，则C（a，），F（﹣m，），
∵tan∠CAE＝＝＝，tan∠CBF＝＝＝，
∴tan∠CAE＝tan∠CBF，
∴∠CAE＝∠CBF，
∵AE∥BF∥DM，
∠CAE＝∠CDM，∠CBF＝∠CMD，
∴∠CDM＝∠CMD，
∴CD＝CM，
∵＝＝＝，
∴CI＝4FI，
∴a＝4m，
∴C（4m，），
∵＝tan∠CMD＝tan∠CBF＝＝＝，
∴DI＝MI＝CI＝×4m＝3m，
∴DM＝DI+MI＝6m，
∵DM•FI+DM•CI＝S△BCD＝30，
∴×6m×m+×6m×4m＝30，
∴m2＝2，
∴k＝3m2＝3×2＝6，
故答案为：6．
12．（2023•余姚市校级模拟）如图，点A在y＝（x＞0）的图象上，点B，C在y＝（x＜0）的图象上（C在B左边），直线AB经过原点O，直线AC交y轴于点M，直线BC交x轴于点N．则＝ ；＝m，＝n，则＝ ．
【分析】作AD⊥y轴交y轴于D，BE⊥x轴交x轴于E，CF⊥x轴交x轴于F，CG⊥y轴交y轴于G，再设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），点C的坐标为（c，），从而可以表示出AD＝a，OE＝﹣bCG＝﹣c，CF＝﹣，BE＝﹣，再根据三角形相似的判定定理得出△BEO∽△ODA，△CGM∽△ADM，△NCF∽△NBE，可分别表示出OA：OB，MC：MA，NB：NC，再由直线AB经过原点O，可以表示出及的值，最后代入即可得到答案．
【解答】解：如图所示，作AD⊥y轴交y轴于D，BE⊥x轴交x轴于E，CF⊥x轴交x轴于F，CG⊥y轴交y轴于G，
设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），点C的坐标为（c，），
则AD＝a，OE＝﹣b，CG＝﹣c，CF＝﹣，BE＝﹣，
∵BE⊥x轴，
∴BE∥y轴，
∴∠EBO＝∠BOG，
∵∠BOG＝∠DOA，
∴∠EBO＝∠DOA，
∵AD⊥y轴，
∴∠BEO＝∠ODA＝90°，
∴△BEO∽△ODA，
∴OA：OB＝AD：OE＝﹣，
∵AD⊥y轴，CG⊥y轴，
∴△CGM∽△ADM，
∴＝＝﹣＝m，
∵BE⊥x，CF⊥x轴，
∴△NCF∽△NBE，
∴＝＝＝＝n，
∴＝＝﹣，
∵直线AB经过原点O，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
由图象可知，a＞0，c＜b＜0，
∴＝﹣，＝﹣，
∴＝﹣＝，＝﹣＝，
故答案为：；．
13．（2023•岳阳一模）如图，已知正比例函数y1＝x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（3，n）和点 B．
（1）求n和k的值；
（2）请结合函数图象，直接写出不等式x﹣＜0的解集；
（3）如图，以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、OE，求△AOE的面积．
【分析】（1）先把点A（3，n）代入正比例函数解析式求出n的值，再把求出的点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值；
（2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称的，可得出点B的坐标，然后根据图象即可写出解集；
（3）根据题意作出辅助线，然后求出OA的长，根据菱形的性质求出OC的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出△AOE的面积．
【解答】解：（1）把点A（3，n）代入正比例函数可得：n＝4，
∴点A（3，4），
把点A（3，4）代入反比例函数，
可得：k＝12；
（2）∵点A与点B是关于原点对称的，
∴点B（﹣3，﹣4），
∴根据图象可得，不等式x﹣＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3；
（3）如图所示，过点A作AG⊥x轴，垂足为G，
∵A（3，4），
∴OG＝3，AG＝4
在Rt△AOG中，AO＝＝5
∵四边形AOCD是菱形，
∴OC＝OA＝5，，
∴．
14．（2023•锦江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数交于点B（1，m）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y＝2x+b图象于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积；
（3）点P为反比例函数图象上一点，连接PB，若∠PBA＝∠BAO，求点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上，进而求解；
（3）取AB的中点M，过点M作MH⊥AB交x轴于点H，点M是AB的中点且MH⊥AB，则∠PBA＝∠BAO，进而求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝﹣4+b，
解得：b＝4，
即一次函数的表达式为：y＝2x+4，
当x＝1时，y＝2x+4＝6，则点B（1，6），
将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×6＝6，
即反比例函数表达式为：y＝；
（2）设点N的坐标为（t，2t+4），则点M（t，），
若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上，
则（2t+4+）＝6，
解得：t＝1（舍去）或3，
则点M、N的坐标分别为：（3，10）、（3，2），
则△BMN的面积＝MN•（xM﹣xB）＝（10﹣2）×（3﹣1）＝8；
（3）取AB的中点M，过点M作MH⊥AB交x轴于点H，
∵点M是AB的中点且MH⊥AB，
则∠PBA＝∠BAO，
由中点坐标公式得，点M（﹣，3），
在Rt△AMH中，由AB的表达式知，tan∠BAO＝2，则tan∠MHA＝，
则直线MH表达式中的k值为﹣，
则直线MH的表达式为：y＝﹣（x+）+3，
令y＝﹣（x+）+3＝0，则x＝，即点H（，0），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝﹣x+，
联立y＝﹣x+和y＝并解得：x＝1（舍去）或，
则点P的坐标为：（，）．