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    湖南省邵东市第一中学2024-2025学年高一上学期第三次月考数学试卷(含答案)

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    湖南省邵东市第一中学2024-2025学年高一上学期第三次月考数学试卷(含答案)

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    这是一份湖南省邵东市第一中学2024-2025学年高一上学期第三次月考数学试卷(含答案),共19页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1.已知集合,,则( )
    A.B.C.D.
    2.若,则使“”成立的一个必要不充分条件为( )
    A.B.C.D.
    3.下列命题是假命题的是( )
    A.若非零实数a,b,c满足,,则
    B.若,则
    C.若,,则
    D.若,则
    4.若函数,则函数的定义域为( )
    A.B.C.D.
    5.若关于x的不等式的解集中恰有3个整数,则实数a的取值范围为( )
    A.
    B.或
    C.或
    D.或
    6.当时,,则实数a的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    7.若函数为偶函数,对任意的,,且,都有,则( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    8.已知函数的定义域为R,且,若,则下列结论错误的是( )
    A.
    B.
    C.函数是偶函数
    D.函数是减函数
    二、多项选择题
    9.已知,,则下列结论正确的是( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    10.设为定义在R上的奇函数,当时,为常数),则下列说法正确的是( )
    A.
    B.
    C.在上是单调减函数
    D.函数仅有一个零点
    11.已知函数,若存在实数m使得方程有四个互不相等的实根,,,,且,则下列叙述中正确的有( )
    A.B.
    C.D.有最小值
    三、填空题
    12.若幂函数在区间上单调递减,则____________.
    13.如图,在中,,以O为圆心、为半径作圆弧交于A点若圆弧等分的面积,且弧度,则=____________.
    14.设函数,若关于x的方程恰好有六个不同的实数解,则实数a的取值范围为____________.
    四、解答题
    15.(1);
    (2).
    16.在单位圆中,锐角的终边与单位圆相交于点,连接圆心O和P得到射线,将射线绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B,其中.
    (1)求出m的值和锐角的大小;
    (2)求的值;
    (3)记点B的横坐标为,若,求的值
    17.物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型,如果物体的初始温度为,空气温度为,则x分钟后物体的温度满足(k为常数)实验测算,当时满足.
    (1)求k的值;
    (2)茶艺文化是中国传统文化的重要组成部分,涵盖茶的制作、泡法、茶器、茶道等方面经验表明,茶水的口感与茶叶品种和水温有关,某种茶叶泡制的茶水,刚沏出来时茶水温度为,等茶水温度降至时饮用口感最佳已知空气温度为,则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?(结果保留一位小数,参考数值:,,)
    18.已知函数为奇函数
    (1)求实数a的值并判断的单调性(无需证明);
    (2)若,求n的取值范围;
    (3)设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求实数m的取值范围
    19.若存在实数对,使等式对定义域中每一个实数x都成立,则称函数为型函数
    (1)若函数是型函数,求a的值;
    (2)若函数是型函数,求a和b的值;
    (3)已知函数定义在上,恒大于0,且为型函数,当时,.若在恒成立,求实数m的取值范围
    参考答案
    1.答案:C
    解析:因为,
    所以,
    因为,
    所以,
    所以.
    故选:C.
    2.答案:D
    解析:由可得,
    A选项:,,是使“”成立的一个充分不必要条件;
    B选项:由可得,
    则,解得或,
    与没有包含关系,
    所以是使“”成立的一个既不充分也不必要条件;
    C选项:由可得,
    所以是使“”成立的一个充要条件;
    D选项:,,
    所以是使“”成立的一个必要不充分条件
    故选:D.
    3.答案:D
    解析:A选项:若非零实数a,b,c满足,,
    则有,所以,A正确;
    B选项:若,则,所以,B正确;
    C选项:设,
    则,解得,
    因为,所以,
    又,所以,
    即,C正确;
    D选项:若,则可以是,D错误;
    故选:D.
    4.答案:A
    解析:的定义域需要满足:,
    解得,
    故的定义域为,
    的定义域需满足,
    解得,
    故的定义域为.
    故选:A
    5.答案:B
    解析:.
    当时,不等式的解集为空集,不符合题意
    当时,不等式的解集为,
    要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数,
    只需满足
    解得.
    当时,不等式的解集为,
    要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数,
    只需满足
    解得.
    综上,实数a的取值范围为.
    故选:B
    6.答案:B
    解析:当时,在区间,,不合题意
    当时,在上递增,在递减
    要使恒成立,则需,
    即.
    故选:B
    7.答案:A
    解析:因为,,
    且,都有,
    所以函数在上单调递减
    又函数为偶函数,
    所以函数的图像关于直线对称,
    所以.
    又,,
    因为,
    所以;
    因为,
    所以.
    所以,
    所以,
    即.
    故选:A
    8.答案:C
    解析:对于A,令、,
    则有,
    又,故,即,
    令、,
    则有,
    即,
    由,可得,
    又,故,故A正确;
    对于C,令,
    则有,
    则,故函数是奇函数,故C错误;
    对于D,有,
    即,
    则函数是减函数,故D正确;
    对于B,由,
    令,有,故B正确.
    故选:C.
    9.答案:ABD
    解析:由①,
    以及,
    对等式①两边取平方得,
    ②,
    ∵,∴,由②,,
    由①②,可以看作是一元二次方程的两个根,
    解得,,
    故A正确,B正确,C错误,D正确
    故选:ABD.
    10.答案:AD
    解析:对于A中,因为为定义在R上的奇函数,
    且当时,,
    可得,解得,
    所以,
    则,所以A正确;
    对于B中,由,所以B不正确;
    对于C中,当时,,
    因为函数和都是增函数,
    所以在是单调递增函数,
    又因为为在R上的奇函数,
    所以在也是递增函数,所以C不正确;
    对于D中,由,且和是单调递增函数,
    所以函数为定义在R上仅有一个零点,所以D正确
    故选:AD.
    11.答案:ACD
    解析:根据题意画出图像,如图所示:
    对于A:由图像可得,故A正确;
    对于B:因为,是的两个实数根,
    所以,即,故B错误;
    对于C:因为
    且,即,
    所以,
    即,,故C正确;
    对于D:因为,
    所以,
    又,因此时取得最小值,故D正确
    故选:ACD.
    12.答案:3
    解析:因为函数为幂函数,
    且在区间上单调递减,
    所以且,
    由,得或,
    当时,满足,舍去;
    当时,满足.
    综上可得.
    故答案为:3
    13.答案:
    解析:设扇形的半径为r,则扇形的面积为,
    直角三角形中,,
    ,面积为,
    由题意得,
    ∴,∴,
    故答案为.
    14.答案:
    解析:作出函数的图像如下图所示,
    令,则方程
    化为,
    要使关于x的方程恰好有六个不同的实数根,
    则方程
    在内有两个不同实数根,
    因此需满足,
    解得,
    可得实数a的取值范围是.
    故答案为:
    15.答案:(1)
    (2)4
    解析:(1)原式
    .
    (2)原式
    .
    16.答案:(1),
    (2)1
    (3)
    解析:(1)由于点P在单位圆上,且是锐角,
    可得,,则,
    所以,且为锐角,可得;
    (2)

    (3)由(1)可知,
    根据三角函数定义可得:,
    因为,且,
    因此,
    所以.
    所以
    .
    17.答案:(1)
    (2)8.6分钟
    解析:(1)由题意可知,
    ①②,得,即,
    所以;
    (2)设刚沏出来的茶水大约需要放置t分钟才能达到最佳饮用口感,
    由题意可知,,,,
    所以,
    即,
    所以,
    所以刚沏出来的茶水大约需要放置8.6分钟才能达到最佳饮用口感
    18.答案:(1),在和上单调递减;
    (2)
    (3)
    解析:(1)函数中,,
    因为为奇函数,所以,
    即,
    整理得,
    所以,即,
    其定义域为,
    由复合函数的单调性可知,在和上单调递减;
    因为,在和上单调递增,
    所以在在和上单调递减,
    所以在和上单调递减;
    (2)因为在和上单调递减,
    并且,
    当时,则,可得;
    当时,则,可得;
    画出函数图像
    由图像可知:
    当时,,解得;
    当,,无解;
    当,,此时解得;
    综上所述,n的取值范围为;
    (3),
    当时,,故,
    所以在上值域为,

    ,,
    令,,
    则,
    所以当时,,
    当时,,
    所以函数在上值域为,
    因为对任意的,总存在,使得成立,
    所以,
    所以,解得,
    所以实数m的取值范围为.
    19.答案:(1)
    (2),
    (3).
    解析:(1)由是型函数,
    得,即,
    所以.
    (2)由是型函数,
    得,
    则,
    因此对定义域内任意x恒成立,
    于是,
    解得,
    所以,.
    (3)由是型函数,得,
    ①当时,,
    而,则,满足;
    ②当时,恒成立,
    令,则当时,恒成立,于是恒成立,
    而函数在单调递增,
    则,当且仅当时取等号,因此;
    ③当时,,
    则,
    由,得,
    令,
    则当时,,
    由②知,
    则只需时,恒成立,
    即恒成立,
    又,
    当且仅当时取等号,因此,
    所以实数m的取值范围是.

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