柳城县中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份柳城县中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知圆的一般方程为,则半径是( )
A.1B.3C.4D.9
2．等差数列中,若,,则公差( )
A.2B.3C.4D.5
3．中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题:今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之(等差数列),上三人先入,得金四斤,持出;下四人后入得金三斤,持出;中间三人未到者,亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是( )
A.B.C.D.
4．已知直线,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．已知,,,则向量在方向上的投影向量为( )
A.B.C.D.
6．设直线的方程为,则直线l的倾斜角a的范围是( )
A.B.C.D.
7．，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
8．与圆及圆都外切的圆的圆心在( )
A.椭圆上B.双曲线上的一支上
C.抛物线上D.圆上
二、多项选择题
9．下列命题正确的是( )
A.点关于平面对称的点的坐标是
B.零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量
C.若是直线l的方向向量,则也是直线l的方向向量
D.在空间直角坐标系中,是坐标平面的一个法向量
10．设椭圆与双曲线的离心率分别为,,双曲线的渐近线的斜率小于,则和的取值范围( )
A.B.
C.D.
11．如图,已知直线和椭圆,m为何值时,下列结论正确( )
A.当时,直线l与椭圆C有两个公共点
B.当或25时,直线l与椭圆C只有一个公共点
C.当或时,直线l与椭圆C没有公共点
D.当时,直线l与椭圆C有公共点
三、填空题
12．已知数列中,,,则________.
13．如图,M是抛物线上的一点,F是抛物线的焦点,以为始边、为终边的角,________.
14．如图，三棱锥中，，，点M，N分别是，的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是________．
四、解答题
15．（1）已知数列的前n项和,求这个数列的通项公式;
（2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值.
16．（1）如图,圆O的半径为定长r,A是圆O外一个定点,P是圆O上任意一点.线段的垂直平分线l与直线相交于点Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
（2）当m变化时,指出方程表示的曲线的形状.
17．已知圆,直线.
（1）求证:直线l恒过定点;
（2）直线l被圆C截得的弦何时最长?何时最短?并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长.
18．如图,平面四边形ABCD中,,,,,,点E,F满足,,将沿EF翻折至,使得.
（1）证明:;
（2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
19．已知和为椭圆上两点.
（1）求C的离心率;
（2）若过P的直线l交C于另一点B,且的面积为9,求l的方程.
参考答案
1．答案：B
解析：因为圆的一般方程为
所以圆的标准方程为,
所以圆的半径为3,
故选:B
2．答案：A
解析：由,得
故选:A
3．答案：A
解析：由题设知在等差数列中,,.
所以,,解得,
故选:A
4．答案：B
解析：当时,,,,所以;
当时,可得,解得或,
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
5．答案：A
解析：因为,,,
所以向量在方向上的投影向量为.
故选:A.
6．答案：D
解析：直线l的方程为,
当时直线方程为,倾斜角,
当时,直线方程化为,斜率,
因为,所以,即,
又因为,所以,综上可得,
故选:D.
7．答案：B
解析：解法一：
如图，设直线在平面的射影为，
作于点G，于点H，连接，
易得，又，平面，则平面，
又平面，则，有
故.
已知，，
故为所求.
解法二：
如图所示，把，，放在正方体中，，，的夹角均为.
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，则
令，则，，所以，
所以.
设直线与平面所成角为，所以，
所以.
故选B.
8．答案：B
解析：由圆可知,圆心,半径,
圆化为标准方程,
圆心,半径,
因此圆心距,所以两圆相离,
设与两圆都外切的圆的圆心为C,半径为,
则满足,,所以,
即圆心C的轨迹满足到两定点距离之差为定值,且定值小于两定点距离,
根据双曲线定义可知,圆心的轨迹是某一双曲线的左支,
即圆心在双曲线的一支上.
故选:B.
9．答案：ABD
解析：对于A,关于平面对称的点x,y轴的坐标不改变,z轴的坐标相反,
所以点关于平面对称的点的坐标是,故A正确;
对于B,直线的方向向量和平面的法向量都是非零向量,故B正确;
对于C,当时,,不能作为直线l的方向向量,故C错误;
对于D,在z轴所在直线上且垂直于坐标平面,
所以是坐标平面的一个法向量,故D正确.
故选:ABD.
10．答案：AC
解析：因为双曲线的渐近线的斜率小于,
所以,则,即,
,即,
故选:AC
11．答案：ABCD
解析：对于A,由方程组消去y,得①,
.
由,得.
此时方程①有两个不相等的实数根,直线l与椭圆C有两个不同的公共点.故A正确;
对于B,由,得,.此时方程①有两个相等的实数根,
直线l与椭圆C有且只有一个公共点.故B正确;
对于C,由,得,或.此时方程①没有实数根,直线l与椭圆C没有公共点.故C正确;
对于D,由选项A与选项B可知,D正确.
故选:ABCD
12．答案：/
解析：因为,所以数列是等差数列,公差,又,
所以.
故答案为:.
13．答案：4
解析：抛物线的准线为,过M作MB垂直于直线,垂足为B,作FA⊥MB于A,直线与x轴交于点K,如图:
则轴,即,四边形ABKF是矩形,中,,
由抛物线定义知,,而,
则,解得,
所以.
故答案为:4.
14．答案：
解析：如下图，连结，取中点P，连结，，则可知即为异面直
线，所成角（或其补角）易得，
，，
，即异面直线，所成角的余弦值为.
15．答案：（1）
（2）7
解析：（1）因为,
当时,,
所以,
又时,不满足上式,
故数列的通项公式为.
（2）当,,解得:,
当和时,,
所以取得最小值时,.
16．答案：（1）点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为实轴长的双曲线,理由见详解;
（2）见解析.
解析：（1）如图,连接,.
因为l为的垂直平分线,所以,
所以为定值,
又因为点A在圆外,所以,
根据双曲线定义,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为实轴长的双曲线.
（2）对于方程,
当时,方程为,即,表示x轴;
当时,方程为,即,表示y轴;
当且时,方程为,
若,即时,方程为圆,表示以原点为圆心的单位圆;
若,即或时,方程表示双曲线;
若且时,即且时,方程表示椭圆;
综上,当时,表示x轴;当时,表示轴;
时,方程表示以原点为圆心的单位圆;
或时,方程表示双曲线;且时,方程表示椭圆;
17．答案：（1）证明见解析
（2）当l过圆心时弦长最长;当l的方程为时最短;;最短弦长为
解析：（1）直线l的方程可化为
联立,解得
故直线l恒过定点
（2）当直线l过圆心C时,直线被圆截得的弦长最长
设,,当直线时,直线被圆截得的弦长最短
则直线的斜率为
由得直线l的斜率为,解得
此时l的方程为,即
圆心到直线的距离为
最短弦长
故当l过圆心时弦长最长;当l的方程为时最短;;最短弦长为
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由,,,,
得,,又,在中,
由余弦定理得,
所以,则,即,
所以,又平面,
所以平面,又平面,
故;
（2）连接,由,则,
在中,,得,
所以,由（1）知,又,、平面,
所以平面,又平面,
所以,则,,两两垂直,建立如图空间直角坐标系,
则,,,,,,
由是的中点,得,
所以,,,,
设平面和平面的一个法向量分别为,,
则,,
令,,得,,,,
所以,,
所以,
设平面和平面所成角为,则,
即平面和平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）
（2）直线l的方程为或.
解析：（1）由题意得,解得,
所以.
（2）法一:,则直线的方程为,即,
,由（1）知,
设点B到直线的距离为d,则,
则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可,
此时该平行线与椭圆的交点即为点B,
设该平行线的方程为:,
则,解得或,
当时,联立,解得或,
即或,
当时,此时,直线l的方程为,即,
当时,此时,直线l的方程为,即,
当时,联立得,
,此时该直线与椭圆无交点.
综上直线l的方程为或.
法二:同法一得到直线的方程为,
点B到直线的距离,
设,则,解得或,
即或,以下同法一.
法三:同法一得到直线的方程为,
点B到直线的距离,
设,其中,则有,
联立,解得或,
即或,以下同法一;
法四:当直线的斜率不存在时,此时,
,符合题意,此时,直线l的方程为,即,
当线的斜率存在时,设直线的方程为,
联立椭圆方程有,则,其中,即,
解得或,,,
令,则,则
同法一得到直线的方程为,
点B到直线的距离,
则,解得,
此时,则得到此时,直线l的方程为,即,
综上直线l的方程为或.
法五:当l的斜率不存在时,,,,A到距离,
此时不满足条件.
当l的斜率存在时,设,令,,
,消y可得,
,且,即,
,,
A到直线距离,,
或,均满足题意,或,即或.
法六:当l的斜率不存在时,,,,A到距离,
此时不满足条件.
当直线l斜率存在时,设,
设l与y轴的交点为Q,令,则,
联立,则有,
,
其中,且,
则,,
则,解的或,经代入判别式验证均满足题意.
则直线l为或,即或.