西宁市海湖中学2025届高三上学期第二次阶段测试数学试卷(含答案)

这是一份西宁市海湖中学2025届高三上学期第二次阶段测试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．在复平面内,复数z对应的点的坐标是,则z的共轭复数( )
A.B.C.D.
3．设,向量,,且,则( )
A.B.C.D.10
4．下列函数中,在区间上单调递增的是( )
A.B.
C.D.
5．已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,若,,则A等于( )
A.B.C.D.
6．函数其中,,的图象的一部分如图所示,则( )
A.,B.,
C.,D.,
7．在的展开式中,x的系数为( )
A.B.4C.D.6
8．已知定义在R上的奇函数满足,当时,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知m,n,l为空间中三条不同的直线,,,为空间中三个不同的平面,则下列说法中正确的是( )
A.若,,则,
B.若,,则m与n为异面直线
C.若,,,且,则
D.若,,,则
10．已知数列是公差为d的等差数列,是其前n项的和,若,,则( )
A.B.C.D.
11．已知点是函数的图象的一个对称中心,则( )
A.是奇函数
B.,
C.若在区间上有且仅有2条对称轴,则
D.若在区间上单调递减,则或
三、填空题
12．函数的定义域是_____________.
13．若,则曲线在处的切线方程为______________.
14．已知m,,,则的最小值为_______________.
四、解答题
15．已知函数,且.
(1)求a的值和的最小正周期;
(2)求在上的最大值和最小值.
16．已知数列是公差不为0的等差数列,,,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,设数列的前n项和为,求.
17．如图,在四棱锥中,,,,,.
(1)证明：平面.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)求证：当时,;
(3)过原点是否存在曲线的切线,若存在,求出切线方程;若不存在,说明理由.
19．已知椭圆的离心率为,点在C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点且斜率为k的直线交椭圆C于,两点,试用含k的代数式表示;
(3)在(2)的条件下,过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M,证明：线段PM的中点在定直线上.
参考答案
1．答案：B
解析：,得,即,
,得,即,,
所以.
故选：B.
2．答案：D
解析：z在复平面对应的点是,根据复数的几何意义,,
由共轭复数的定义可知,.
故选：D.
3．答案：C
解析：因为,所以,即,所以,
则,所以,
故选：C.
4．答案：C
解析：对于A,因为在上单调递增,在上单调递减,
所以在上单调递减,故A错误;
对于B,因为在上单调递增,在上单调递减,
所以在上单调递减,故B错误;
对于C,因为在上单调递减,在上单调递减,
所以在上单调递增,故C正确;
对于D,因为,,
显然在上不单调,D错误.
故选：C.
5．答案：C
解析：因为,由正弦定理可得,
又因为,由余弦定理得,
又因为,所以.
故选：C.
6．答案：B
解析：如图根据函数的图象可得：函数的周期为,
又,
,
当时取最大值,即,可得：,,
,,
,
,
故选：B.
7．答案：A
解析：的第项为：,
由得,
的展开式中x的系数为.
故选：A.
8．答案：A
解析：在R上的奇函数满足,则,
于是,即函数的周期为4,
而,则,,又当时,,
所以.
故选：A
9．答案：ACD
解析：对于A,显然,,又,则,,A正确;
对于B,由,,得m与n可能相交、可能平行、也可能为异面直线,B错误;
对于C,由,,,知点P在平面,,内,
即为平面,的公共点,而,因此,C正确;
对于D,由,,得,而,因此,D正确.
故选：ACD.
10．答案：ACD
解析：因为,所以,
所以,所以,
又因为,所以,故A正确;
,故B错误;
,故C正确;
因为,,
所以当时,,当时,,
所以,所以,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BC
解析：依题意,点是函数的图象的一个对称中心,
所以,且,,,①,B选项正确.
则,,
所以
,
由于是奇数,所以是偶函数,
A选项错误.
C选项,,,
将,
代入得：,
整理得,
由于在区间上有且仅有2条对称轴,
所以,解得,由于,所以,
对应,所以C选项正确.
D选项,在区间上单调递减,
,,,
将,
代入得：,
整理得,
则,解得,而,所以或,
时,,符合单调性,
时,,不符合单调性,所以舍去
所以,所以D选项错误.
故选：BC.
12．答案：.
解析：由题意得,
故答案为：.
13．答案：
解析：因为,所以,
令,得,解得,
所以,则,,
所以曲线在处的切线方程为,
即.
故答案为：.
14．答案：4
解析：因为m,,,
所以
,
当且仅当,即,时取等号.
故答案为：4.
15．答案：(1),
(2)最小值为,最大值为1
解析：(1)
,
因为,所以,所以,
所以,所以的最小正周期.
(2)当时,,
当,即时,,
当,即时,,
所以的最小值为,最大值为1.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,,,成等比数列,
所以,解得,
所以.
(2)因为,
所以,
所以,
所以.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：取的中点E,连接.因为,所以.
因为,,所以四边形是平行四边形,
所以,.
因为,,所以,所以.
因为,,所以.
因为,,,平面,且,所以平面.
(2)易证,,两两垂直,则以A为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系.

由题中数据可得,,,,
则,,.
设平面的法向量为,
则,令,得.
设直线与平面所成的角为,
则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：(1)极大值为1,无极小值
(2)证明见解析
(3)不存在,理由见解析
解析：(1),
则当时,,当时,,
即在上单调递增,在上单调递减,
故有极大值,无极小值;
(2)令,,
则,
由,则,故在上恒成立,
故在上单调递增,
则,
即当时,;
(3)不存在,理由如下：
假设曲线存在过原点的切线,且切点坐标为,
由,则该切线斜率为,
即该切线方程为,
即有,整理得,
,该方程无解,
故过原点不存在曲线的切线.
19．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)因为椭圆的离心率为,点在C上,
所以,
所以,,,
所以椭圆C的方程为.
(2)设过点且斜率为k的直线为：,即,
联立方程组,
所以,
因为,,所以,
所以
(3)设直线为,过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M,
所以,又因为,的中点,
于是,
所以,,,即.
则有,
又因为,
所以,
于是,
即,
即,即,
即点N在直线上.