忻城县高级中学2025届高三上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份忻城县高级中学2025届高三上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若复数z满足，则z的虚部是( ).
A.B.C.D.
2．下列命题中，真命题的是( ).
A.是空集
B.若，则
C.在中，若，则
D.若向量与的数量积大于0，则向量与所成角为锐角
3．在平行四边形ABCD中，，，，E是BC中点，则( ).
A.3B.-3C.D.
4．已知数据，，，…，，满足，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是( ).
A.若，则数据，，，…，的第75百分位数为7.5
B.平均数变小
C.方差不变
D.中位数不变
5．如图,一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分,将这些阴影部分裁下去,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为( )
A.B.C.D.
6．函数的图像经过点，则关于x的不等式解集为( )
A.B.
C.D.
7．设抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线E相交于A，B两点，，，则( ).
A.B.22C.D.2
8．函数.若对任意，都有，则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数的图像与函数的图像重合，则( ).
A.
B.直线是的图像的对称轴
C.在区间上单调递增
D.直线与有三个交点
10．已知直线和圆，则下列选项正确的是( )
A.直线l恒过点
B.圆M与圆有三条公切线
C.直线l被圆M截得的最短弦长为
D.当时，圆M上存在无数对关于直线l对称的点
11．已知函数，则( )
A.是函数的极小值点
B.存在3个不同的a值，使得函数有2个零点
C.有且仅有一个a值，使得曲线有对称轴
D.存在无数多个a值，使得曲线有对称中心
三、填空题
12．已知等比数列的前n项乘积为，若，则__________.
13．锐角满足，则__________.
四、双空题
14．甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有__________种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则__________.
五、解答题
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)D是线段上的点，且，，求的面积
16．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围
17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，与底面所成的角为，E为的中点
(1)求证：平面；
(2)若，G为的内心，求直线与平面所成角的正弦值
18．某项团体比赛分为两轮：第一轮由团队队员轮流与AI人工智能进行比赛若挑战成功，参加第二轮攻擂赛与上任擂主争夺比赛胜利现有甲队参加比赛，队中共3名事先排好顺序的队员参加挑战
(1)第一轮与对战，比赛的规则如下：若某队员第一关闯关成功，则该队员继续闯第二关，否则该队员结束闯关并由下一位队员接力去闯第一关，若某队员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位队员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有队员全部上场参加了闯关，该队挑战活动结束已知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为，，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响用X表示甲队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X的期望；
(2)甲队已经顺利进入第二轮，现和擂主乙队号队员进行比赛，规则为：双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛直到有一方队员全被淘汰，另一方获得胜利已知，甲队三名队员，，每场比赛的胜率分别为：，，p，若要求甲队获胜的概率大于，问是否满足？请说明理由
19．已知椭圆的离心率.
(1)若椭圆E过点，求椭圆E的标准方程
(2)若直线，均过点且互相垂直，直线交椭圆E于A，B两点，直线交椭圆E于C，D两点，M，N分别为弦和的中点，直线与x轴交于点，设.
(i)求；
(ii)记，求数列的前n项和.
参考答案
1．答案：C
解析：∵，
∴，
虚部为.
故选：C.
2．答案：C
解析：对于选项A中，不是空集，含有的集合，所以是假命题；
对于选项B中，若，，则，所以是假命题；
对于选项C中，在中，若，
则，则，所以该命题是真命题；
对于选项D，若，向量与的数量积大于0，
则向量与所成角为0不是锐角，所以是假命题
故选：C.
3．答案：A
解析：
由题知，
所以，
因为且为平行四边形,
所以，
所以
.
故选：A.
4．答案：D
解析：当时，
数据按从小到大顺序排列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
因为，
所以该组数据的第75百分位数是第8个数8，故A错误；
由于，
故,,,,,
原来的平均数为，
去掉，后的平均数为，
平均数不变，故B错误；
原来的方差为，
去掉，后的方差为，方差变小，故C错误；
原来的中位数与现在的中位数均为，
故中位数不变，故D正确；
故选：D.
5．答案：B
解析：作出四棱锥如图：
根据题意可得正四棱锥的斜高为,底面正方形的边长为6,
正四棱锥的高为,
设这个正四棱锥的内切球的球心为Q,半径为r,与侧面相切于N,
则高线与斜高的夹角为,则,
则,
,,
这个正四棱锥的内切球的体积为.
故选：B.
6．答案：B
解析：由函数的图像经过点，得，
则，
函数在上单调递减，在上单调递减，
则在R上单调递减，
又，
即函数是奇函数，
不等式，
则，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：B
7．答案：D
解析：设抛物线的焦点为F，
过点的直线与抛物线E相交于A，B两点，
易知直线斜率存在，设方程为，，，
联立，
可得，
所以，，
则.
因为，，
所以，，
则，
解得或.
因为,，所以.
故选：D
8．答案：A
解析：因为，
因为对任意，都有，
即恒成立，
令，
易知在定义域上单调递增，
所以在区间上恒成立，
也即在区间上恒成立，
令，则，
由，得到，由，得到，
即在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
所以，得到，
故选：A.
9．答案：AC
解析：因为，
又因为函数的图像
与函数的图像重合，
所以，
所以，
所以，，
对于A，，A正确；
对于B，，
直线不是的图像的对称轴，所以B不正确；
对于C,，
所以在区间上单调递增，所以C正确
对于D,因为，
所以当或,两个函数无交点，
设，
，单调递减，
所以当,
,
,
，单调递减，
所以直线与有一个交点，
综上，直线与有一个交点，所以D不正确
故选：AC.
10．答案：ACD
解析：对于A，由直线l的方程，
可知直线l恒经过定点，故A正确；
对于B，由圆M的方程，
可得圆心，半径，
又由，
由于，
所以圆M与圆相交，
圆M与圆有两条公切线，故B错误；
对于C，由，根据圆的性质，
可得当直线l和直线垂直时，此时截得的弦长最短，
最短弦长为，故C正确；
对于D，当时，直线，
将圆心代入直线l的方程，可得，
所以圆M上存在无数对关于直线l对称的点，故D正确，
故选:ACD.
11．答案：BCD
解析：由题意可知：函数的定义域为R，
且，
对于选项A：例如，则，
令，解得或；
令，解得；
可知在内单调递减，
在，内单调递增，
可知是函数的极大值点，故A错误；
对于选项B：因为，
可知0不为的零点，
令，
可得，
令，则，
若函数有2个零点，
则与有2个交点，
令，
则，
当，时，；
当或时，，
可知在，内单调递增，
在，内单调递减，
且，
当t趋近于时，趋近于，
当t趋近于时，趋近于，
由图像可得或或，
则或或，
即存在3个不同的a值，使得函数有2个零点，故B正确；
对于选项C：若曲线有对称轴，设为，
则，
即，
整理可得，
结合x的任意性可知，
解得，
所以有且仅有一个a值，使得曲线有对称轴，故C正确；
对于选项D：若，
则，
所以的对称中心为，
即存在无数多个a值，使得曲线有对称中心，故D正确；
故选：BCD.
12．答案：1
解析：因为，即，
显然，所以，
则，
故.
故答案为：1
13．答案：
解析：由题意可知，，
又，
且为锐角，所以，
即.
故答案为：
14．答案：30；
解析：依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共种，
其中甲、乙参加同一项目的方案种，
则所求的参赛方案一共有种；
因为甲、乙两人不能参加同一项目，
所以丙、丁两人不能参加同一项目，
则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，
这里有种方案，
若甲单独选择跳台滑雪，
则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一，
故总共有种不同的方案；
若甲和一人一起选择跳台滑雪，
则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目，
故共有种不同的方案；
同理，乙单独选择跳台滑雪，有种不同的方案；
乙和一人共同选择跳台滑雪，有种不同的方案，总共有16种方案
所以.
故答案为：30；.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，
由正弦定理得.
因为，所以，
所以，
即.
因为，所以，即.
(2)设，因为，
所以.
因为，所以，
，，
在中，由正弦定理可知，
即，
即，
化简可得，
即，,
所以.
16．答案：(1)
(2).
解析：(1)当时，函数，
求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
(2)函数的定义域为，
求导得，
当时，，由，
得，由，得，
则函数在上递增，在上递减，
函数只有极大值，不合题意；
当时，由，得或，
①若，即，由，
得或，由，得，
则函数在，上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；
②若，即，由，
得或，由，得，
则函数在，上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；
③若，即，由在上恒成立，
得在上递增，
函数无极值，不合题意，
所以a的取值范围为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为平面
平面，所以，
因为与平面所成的角为
平面，
所以，且，
所以，
又E为的中点，所以，
因为四边形为正方形，所以，
又，，
，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，
，平面，
所以平面.
(2)因为底面为正方形，G为的内心，
所以G在对角线上
如图，设正方形的对角线的交点为O，
所以，
所以，
所以，
所以，
又因为，所以.
由题意知，，两两垂直，
以，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系.
所以，由(1)知，
所以，，
所以.
又因为平面，
所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则.
18．答案：(1)
(2)符合题意，理由见解析
解析：(1)X的所有可能取值为1，2，3.
1个人的情况为：1号胜胜，则概率为，
2个人的情况为：1号负2号胜或1号胜负2号胜，
概率为，
3个人的概率，
所以分布列为：
所以.
(2)分三种情况：
第一，一人全胜，该事件的概率设为，则，
第二，，两人参赛获胜，该事件的概率设为，
则，
第三，，，三人参赛获胜，该事件的概率设为，
则
由，
所以要甲队获胜的概率大于，
即，
化简得：
当，代入可得：，成立.
19．答案：(1)
(2)(i)
(ii).
解析：(1)因为，，所以，
所以椭圆E的方程为，
因为椭圆E过点，
所以，解得，
所以椭圆E的方程为.
(2)(i)当直线，中一条直线的斜率不存在，
另一条直线的斜率为0时，直线与x轴重合，不符合题意.
故直线，的斜率均存在且不为0.
设直线的方程为，
，，，
联立方程，
消去y并整理得，
因为直线与椭圆相交于两个不同的交点，所以，
根据韦达定理得，，
则，
同理可得，
因为M，N，Q三点共线，
所以，
易知，
则，
因为，所以.
(ii)结合(i)可知，
所以，
所以数列是首项为9，公比为3的等比数列，
所以数列的前n项和.
X
1
2
3
P