郑州外国语学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份郑州外国语学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线l过点，，且直线l的倾斜角为，则( )
A.0B.2C.4D.6
2．无论为何值，直线过定点( )
A.B.C.D.
3．在棱长为1的正方体中，O为平面的中心，E为的中点以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量( )
A.B.C.D.
4．如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为( )
A.B.C.D.
5．已知双曲线经过点，，则其标准方程为( )
A.B.
C.D.或
6．已知椭圆的离心率为，则( )
A.B.或C.8或2D.8
7．已知直线与圆相交于A，B两点，当面积最大时，实数a的值为( )
A.1或-1B.或C.或-1D.或
8．已知双曲线的左､右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．圆和圆的交点为A，B，则有( )
A.公共弦所在直线方程为
B.线段中垂线方程为
C.公共弦的长为
D.P为圆上一动点，则P到直线距离的最大值为
10．已知正方体的棱长为1，点E满足（，），下列说法正确的是( )
A.若，则与垂直
B.三棱锥的体积恒为
C.若，，平面与平面夹角的余弦值为
D.若，，则点到平面的距离为
11．已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则( )
A.直线与抛物线C相切
B.
C.若P是线段的中点，则
D.存在直线l，使得
三、填空题
12．若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则__________.
13．若圆上有且只有两个不同的点到直线的距离等于2，则r的取值范围是__________.
14．设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为__________.
四、解答题
15．已知直线的方程为，若直线在y轴上的截距为，且.
(1)求直线和的交点坐标；
(2)已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程
16．已知圆.
(1)若线段端点B的坐标是，端点A在圆O上运动，求线段的中点D的轨迹方程；
(2)设点P是直线上的一点，过点P作圆O的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标
17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面；
(3)求直线与平面所成角的大小
18．已知椭圆和抛物线.从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，，，
(1)求椭圆C和抛物线E的方程；
(2)设m为实数，已知点，直线与抛物线E交于A，B两点记直线，的斜率分别为，，判断是否为定值，并说明理由
19．在平面直角坐标系中，过椭圆外一动点P作E的两条切线，且.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)对于给定非空点集M，N，若M中的每个点在N中都存在一个与它之间距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.已知直线l与曲线C相交于A，B两点，若M，N分别是线段和曲线C上所有点构成的集合，Q为曲线C上一点，当的面积最大时，求.
参考公式，四元均值不等式，，，，当且当时取到等号
参考答案
1．答案：C
解析：设直线l的斜率为，
所以，
则
故选：C
2．答案：A
解析：由
得：，
由
得
∴直线恒过定点.
故选：A.
3．答案：B
解析：由题意得，
则，
所以为直线的一个方向向量
故选：B
4．答案：D
解析：以C为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，
则，
则与所成的角的余弦值为
.
故选：D
5．答案：A
解析：设双曲线方程为，
则，
解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：A.
6．答案：C
解析：椭圆的离心率为，
当椭圆焦点在x轴上时，，解得，
当椭圆焦点在y轴上时，，解得.
故选：C.
7．答案：A
解析：的圆心为，半径为1，
圆心到直线的距离，
故，
则的面积，
当且仅当，即时，等号成立，
即，解得.
故选：A
8．答案：D
解析：设与y轴交点为Q，连接，
由对称性可知，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
在中，，
所以，
所以，
由，且三角形内角和为，
所以，
所以，
即，
则，
综上：.
故选：D.
9．答案：BD
解析：把两圆化为标准方程，圆的圆心，半径，
的圆心，半径，
则有，
即圆与圆相交，
对于A，将方程与相减，
得公共弦AB所在直线的方程为，即，A错误；
对于B，由选项A知，直线的斜率，
则线段AB中垂线的斜率为-1，
而线段中垂线过点，
于是线段AB中垂线方程为，
即，B正确；
对于C，点到直线的距离为，
因此，C错误；
对于D，P为圆上一动点，
圆心到直线的距离为，
因此点P到直线AB距离的最大值为，D正确
故选：BD
10．答案：ACD
解析：A.若，则点E在上且E不与D重合，
建立如下空间直角坐标系：
，，，
，
，
，，，故A正确
B.由（，），
可知点E在平面上，
则点E到平面的距离恒为1，
故三棱锥的体积恒为，故B错误
C.若，，
则E为的中点，由上图，
则，，，.
设平面的法向量为，，
，，
则
令，则，
易知是平面的一个法向量，
，故C正确
D.设点到平面的距离为d，则，
即点到平面的距离为，故D正确综上，
故选：ACD.
11．答案：AC
解析：因为点在抛物线上，
所以，解得，
即抛物线方程为，焦点.
对于A：直线的方程为，即，
因为，解得，
所以直线与抛物线C相切点，故A正确；
对于B：设过点B的直线为l，若直线l与y轴重合，
则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意；
所以直线l的斜率存在，设其方程为，
，
由，得，
则，即或，
于是，
又，
所以，故B错误；
对于C：由焦半径公式可得，
因为P是线段的中点，
所以，整理得，
即，故C正确；
对于D：若，
则，得
所以，
即，解得，
此时，则直线l与抛物线相切，故D错误
故选：AC.
12．答案：
解析：由得，
所以准线方程为，
因为点与焦点的距离等于2，
所以点与准线的距离等于2，
即，解得，
故答案为：.
13．答案：
解析：圆的圆心为，半径为r，
圆心到直线的距离，
又圆上
有且只有两个不同的点到直线的距离等于2，
所以，
即，
所以r的取值范围是.
故答案为：
14．答案：
解析：以所在的平面建立直角坐标系，为x轴，的中垂线为y轴：
则，，，
设，由，
可得：，
整理得到：，
故点P在平面的轨迹是以为圆心，半径的圆，
转化到空间中：当P绕为轴旋转一周时，，不变，依然满足，
故空间中点P的轨迹为以C为球心，
半径为2的球，同时点P在球O上，
故点P在两球的交线，为圆球心距为
，
所以为直角三角形，
对应圆的半径为，
周长为
故答案为：
15．答案：(1)
(2)或.
解析：(1)因为，又直线的斜率,
所以直线的斜率,则.
由
所以直线和的交点坐标为.
(2)由题意知的斜率k存在，设
令得，
令得，
因为直线与两坐标轴的正半轴相交，
所以，解得，
，
解得或，
即或.
16．答案：(1)
(2)坐标为，面积最小值为2
解析：(1)设，中点，
则，
得，
代入圆中，
化简得圆.
(2)设，由圆的几何性质可知，
所以当时，d最小，的面积取最小值
又因为，
所以直线的方程为.
则，
即点P的坐标为.
此时的面积最小值为.
17．答案：(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
解析：(1)连接BD交AC与O，连接，如图所示：
因为M，O分别是边PD，BD的中点，
则MO为的中位线，
所以，因为平面，
平面，所以平面.
(2)因为侧面底面，
平面底面，
，所以平面，所以，
因为侧面是正三角形，M是的中点，所以，
因为，平面，
平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
(3)过点P作PF垂直于AD，
因为侧面底面，
平面底面，
所以平面，
又底面是正方形，在F点建立空间直角坐标系，
取的中点E，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
设底面正方形的边长为2，
则，，，
由第二问可知，即为平面的法向量，，，
，
直线与平面所成角的大小为.
18．答案：(1)，
(2)为定值-12，理由见解析
解析：(1)将四个点代入抛物线方程解得p的值分别为，，
，
注意到，对应的p一样，
，在抛物线上，
故抛物线E方程为.
故，为椭圆上的点，
则，
椭圆C方程；
(2)是定值，理由如下：
设，
则
由韦达定理：，
又因为，
所以，
同理
所以为定值-12.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)当，的斜率不存在或者为0时，
由题意可知点P的坐标为或；
当切线的斜率存在且不为0时，
设过作椭圆的切线的斜率为k，
则切线的方程为，将其与椭圆方程联立，
并化简得
由题意得，，
设，的斜率分别为，，
则，是上式的两个根，且，
所以，则，
又，则，
即，
|注意到，均满足方程，
则动点P的轨迹C的方程为；
(2)过圆心O作直线的垂线，垂足为E，
设，
则，
由题意，
又
当且仅当，
即时，等号成立，此时，
对于线段上的任何一个点T，
曲线C上与T距离最近的点为射线与圆的交点，
距离的最小值为，又因为，
所以
由题意得，.