第01讲 5.1导数的概念及其几何意义（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）（原卷及解析版）

这是一份第01讲 5.1导数的概念及其几何意义（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）（原卷及解析版），文件包含第01讲51导数的概念及其几何意义知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练原卷版docx、第01讲51导数的概念及其几何意义知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。

知识点01：函数的平均变化率
1、定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为
2、求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即.
【即学即练1】（24-25高二下·全国·随堂练习）如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间0,2上的平均变化率为 ．

3、平均变化率的几何意义
平均变化率如图：表示直线的斜率。
知识点02：函数在处的导数（瞬时变化率）
1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
【即学即练2】（22-23高二·全国·随堂练习）物体在自由落体运动中，根据，估算物体在时的瞬时速度．
2、定义法求导数步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：.
知识点03：导数的几何意义
如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率
【即学即练3】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）设，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A．B．C．1D．4
知识点04：曲线的切线问题
1、在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【即学即练4】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2、过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【即学即练5】（24-25高二下·全国·课后作业）过点且与曲线相切的直线的方程为 ．
题型01 求物体运动的平均速度(含平均变化率）
【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）某辆汽车每次加油都把油箱加满﹐下表记录了该车相邻两次加油时的情况（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程）．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
A．6升B．8升C．10升D．12升
【典例2】（23-24高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）已知函数，分别计算在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快；
（2）已知函数，求在区间上的平均变化率．
【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为（单位：米），则列车运行10秒的平均速度为（ ）
A．10米/秒B．8米/秒C．4米/秒D．0米/秒
【变式2】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（24-25高二下·全国·课堂例题）已知函数．
(1)求函数在区间上的平均变化率；
(2)求函数在区间上的平均变化率．
题型02求物体运动的瞬时速度（含瞬时变化率）
【典例1】（23-24高二下·福建厦门·期中）如果质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（24-25高三·上海·课堂例题）质点的运动规律为，则质点在时的瞬时速度为 ．
【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）子弹在枪筒中的运动可以视为匀加速直线运动，运动方程为，如果它的加速度是，子弹在枪筒中的运动时间为，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以的速度向外扩大，则从水滴接触水面后末时圆面积的变化速率为 ．
【变式2】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为 m/s．
【变式3】（25-26高三上·上海·单元测试）一质点按规律运动，
(1)求其在时间段[1,2]内的平均速度；
(2)求其在时的瞬时速度．
题型03曲线在某点处的切线斜率
【典例1】（23-24高二下·浙江·期中）已知，则（ ）
A．1B．2C．D．
【典例2】（23-24高二下·河北承德·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A．0B．C．1D．
【典例3】（23-24高二·全国·课后作业）已知函数f(x)＝x2＋，则＝ .
【变式1】（23-24高二下·湖南湘潭）已知函数，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【变式2】（23-24高二下·重庆江津·阶段练习）设存在导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为
A．B．C．1D．2
【变式3】（23-24高一下·陕西西安）已知，则处的切线斜率是 .
题型04导数定义的理解与应用
【典例1】（23-24高二下·江西萍乡·期中）设在R上的导函数为f′x，若，则（ ）
A．−2B．2C．D．6
【典例2】（25-26高三上·上海·单元测试）对于函数，若，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（ ）．
A．B．
C．D．
【典例3】（23-24高二下·山东·阶段练习）设函数在上可导，且，则等于（ ）
A．1B．C．D．0
【变式1】（23-24高二下·河北保定·期末）若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （ ）
A．B．C．D．6
【变式2】（23-24高一下·甘肃兰州·期末）已知函数在处的导数为1，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【变式3】（23-24高二下·陕西渭南·期中）设函数在处可导，以下有关的值的说法中不正确的是（ ）
A．与，都有关B．仅与有关而与无关
C．仅与有关而与无关D．与，均无关
题型05求切线方程
【典例1】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A．1B．3C．6D．9
【典例2】（24-25高三·上海·课堂例题）曲线在点处的切线方程是 .
【典例3】（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，求：
(1)点处的切线的斜率；
(2)点处的切线方程.
【变式1】（22-23高二下·安徽马鞍山·期中）设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为 ．
【变式2】（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数y=fx，其中的图象在点处的切线的斜率为 ．
【变式3】（23-24高二下·河南驻马店·期中）已知曲线，求：
(1)的导数；
(2)曲线在点处的切线方程.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
1．（24-25高二下·全国·课后作业）汽车在笔直公路上行驶，如果表示t时刻的速度，则当d趋近于0时，的意义是（ ）
A．表示当时汽车的瞬时加速度B．表示当时汽车的瞬时速度
C．表示当时汽车的路程变化率D．表示当时汽车与起点的距离
2．（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在处可导，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·福建龙岩·期中）若函数，则函数从到的平均变化率为（ ）
A．6B．3C．2D．1
4．（24-25高二下·全国·课后作业）某物体做直线运动，其运动规律是（t的单位是秒，s的单位是米），则它在4秒末的瞬时速度等于（ ）
A．米/秒B．米/秒C．米/秒D．0米/秒
5．（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（ ）
A．B．6C．3D．
6．（23-24高二下·广东茂名·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．（24-25高三·上海·随堂练习）某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（ ）．
A．是物体从开始到这段时间内的平均速度
B．
C．是物体在这一时刻的瞬时速度
D．是物体从到这段时间内的平均速度
8．（23-24高二下·四川广元·期中）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（ ）
A．前内球滚下的垂直距离的增量B．在时间内球滚下的垂直距离的增量
C．前内球在垂直方向上的平均速度为D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为
三、填空题
9．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数在处的切线方程为，则 ．
四、解答题
10．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数在上的平均变化率是函数在上的平均变化率的3倍，求实数m的值．
11．（24-25高三·上海·课堂例题）（1）当球的半径从1增加到2时，求球的体积相对于半径的平均变化率；
（2）当球的半径时，求球的体积相对于半径的瞬时变化率.
B能力提升
1．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知，则（ ）
A．B．2C．D．
2．（23-24高三上·上海·期中）设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”.
(1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由;
(2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由.
(3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有.
课程标准
学习目标
①初步了解导数概念的背景，掌握平均变化率与瞬时变化率的概念及几何意义。
②会求函数的平均变率与瞬时变化率。
③能结合实际问题求曲线在某点处与某点附近点的切线与割线的斜率的极限值。
通过本节课的学习，要求会求函数的平均变化率与瞬时变化率.
加油时间
加油量（升）
加油时累计里程（千米）
10月1日
12
35000
10月15日
60
35600