2022-2023学年广东省广州市花都区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市花都区九年级（上）期末数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3 分）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是()
A． B． C． D．
2．（3 分）下列事件中，必然事件是()
A．抛掷一枚骰子，出现 4 点向上B．四边形的内角和为360
C．抛掷一枚硬币，正面朝上D．明天会下雨
3．（3 分）用配方法解一元二次方程 x2  4x  1  0 时，此方程可变形为()
A． (x  2)2  1
B． (x  2)2  1
C． (x  2)2  5
D． (x  2)2  5
4．（3 分）如图，在RtABC 中， C  90 ， AC  3 ， BC  4 ，则cs A 的值为()
4
5
3
4
3
5
4
3
5．（3 分）关于二次函数 y  (x  4)2  3 的最值，下列说法正确的是()
A．有最小值 3B．有最小值 4C．有最大值 3D．有最大值 4
6．（3 分）如图， AB 为O 的直径， C ， D 是O 上位于 AB 两侧的点，若ABD  50 ，则BCD 的大小为()
A． 40B． 50C． 60D． 70
7．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2  2x  k  0 没有实数根，则 k 的取值范围是()
k  1
k1
k  1
k1
8．（3 分）已知反比例函数 y  6 ，下列说法中正确的是()
x
A．该函数的图象分布在第一、三象限B．点(4, 3) 在函数图象上
C． y 随 x 的增大而增大
D．若点(2, y1 ) 和(1, y2 ) 在该函数图象上，则 y1  y2
9．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中， AB  3 ， BC  10 ，点 E 在 BC 边上， DF  AE ，垂足为 F ．若 DF  6 ，则线段 EF 的长为( )
A．1B．2C．3D．4
10．（3 分）在同一平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y  ax 与二次函数 y  ax2  | a | 的图象可能是( )
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分，）
11．（3 分）坐标平面内的点 P(m, n) 与点Q(2, 4) 关于原点对称，则 m  n  ．
12．（3 分）在一个不透明的箱子中，装有白球、红球共 30 个，这些球的形状、大小、质地等完全相同．小华通过多次试验后发现，从盒子中摸出红球的频率是 0.2，那么可以估计盒子中红球的个数是 ．
13．（3 分）如图，在ABC 中，点 D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点，若ADE 的面积为 2，则ABC 的面积为．
14．（3 分） 已知 x  1 是一元二次方程 x2  mx  n  0 的一个根， 则 m2  2mn  n2 的值为．
15．（3 分）如图，在 4  4 的正方形网格图中，已知点 A 、 B 、C 、D 、O 均在格点上，其中 A 、 B 、 D 又在O 上，点 E 是线段CD 与O 的交点．则BAE 的正切值为．
16．（3 分）如图，四边形 ABCD 中， AB / /CD ， AC  BC ， DAB  60 ， AD  CD  4 ，点 M 是四边形 ABCD 内的一个动点，满足AMD  90 ，则MBC 面积的最小值为．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（4 分）解方程： x2  2x  8  0 ．
18．（4 分）如图， ABC 为等边三角形，将 AC 边绕点C 顺时针旋转 40 ，得到线段CD ，连接 BD ，求CBD 的度数．
19．（6 分）为了推进学校与社区融合发展，光明社区开通公众号进行免费线上公益直播授课，9 月份该公众号关注人数为 2 万人，11 月份该公众号关注人数达到 2.88 万人．若从 9
月份到 11 月份，每月该公众号关注人数的平均增长率都相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．
20．（6 分）如图，利用标杆 BE 测量建筑物的高度，如果标杆 BE 高1.2m ，测得 AB  1.6m ，
BC  12.4m ，楼高CD 是多少？
21．（8 分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．
本次调查的学生共有 人，估计该校 1200 名学生中“不了解”的人数是 人；
“非常了解”的 4 人有 A1 ， A2 两名男生， B1 ， B2 两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
22．（10 分）如图，在ABC 中， C  90 ， BAC 的平分线交 BC 于点 D ，过点 D 作 AD
的垂线交 AB 于点 E ．
请画出ADE 的外接圆O （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
求证： BC 是O 的切线；
23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 B 、C 在 x 轴的正半轴上，AB  8 ，
BC  6 ．对角线 AC ，BD 相交于点 E ，反比例函数 y  k (x  0) 的图象经过点 E ，分别与 AB ，
x
CD 交于点 F ， G ．
若OC  10 ，求 k 的值；
连接 EG ，若 BF  BE  11 ，求CEG 的面积．
24．（12 分）已知抛物线 y  x2  (2a 1)x  2a(a 是常数）．
证明：该抛物线与 x 轴总有交点；
设该抛物线与 x 轴的一个交点为 A(m, 0) ，若8  m 5 ，求 a 的取值范围；
在（2）的条件下，若 a 为整数，将抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折．其余部分保持不变，得到一个新图象G ，请你结合新图象，探究直线 y  kx  2(k 为常数）与新图象G 公共点个数的情况．
25．（12 分）如图，四边形 ABCD 为平行四边形，以 AD 为直径的O 交 AB 于点 E ，连接 DE ，
DA  5 ， DE  4 ， DC  8 ．过点 E 作直线l ，过点C 作CH  l ，垂足为 H ．
求sin ADE 的值；
若l / / AD ，且 1 与O 交于另一点 F ，求 EF 的长；
过点 A 作 AM  l ，垂足为 M ，当直线l 绕点 E 旋转时，求CH  5 AM 的最大值．
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2022-2023 学年广东省广州市花都区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。）
1．（3 分）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是()
A． B． C． D．
【解答】 A 、抛掷一枚骰子，出现 4 点向上是随机事件，故选项错误，不符合题意；
B 、四边形的内角和为360 是必然事件，故选项正确，符合题意；
C 、抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故选项错误，不符合题意；
D 、明天会下雨是随机事件，故选项错误，不符合题意； 故选： B ．
3．（3 分）用配方法解一元二次方程 x2  4x  1  0 时，此方程可变形为()
【解答】解： A ．不是中心对称图形；
B ．是中心对称图形；
C ．不是中心对称图形；
D ．不是中心对称图形；
故选： B ．
2．（3 分）下列事件中，必然事件是(
)
A．抛掷一枚骰子，出现 4 点向上
B．四边形的内角和为360
C．抛掷一枚硬币，正面朝上
D．明天会下雨
A． (x  2)2  1
B． (x  2)2  1
C． (x  2)2  5
D． (x  2)2  5
【解答】解：一元二次方程 x2  4x  1  0 ， 移项得： x2  4x  1 ，
配方得： x2  4x  4  5 ， 变形得： (x  2)2  5 ． 故选： C ．
4．（3 分）如图，在RtABC 中， C  90 ， AC  3 ， BC  4 ，则cs A 的值为()
4
5
3
4
3
5
4
3
【解答】解：C  90 ， AC  3 ， BC  4 ，
 AB  5 ，
cs A  AC ，  3 ．
AB5
故选： C ．
5．（3 分）关于二次函数 y  (x  4)2  3 的最值，下列说法正确的是()
A．有最小值 3B．有最小值 4C．有最大值 3D．有最大值 4
【解答】解：二次函数 y  (x  4)2  3 ， a  1  0 ，
该函数图象开口向下，有最大值，当 x  4 取得最大值 3， 故选： C ．
6．（3 分）如图， AB 为O 的直径， C ， D 是O 上位于 AB 两侧的点，若ABD  50 ，
则BCD 的大小为()
A． 40B． 50C． 60D． 70
【解答】解： AB 为O 的直径，
ADB  90 ，
A  90  ABD  90  50  40 ，
BCD  A  40 ． 故选： A ．
7．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2  2x  k  0 没有实数根，则 k 的取值范围是()
k  1
k1
k  1
k1
【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2  2x  k  0 没有实数根，
△  0 ，即(2)2  4 1 (k)  0 ，解得 k  1 ，
 k 的取值范围是 k  1 ． 故选： C ．
8．（3 分）已知反比例函数 y  6 ，下列说法中正确的是()
x
A．该函数的图象分布在第一、三象限B．点(4, 3) 在函数图象上
C． y 随 x 的增大而增大
D．若点(2, y1 ) 和(1, y2 ) 在该函数图象上，则 y1  y2
【解答】解： A 、 k  6  0 ，函数的图象在第一、三象限，选项说法正确，符合题意；
B 、因为3 (4)  12  6 ，所以点(4, 3) 不在函数图象上，选项说法错误，不符合题意；
C 、 k  6  0 ，在每个象限内， y 随着 x 的增大而减小，选项说法错误，不符合题意；
D 、k  6  0 ，在每个象限内， y 随着 x 的增大而减小，因为2  1  0 ，则 y1  y2 ，选项说法错误，不符合题意；
故选： A ．
9．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中， AB  3 ， BC  10 ，点 E 在 BC 边上， DF  AE ，垂足为 F ．若 DF  6 ，则线段 EF 的长为()
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：四边形 ABCD 为矩形，
 AB  CD  3 ， BC  AD  10 ， AD / / BC ，
AEB  DAF ，
AFD∽EBA ，
 AF  AD  DF ，
BEAEAB
 DF  6 ，
AD2  DF 2
102  62
 AF  8 ，
 8  10
 6 ，
BEAE3
 AE  5 ，
 EF  AF  AE  8  5  3 ． 故选： C ．
10．（3 分）在同一平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y  ax 与二次函数 y  ax2  | a | 的图象可能是()
A． B．
C． D．
【解答】解： A 、由一次函数的图象可知 a  0 ，由二次函数的图象可知 a  0 ，两结论相矛盾，不符合题意；
B 、由一次函数的图象可知 a  0 ，由二次函数的图象可知 a  0 ，  | a | 0 ，两结论一致， 符合题意；
C 、由一次函数的图象可知 a  0 ，由二次函数的图象可知 a  0 ，顶点坐标为(0,  | a |) ，
 | a | 0 ，函数图象顶点应在原点或 y 轴负半轴，所以二次函数图象错误，不符合题意；
D 、由一次函数的图象可知 a  0 ，由二次函数的图象可知 a  0 ，两结论相矛盾，不符合题意．
故选： B ．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分，）
11．（3 分）坐标平面内的点 P(m, n) 与点Q(2, 4) 关于原点对称，则 m  n  2．
【解答】解：点 P(m, n) 与点Q(2, 4) 关于原点对称，
 m  2 ， n  4 ，
 m  n  2  4  2 ． 故答案为：2．
12．（3 分）在一个不透明的箱子中，装有白球、红球共 30 个，这些球的形状、大小、质地等完全相同．小华通过多次试验后发现，从盒子中摸出红球的频率是 0.2，那么可以估计盒子中红球的个数是 6 个 ．
【解答】解：估计盒子中红球的个数是30  0.2  6 （个) ，
故答案为：6 个．
13．（3 分）如图，在ABC 中，点 D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点，若ADE 的面积为 2，则ABC 的面积为 8 ．
【解答】解： D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点，
 DE / / BC ， DE  1 BC ，
2
ADE  B ， AED  C ，
ADE∽ABC ，
 SADE  ( DE )2 ，
SABCBC
 SADE  2 ，
 SABC  4SADE  4  2  8 ．
故答案为：8．
14．（3 分）已知 x  1 是一元二次方程 x2  mx  n  0 的一个根，则 m2  2mn  n2 的值为
1．
【解答】解： x  1是一元二次方程 x2  mx  n  0 的一个根，
1  m  n  0 ，
 m  n  1 ，
m2  2mn  n2  (m  n)2  12  1．
故答案为 1．
15．（3 分）如图，在 4  4 的正方形网格图中，已知点 A 、 B 、C 、D 、O 均在格点上，其
中 A 、 B 、 D 又在O 上，点 E 是线段CD 与O 的交点．则BAE 的正切值为1．
2
【解答】解：由题意可得， BDE  BAE ， 在RtBDC 中， DBC  90 ，
tan BDC  BC  2  1 ，
BD42
tan BAE  1 ．
2
故答案为： 1 ．
2
16．（3 分）如图，四边形 ABCD 中， AB / /CD ， AC  BC ， DAB  60 ， AD  CD  4 ，点 M 是四边形 ABCD 内的一个动点， 满足 AMD  90 ， 则 MBC 面积的最小值为
3
6 4 ．
【解答】解：取 AD 的中点O ，连接OM ，过点 M 作 ME  BC 交 BC 的延长线于 E ，过点O
作OF  BC 于 F ，交CD 于G ，则OM  MEOF ．
AMD  90 ， AD  4 ， OA  OD ，
OM  1 AD  2 ，
2
 AB / /CD ，
GCF  B  60 ，
DGO  CGF  30 ，
 AD  BC ，
DAB  B  60 ，
ADC  BCD  120 ，
DOG  30  DGO ，
 DG  DO  2 ，
CD  4 ，
CG  2 ，
3
3
3
OG  2OD  cs 30  2， GF ， OF  3，
3
MEOF  OM  3 2 ，
3
3
当O ， M ， E 共线时， ME 的值最小，最小值为3 2 ，
3
MBC 面积的最小值 1  4  (3
2
 2)  6
 4 ．
3
故答案为： 6
 4 ．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（4 分）解方程： x2  2x  8  0 ．
【解答】解： x2  2x  8  0 (x  2)(x  4)  0
x  2  0 ， x  4  0
x1  2 ， x2  4
18．（4 分）如图， ABC 为等边三角形，将 AC 边绕点C 顺时针旋转 40 ，得到线段CD ，连接 BD ，求CBD 的度数．
【解答】解：ABC 是等边三角形，
 AB  AC  BC ， ABC  ACB  60 ，
将 AC 边绕点C 顺时针旋转 40 ，
ACD  40 ， AC  CD  BC ，
BCD  100 ，
CBD  D  40 ．
19．（6 分）为了推进学校与社区融合发展，光明社区开通公众号进行免费线上公益直播授课，9 月份该公众号关注人数为 2 万人，11 月份该公众号关注人数达到 2.88 万人．若从 9
月份到 11 月份，每月该公众号关注人数的平均增长率都相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．
【解答】解：设该公众号关注人数的月平均增长率为 x ， 根据题意得： 2(1  x)2  2.88 ，
解得： x1  0.2  20% ， x2  2.2 （不符合题意，舍去），
答：该公众号关注人数的月平均增长率为 20% ．
20．（6 分）如图，利用标杆 BE 测量建筑物的高度，如果标杆 BE 高1.2m ，测得 AB  1.6m ，
BC  12.4m ，楼高CD 是多少？
【解答】解： EB  AC ， DC  AC ，
 EB / /CD ，
ABE∽ACD ，
 BE  AB ，
CDAC
 BE  1.2m ， AB  1.6m ， BC  12.4m ，
 AC  AB  BC  14m ，
 1.2  1.6 ，
CD14
CD  10.5m ．
答：楼高CD 是10.5m ．
21．（8 分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．
本次调查的学生共有 50人，估计该校 1200 名学生中“不了解”的人数是人；
“非常了解”的 4 人有 A1 ， A2 两名男生， B1 ， B2 两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【解答】解：（1） 4  8%  50 （人) ，
1200  (1  40%  22%  8%)  360 （人) ；
故答案为：50，360；
（2）画树状图，共有 12 种可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有 8 个，
 P （恰好抽到一男一女的）  8  2 ．
123
22．（10 分）如图，在ABC 中， C  90 ， BAC 的平分线交 BC 于点 D ，过点 D 作 AD
的垂线交 AB 于点 E ．
请画出ADE 的外接圆O （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
求证： BC 是O 的切线；
【解答】（1）解：如图 1 所示， O 即为所求；
（2）证明：如图 2，连接OD ，
 AD 平分CAB ，
CAD  OAD ，
 OA  OD ，
OAD  ODA ，
CAD  ODA ，
OD / / AC ，
C  90 ，
OD  BC ，
 OD 为O 的半径，
 BC 是O 的切线．
23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 B 、C 在 x 轴的正半轴上，AB  8 ，
BC  6 ．对角线 AC ，BD 相交于点 E ，反比例函数 y  k (x  0) 的图象经过点 E ，分别与 AB ，
x
CD 交于点 F ， G ．
若OC  10 ，求 k 的值；
连接 EG ，若 BF  BE  11 ，求CEG 的面积．
【解答】解：（1）矩形 ABCD 的顶点 B ， AB  8 ， BC  6 ，而OC  10 ，
 B(4, 0) ， A(4,8) ， C(10, 0) ， D(10,8) ，
对角线 AC ， BD 相交于点 E ，
点 E 为 AC 的中点，
 E(7, 4) ，
把 E(7, 4) 代入 y  k ，得 k  7  4  28 ；
x
62  82
（2） AC 
 BE  EC  5 ，
 BF  BE  11，
 BF  6 ，
 10 ，
设OB  t ，则 F (t, 6) ， E(t  3, 4) ，
反比例函数 y  k (x  0) 的图象经过点 E 、 F ，
x
 6t  4(t  3) ，解得t  6 ，
 k  6t  36 ，
反比例函数解析式为 y  36 ，
x
OC  12 ．
当 x  12 时， y  36  3 ，
12
G(12, 3) ，
CEG 的面积 1  3  3  9 ．
22
24．（12 分）已知抛物线 y  x2  (2a 1)x  2a(a 是常数）．
证明：该抛物线与 x 轴总有交点；
设该抛物线与 x 轴的一个交点为 A(m, 0) ，若8  m 5 ，求 a 的取值范围；
在（2）的条件下，若 a 为整数，将抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折．其余部分保持不变，得到一个新图象G ，请你结合新图象，探究直线 y  kx  2(k 为常数）与新图象G 公共点个数的情况．
【解答】（1）证明：设 y  0 ，则0  x2  (2a 1)x  2a ，
△  (2a 1)2  4 1 (2a)  (1  2a)20 ，
 x2  (2a 1)x  2a  0 有实数根，
该抛物线与 x 轴总有交点；
（2）解：抛物线与 x 轴的一个交点为 A(m, 0) ，
0  m2  (2a 1)m  2a ，
 m  1 或 m  2a ，
8  m 5 ，
8  2a 5 ，
 5 a  4 ；
2
（3） 5 a  4 ，且 a 为整数，
2
 a  3 ，
抛物线解析式为： y  x2  5x  6 ，
当 k  0 时，直线 y  kx  2(k 为常数）与新图象G 公共点有 4 个， 如图：当 k  0 时，
若 y  kx  2 过点(6, 0) 时，直线 y  kx  2(k 为常数）与新图象G 公共点有 3 个，
即 k  1 ，
3
当0  k  1 时，直线 y  kx  2(k 为常数）与新图象G 公共点有 4 个，
3
当 k  1 时，直线 y  kx  2(k 为常数）与新图象G 公共点有 2 个，
3
当 k  0 时，
若 y  kx  2 过点(1, 0) 时，直线 y  kx  2(k 为常数）与新图象G 公共点有 3 个， 即 k  2 ，
当2  k  0 时，直线 y  kx  2(k 为常数）与新图象G 公共点有 4 个，
当 k  2 时，直线 y  kx  2(k 为常数）与新图象G 公共点有 2 个．
综上所诉： k  2 或 k  1 ，2 个； k  2 或 1 ，3 个； 2  k  1 ，4 个．
333
25．（12 分）如图，四边形 ABCD 为平行四边形，以 AD 为直径的O 交 AB 于点 E ，连接 DE ，
DA  5 ， DE  4 ， DC  8 ．过点 E 作直线l ，过点C 作CH  l ，垂足为 H ．
求sin ADE 的值；
若l / / AD ，且 1 与O 交于另一点 F ，求 EF 的长；
过点 A 作 AM  l ，垂足为 M ，当直线l 绕点 E 旋转时，求CH  5 AM 的最大值．
3
【解答】解：（1） AD 是O 的直径，
AED  90 ，
AD2  DE2
52  42
 AE  3 ，
sin ADE  AE  3 ；
AD5
如图 1，
作 EG  AD 于G ，作OM  EF 于 M ，连接OE ，
EGO  OME  90 ， EF  2EM ，
 EF / / AD ，
GEM  180  OGE  90 ，
四边形OGEM 是矩形，
OM  EG ，
sin ADE  EG  3 ，
DE5
OM  EG  3 DE  12 ，
55
OE 2  OH 2
 EM 
 EF  7 ；
5
如图 2，
 7 ，
( )  ()
5
2
12
2
2
5
10
作 BN  l 于 N ， BK  CH 于 K ，
CH  l ，
BNH  KHN  BKH  90 ，
四边形 BKHN 是矩形，
 HK  BN ，
 AM  l ，
 AM / / BN ，
AEM ∽BEN ，
 BN  BE ，
AMAE
四边形 ABCD 是平行四边形，
 AB  CD  8 ，
 BE  AB  AE  5 ，
 BN
AM
 5 ，
3
 BN  5 AM ，
3
CH  5 AM  CH  BN  CH  KH  CKBC  5 ，
3
当l  BC 时， CH  CK  5 ， 如图 3，
CH  5 AM 的最大值为 5．
3