2022-2023学年广东省广州市荔湾区广雅学校九年级（上）期末数学试卷1（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市荔湾区广雅学校九年级（上）期末数学试卷1（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题（本大题共 10 小题，四象限C．图象关于原点对称，解答题等内容，欢迎下载使用。

只有一项是符合题目要求的。）
1．（3 分）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是()
A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱2．（3 分）下列数学符号属于中心对称图形的是()
A． B． C． D．
3．（3 分）一元二次方程 x2+6x+9＝0 的根的情况是（）
A．打开电视机，正在播放《开学第一课》B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．任意画一个三角形，其内角和是180 D．买一张彩票，一定不会中奖
5．（3 分）已知反比例函数 y   6 ，下列结论中不正确的是()
x
图象必经过点(3, 2)
图象位于第二、四象限C．图象关于原点对称
D．在每一个象限内． y 随 x 的增大而减小
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
4．（3 分）下列事件中是必然事件的是(
)
D．没有实数根
6 ．（ 3 分） 如图， 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， 点 E 是 BC 延长线上一点， 若
BAD  114 ，则DCE 的度数是()
A． 94B．124C．104D．114 7．（3 分）若函数 y  x2  4x  m 的图象上有两点 A(0, y ) ， B(1, y ) ，则()
12
A． y1  y2B． y1  y2
C． y1  y2D． y1 ， y2 的大小不确定
8．（3 分）为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点 A ．再在河的这一边选定点 B 和C ，使 AB  BC ，然后再选定点 E ，使 EC  BC ，用视线确定 BC 与 AE 交于点 D ．此时，测得 BD  120m ， DC  60m ， EC  50m ，则两岸间的距离 AB 是( )
A．120mB．110mC．100mD． 90m
9．（3 分）如图，在RtABC 中，C  90 ，A  60 ， AC  4cm ，以点C 为圆心，以5cm
长为半径作圆，则 AB 的中点 D 与C 的位置关系是( )
A．圆上B．圆外C．圆内D．不确定
10．（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2  4mx  3m2  0(m  0) 的一个根比另一个根大 2，
则 m 的值为()
A．2B． m  0
C．1D．0
二、填空题（本大题共 6 小题，满分 18 分。）
11．（3 分）在平面坐标系中，若点 P(m, 2) 与点Q(3, n) 关于原点对称，则 m  n  ．
12．（3 分）卡塔尔足球世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了 6 场比赛，则该小组有支球队．
3
13．（3 分）如图，已知正六边形的边心距OG 为，则它的边长 AB 为 ．
14．（3 分）一个不透明的箱子中有 2 个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别．若任意
1
摸出一个球，摸出红球的概率为
，则这个箱子中黄球的个数为个．
5
15．（3 分）将二次函数 y  (x  2)2  4 的图象向左平移 1 个单位长度，向上平移 2 个单位长
度，平移后的二次函数解析式为 ．
16．（3 分）如图，在RtABC 中， ABC  40 ， AB  6 ，斜边 AB 是半圆O 的直径，点 D是半圆上的一个动点，连接 CD 与 AB 交于点 E ，若BCE 是等腰三角形，则弧 BD 的长为 ．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4 分）解方程： x2  4x  5 ．
18．（4 分）如图， ABC 的顶点都在正方形网格格点上，将ABC 绕点 A 逆时针方向旋转得到△ ABC ，点 B 对应点 B 如图所示．
旋转角是度；
请画出△ ABC ．
19．（6 分）如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点，AC 是O 的直径，BAC  25 ．求
P 的度数．
20．（6 分）甲口袋中装有 3 个相同的小球，它们分别写有数值1 ，2，5；乙口袋中装有 3个相同的小球，它们分别写有数值4 ，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为 x ，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为 y ．设点 A 的坐标为(x, y) ．
请用树状图或列表法表示点 A 的坐标的各种可能情况；
求点 A 落在反比例函数 y  4 图象上的概率．
x
21．（8 分）如图，在等腰直角ACF 中， AC  AF ， ABE 是由ACF 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，连接 EF 、 BC ．
求证： EF  BC ；
当旋转角为 40 时，求BCF 的度数．
22．（10 分）如图，某校准备为投资 1 万元围一个矩形的运动场地，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造且三边的总长为60m ，墙长35m ，平行于墙的边的费用为 200 元/m ， 垂直于墙的边的费用 150 元/m ，设垂直于墙的边长为 x m ．
若运动场地面积为 400m2 ，求 x 的值；
当运动场地的面积最大时是否会超过了预算？
23．（10 分）如图，反比例函数 y  k (x  0) 的图象经过点 A(2, 4) 和点 B ．点 B 在点 A 的下
x
方， AC 平分OAB ，交 x 轴于点C ．
求反比例函数的表达式．
尺规作图：作出线段 AC 的垂直平分线．分别与OA 、 AB 交于点 D 、 E ．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
在（2）的条件下，连接CD ．求证： CD / / AB ．
24．（12 分）如图， D 是等腰三角形 ABC 底边的中点，过点 A 、 B 、 D 作O ．
求证： AB 是O 的直径；
延长CB 交O 于点 E ，连接 DE ，求证： DC  DE ；
若 BC  5 ， CD  4 ，求 BE 长．
25．（12 分）平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y  x2  2mx  m2  2m  2 与 x 轴有两个交点．
当 m  2 时，求抛物线与 x 轴交点的坐标；
过点 P(0, m 1) 作直线l  y 轴，抛物线的顶点 A 在直线l 与 x 轴之间（不包含点 A 在直线l 上），求 m 的范围；
在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线l 相交于点 B ，求ABO 的面积最大时 m
的值．
2022-2023 学年广东省广州市荔湾区广雅学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题。每小题 3 分。满分 30 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。）
1．（3 分）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是()
A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱
【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，
判断这个几何体是圆锥， 故选： A ．
2．（3 分）下列数学符号属于中心对称图形的是()
A． B． C． D．
【解答】解： A 、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B 、是中心对称图形，故本选项符合题意； C 、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D 、不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选： B ．
3．（3 分）一元二次方程 x2+6x+9＝0 的根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【解答】解：∵Δ＝62﹣4×1×9＝0，
∴一元二次方程 x2+6x+9＝有两个相等的实数根． 故选：A．
4．（3 分）下列事件中是必然事件的是()
A．打开电视机，正在播放《开学第一课》B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．任意画一个三角形，其内角和是180 D．买一张彩票，一定不会中奖
【解答】解： A 、打开电视机，正在播放《开学第一课》，是随机事件，不符合题意；
B 、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； C 、任意画一个三角形，其内角和是180 ，是必然事件，符合题意； D 、买一张彩票，一定不会中奖，是随机事件，不符合题意；
故选： C ．
5．（3 分）已知反比例函数 y   6 ，下列结论中不正确的是()
x
图象必经过点(3, 2)
图象位于第二、四象限C．图象关于原点对称
D．在每一个象限内． y 随 x 的增大而减小
【解答】解：反比例函数 y   6 ，
x
图象必经过点(3, 2) ，故选项 A 正确，不符合题意； 图象位于第二、四象限，故选项 B 正确，不符合题意； 图象关于原点对称，故选项C 正确，不符合题意；
在每一个象限内． y 随 x 的增大而增大，故选项 D 不正确，符合题意；
故选： D ．
6 ．（ 3 分） 如图， 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， 点 E 是 BC 延长线上一点， 若
BAD  114 ，则DCE 的度数是()
A． 94B．124C．104D．114
【解答】解：BAD  114 ，
BCD  180  BAD  66 ，
DCE  180  BCD  114 ． 故选： D ．
7．（3 分）若函数 y  x2  4x  m 的图象上有两点 A(0, y ) ， B(1, y ) ，则()
12
A． y1  y2B． y1  y2
C． y1  y2D． y1 ， y2 的大小不确定
【解答】解：二次函数的对称轴为直线 x   4  2 ，抛物线开口向上，
2
当 x  2 时． y 随 x 的增大而减小，
 0  1  2 ，
 y1  y2 ， 故选： A ．
8．（3 分）为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点 A ．再在河的这一边选定点
B 和C ，使 AB  BC ，然后再选定点 E ，使 EC  BC ，用视线确定 BC 与 AE 交于点 D ．此时，测得 BD  120m ， DC  60m ， EC  50m ，则两岸间的距离 AB 是()
A．120mB．110mC．100mD． 90m
【解答】解： AB  BC ， EC  BC ，
B  C  90 ，
ADB  CDE ，
ADB∽EDC ，
 AB  BD ，
ECCD
 AB  120 ，
5060
 AB  100m ，
故选： C ．
9．（3 分）如图，在RtABC 中，C  90 ，A  60 ， AC  4cm ，以点C 为圆心，以5cm
长为半径作圆，则 AB 的中点 D 与C 的位置关系是()
A．圆上B．圆外C．圆内D．不确定
【解答】解：连接CD ，
C  90 ， A  60 ， AC  4cm ，
tan 60  BC ，
AC
 BC  4 3cm ，
 AB 
BC
sin 60
 4 3  8cm ，
3
2
点 D 是 AB 的中点，
CD  1 AB  4 ，
2
 4  5 ，
点 D 在C 内． 故选： C ．
10．（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2  4mx  3m2  0(m  0) 的一个根比另一个根大 2，
则 m 的值为()
A．2B． m  0
【解答】解：设方程的两根分别为t ， t  2 ， 根据题意得t  t  2  4m ， t(t  2)  3m2 ，
C．1D．0
把t  2m  1 代入t(t  2)  3m2 得(2m 1)(2m 1)  3m2 ，
整理得 m2  1  0 ，解得 m  1或 m  1（舍去），所以 m 的值为 1．
法二： x2  4mx  3m2  (x  m)(x  3m) ，
关于 x 的一元二次方程 x2  4mx  3m2  0(m  0) 的两根分别为 x  m ，x  3m ，且 x  x ，
1221
 x2  x1  2m  2 ，
 m  1 ， 故选： C ．
二、填空题（本大题共 6 小题，满分 18 分。）
11．（3 分）在平面坐标系中，若点 P(m, 2) 与点Q(3, n) 关于原点对称，则 m  n  5 ．
【解答】解：点 P(m, 2) 与点Q(3, n) 关于原点对称，
 m  3 ， n  2 ，
 m  n  3  (2)  5 ． 故答案为： 5 ．
12．（3 分）卡塔尔足球世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了 6 场比
赛，则该小组有 4支球队．
【解答】解：设该小组有 x 支球队，
根据题意得： 1 x(x  1)  6 ，
2
整理得： x2  x  12  0 ，
解得： x1  4 ， x2  3 （不符合题意，舍去），
该小组有 4 支球队． 故答案为：4．
3
13．（3 分）如图，已知正六边形的边心距OG 为，则它的边长 AB 为 2．
【解答】解：如图，连接OA 、OB ，
 OG  AB ，
OGA  90 ， AG  BG  1 AB ， AOB  60 ，
2
 OA  OB ，
AOG  1 AOB  30 ，
2
 AG  1 OA ，
2
设 AG  x ，则OA  2x ， AB  2x ，
在RtAOG 中，由勾股定理得： OA2  AG2  OG2 ， 即(2x)2  x2  ( 3)2 ，
解得： x  1 （负值已舍去），
 AB  2x  2 ，
即正六边形的边长为 2， 故答案为：2．
14．（3 分）一个不透明的箱子中有 2 个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别．若任意
1
摸出一个球，摸出红球的概率为
，则这个箱子中黄球的个数为 8个．
5
【解答】解：设这个箱子中黄球的个数为 x 个，
根据题意得， 2
2  x
 1 ，
5
解得 x  8 ． 故答案为：8．
15．（3 分）将二次函数 y  (x  2)2  4 的图象向左平移 1 个单位长度，向上平移 2 个单位长度，平移后的二次函数解析式为y  (x 1)2  2 ．
【解答】解：将二次函数 y  (x  2)2  4 的图象向左平移 1 个单位长度，向上平移 2 个单位长度，平移后的二次函数解析式为 y  (x  2  1)2  4  2 ，即 y  (x 1)2  2 ．
故答案为： y  (x 1)2  2 ．
16．（3 分）如图，在RtABC 中， ABC  40 ， AB  6 ，斜边 AB 是半圆O 的直径，点 D
是半圆上的一个动点，连接CD 与 AB 交于点 E ，若BCE 是等腰三角形，则弧 BD 的长为
7 或 4．
33
【解答】解：如图 1 中，当 BE  BC 时，
 BE  BC ， EBC  40 ，
BCE  BEC  1 (180  40)  70 ，
2
弧 BD  弧 BD ，
BOD  2BCE  140 ，
 BD 的长 140 3  7 ．
1803
如图 2 中，当 EB  EC 时，点 E 与O 重合，此时BOD  80 ，
 BD 的长 80 3  4，
1803
故答案为： 7 或 4 ．
33
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4 分）解方程： x2  4x  5 ．
【解答】解： x2  4x  5
 x2  4x  5  0
(x  5)(x  1)  0
 x  5  0 ， x  1  0
原方程的解为： x1  5 ， x2  1 ．
18．（4 分）如图， ABC 的顶点都在正方形网格格点上，将ABC 绕点 A 逆时针方向旋转得到△ ABC ，点 B 对应点 B 如图所示．
旋转角是 90度；
请画出△ ABC ．
【解答】解：（1）将 ABC 绕点 A 逆时针方向旋转得到△ ABC ，
旋转中心是点 A ，
由图可知ABB 是等腰直角三角形，
BAB  90 ，即旋转角为90 ，
故答案为：90；
（2）如图：
△ ABC 即为所求．
19．（6 分）如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点，AC 是O 的直径，BAC  25 ．求
P 的度数．
【解答】解：
 PA 、 PB 是O 的切线，
 PA  PB ，
PAB  PBA ，
 AC 是O 的直径， PA 是O 的切线，
 AC  AP ，
CAP  90 ，
BAC  25 ，
PBA  PAB  90  25  65 ，
P  180  PAB  PBA  180  65  65  50 ．
20．（6 分）甲口袋中装有 3 个相同的小球，它们分别写有数值1 ，2，5；乙口袋中装有 3个相同的小球，它们分别写有数值4 ，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为 x ，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为 y ．设点 A 的坐标为(x, y) ．
请用树状图或列表法表示点 A 的坐标的各种可能情况；
求点 A 落在反比例函数 y  4 图象上的概率．
x
【解答】解：（1）列表如下：
总共有 9 种等可能的结果；
（2）(1, 4) ， (2, 2) 在反比例函数 y  4 图象上，
x
点 A 落在反比例函数 y  4 图象上的概率 P  2 ．
x9
21．（8 分）如图，在等腰直角ACF 中， AC  AF ， ABE 是由ACF 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，连接 EF 、 BC ．
求证： EF  BC ；
当旋转角为 40 时，求BCF 的度数．
【解答】（1）证明： ABE 是由ACF 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，
ABE  ACF ，
 AE  AF ， AB  AC ； BAE  CAF ，
BAC  EAF ，
ACF 是等腰直角三角形，
 AE  AF  AB  AC ，
ACB  AFE (SAS ) ，
 EF  BC ；
甲乙
4
2
3
1
(1, 4)
(1, 2)
(1, 3)
2
(2, 4)
(2, 2)
(2,3)
5
(5, 4)
(5, 2)
(5, 3)
（2）解：旋转角为 40 ，
CAB  40 ，
 AB  AC ，
ACB  70 ，
ACF 是等腰直角三角形，
ACF  45 ，
BCF  ACB  ACF  25 ．
22．（10 分）如图，某校准备为投资 1 万元围一个矩形的运动场地，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造且三边的总长为60m ，墙长35m ，平行于墙的边的费用为 200 元/m ， 垂直于墙的边的费用 150 元/m ，设垂直于墙的边长为 x m ．
若运动场地面积为 400m2 ，求 x 的值；
当运动场地的面积最大时是否会超过了预算？
【解答】解：（2）根据题意，得： (60  2 x) x  400 ，解得： x  20 或 x  10 ，
墙的长度为35m ，
 x  20 ；
（2）设运动场地的面积是 S ， 则 S  (60  2x)x
 2x2  60x
 2(x 15)2  450 ，
2  0 ，
当 x  15 时， S 随 x 的增大而增大，
当 x  15 时， S 取得最大值，
总费用 30  200  30 150  10500  10000 ，
超过预算．
23．（10 分）如图，反比例函数 y  k (x  0) 的图象经过点 A(2, 4) 和点 B ．点 B 在点 A 的下
x
方， AC 平分OAB ，交 x 轴于点C ．
求反比例函数的表达式．
尺规作图：作出线段 AC 的垂直平分线．分别与OA 、 AB 交于点 D 、 E ．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
在（2）的条件下，连接CD ．求证： CD / / AB ．
【解答】（1）解：反比例函数 y  k (x  0) 的图象经过点 A(2, 4) ，
x
 k  2  4  8 ，
反比例函数的解析式为 y  8 ；
x
解：如图，直线 m 即为所求．
证明： AC 平分OAB ，
OAC  BAC ，
直线 m 垂直平分线段 AC ，
 DA  DC ，
OAC  DCA ，
DCA  BAC ，
CD / / AB ．
24．（12 分）如图， D 是等腰三角形 ABC 底边的中点，过点 A 、 B 、 D 作O ．
求证： AB 是O 的直径；
延长CB 交O 于点 E ，连接 DE ，求证： DC  DE ；
若 BC  5 ， CD  4 ，求 BE 长．
【解答】（1）证明：连接 BD ，
 AB  CB ， AD  CD ，
 BD  AC ，
ADB  90 ，
 AB 是O 的直径．
（2）证明：E  A ， C  A ，
E  C ，
 DC  DE ．
（3）解法一：E  A ， C  C ，
EDC∽ABC ，
 BC  5 ， CD  4 ，
 CE  CD  4 ， CA  2CD  8 ，
CABC5
CE  4  8  32 ，
55
 BE  CE  BC  32  5  7 ，
55
 BE 长是 7 ．
5
解法二：作 DF  BC 于点 F ，则CFD  90 ，
BDC  90 ， BC  5 ， CD  4 ，
52  42
 BD  3 ，
 1 BC  DF  1 CD  BD  S
22
BCD ，
 DF  CD  BD  4  3  12 ，
4  ()
2
12
2
5
BC
CF 
55
 16 ，
5
 BE  CE  BC  2  16  5  7 ，
55
 BE 长是 7 ．
5
25．（12 分）平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y  x2  2mx  m2  2m  2 与 x 轴有两个交点．
当 m  2 时，求抛物线与 x 轴交点的坐标；
过点 P(0, m 1) 作直线l  y 轴，抛物线的顶点 A 在直线l 与 x 轴之间（不包含点 A 在直线l 上），求 m 的范围；
在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线l 相交于点 B ，求ABO 的面积最大时 m
的值．
【解答】解：（1）当 m  2 时， y  x2  4x  4  4  2  x2  4x  2 ，当 y  0 时， x2  4x  2  0 ，
2
解得： x  2 ，
2
2
抛物线与 x 轴交点的坐标为(2 ， 0) 和(2 ， 0) ；
（2）如图 1，抛物线 y  x2  2mx  m2  2m  2 与 x 轴有两个交点，
△  4m2  4 1 (m2  2m  2)  0 ，
 m  1 ，
 y  x2  2mx  m2  2m  2  (x  m)2  2m  2 ，
顶点 A 的坐标为(m, 2m  2) ，
过点 P(0, m 1) 作直线l  y 轴，抛物线的顶点 A 在直线l 与 x 轴之间（不包含点 A 在直线l 上），
 2m  2  m  1 ，
 m  3 ，
 m 的范围是： 3  m  1 ；
（3）如图 2，顶点 A 的坐标为(m, 2m  2) ， P(0, m 1) ，
 AB  2m  2  (m  1)  m  3 ，
ABO 的面积 1  AB  PB  1  (m  3)  (m)   1 (m  3)2  9 ，
22228
当 m   3 时， ABO 的面积有最大值．
2