2022-2023学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷（含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）两个不透明口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋的小球分别标号为 1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是()
A．两个小球的标号之和等于 1B．两个小球的标号之和大于 1
C．两个小球的标号之和等于 6D．两个小球的标号之和大于 6
2．（3 分）在以下绿色包装、可回收、节水、低碳四个环保图形中，是中心对称图形的是()
A． B．
C． D．
3．（3 分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是()
1
5
3
10
1
3
1
2
2
4．（3 分）如图，在O 中，弦 AB  2、点C 是圆上一点且ACB  45 ，则O 的直径
为()
2
3 2
2
A．2B． 3C．D．4
5．（3 分）如图，在ABC 中， BAC  55 ， C  20 ，将ABC 绕点 A 逆时针旋转角度(0   180) 得到ADE ，若 DE / / AB ，则的值为()
A． 65B． 75C． 85D．130
6．（3 分）如图是二次函数 y  ax2  bx  c 的部分图象，使 y  1 成立的 x 的取值范围是(
)
x1
x1
C． 1x3
D． x1或 x3
7．（3 分）如图，正方形 ABCD 的顶点 A 、B 在O 上，顶点C 、D 在O 内，将正方形 ABCD绕点 B 顺时针旋转度，使点C 落在O 上．若正方形 ABCD 的边长和O 的半径相等， 则旋转角度等于( )
A． 36B． 30C． 25D． 22.5
8．（3 分）已知 k  0  k ，则函数 y  k1 和 y  k x  1 的图象大致是()
12x2
A． B．
C． D．
9．（3 分）二次函数 y  (k 1)x2  2x 1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是()
k0
k0
k0 且 k  1
k  0 且 k  1
10．（3 分）如图，在圆O 的内接四边形 ABCD 中， AB  3 ， AD  5 ，BAD  60 ，点C 为弧 BD 的中点，则 AC 的长是()
3
4 3
3
8 3
3
A．4B． 2C．D．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）在平面直角坐标系中，点 P(2, 3) 与点Q(2, m  1) 关于原点对称，则 m  ．
12．（3 分）如图， AB 为O 的直径，弦CD  AB 于点 E ，已知CD  6 ， EB  1 ，则O 的半径为 ．
13．（3 分）某厂今年一月份新产品的研发资金为 a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金 y （元) 关于 x 的函数关系式为y  ．
14．（3 分）随机抽取了某地区 1000 名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm 的概率是．
15．（3 分）如图，正比例函数 y  kx(k  0) 与反比例函数 y  1 的图象相交于 A ， C 两点，
x
过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于 B ，连接 BC ，则ABC 的面积为．
16．（3 分）将二次函数 y＝﹣x2+2x+3 的图象在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示． 当直线 y ＝ x+b 与新函数的图象恰有 3 个公共点时， b 的值为．
身高 x / cm
x  160
160x  170
170x  180
x180
人数
60
260
550
130
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4 分）在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标是 A(2, 4) ，B(1, 0) ，C(3,1) ．试画出 ABC
绕点O 逆时针旋转90 的△ A1 B1C1 ，并写出 A1 、C1 坐标．
18．（4 分）如图， AD  CB ，求证： AB  CD ．
19．（6 分）如图，一次函数 y  ax  b 与反比例函数 y  k 的图象相交于 A ， B 两点，且与
x
坐标轴的交点为(6, 0) ， (0, 6) ，点 B 的横坐标为4 ．
试确定反比例函数的解析式；
直接写出不等式 ax  b  k 的解集．
x
20．（6 分）已知函数 y  (m  3)xm2  4m 3  5 是关于 x 的二次函数．
求 m 的值；
函数图象的两点 A(1, y1 ) ， B(5, y2 ) ，若满足 y1  y2 ，则此时 m 的值是多少？
21．（8 分）某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全 体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整 的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次被调查的学生有人；
请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；
通过了解，喜爱“航模”的学生中有 2 名男生和 2 名女生曾在市航模比赛中获奖，现
从这 4 个人中随机选取 2 人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的
2 人恰好是 1 名男生和 1 名女生的概率．
22．（10 分）新年将至，家家户户准备大扫除迎接新年，清洁用品需求量增加，商店新进一批桶装消毒液，每桶进价 50 元，每天销售量 y （桶) 与销售单价 x （元) 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
试求每天销量 y 与 x 之间的函数表达式及 x 的取值范围；
每桶消毒液的销售价定为多少元时，商店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
23．（10 分）如图，已知 AB 是O 的直径， CD 与O 相切于点 D ，且 AD / /OC ．
求证： BC 是O 的切线；
延长CO 交O 于点 E ．若CEB  30 ， O 的半径为 2，求 BD 的长．（结果保留)
24．（12 分）如图，抛物线 y  ax2  bx  c 的图象与 x 轴交于点 A(1, 0) 、B(3, 0) 与 y 轴交于
点C ，顶点为 D ．以 AB 为直径在 x 轴上方画半圆交 y 轴于点 E ，圆心为 I ， P 是半圆上一动点，连接 DP ，点Q 为 PD 的中点．
试用含 a 的代数式表示c ；
若 IQ  PD 恒成立，求出此时该抛物线解析式；
在（2）的条件下，当点 P 沿半圆从点 B 运动至点 A 时，点Q 的运动轨迹是什么，试求出它的路径长．
25．（12 分）如图，等腰RtABC 中， BAC  90 ， D 是平面上任意一点，且 BD  CD ，过点 A 作 DB 、 DC 的垂线，垂足为 E 、 F ．
求证： BE  CF ；
当点 D 在平面上任意运动时，试探究线段 DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由；
点 D 在平面上任意运动，当ABD 面积取最大值时，此时，若CD  1 ，请直接写出 AD
的长．
2022-2023 学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）两个不透明口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋的小球分别标号为 1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是()
A．两个小球的标号之和等于 1B．两个小球的标号之和大于 1
C．两个小球的标号之和等于 6D．两个小球的标号之和大于 6
【解答】解： A 、两个小球的标号之和等于 1 是不可能事件，故 A 不符合题意；
B 、两个小球的标号之和大于 1 是必然事件，故 B 不符合题意；
C 、两个小球的标号之和等于 6 是随机事件，故C 符合题意；
D 、两个小球的标号之和大于 6 是不可能事件，故 D 不符合题意； 故选： C ．
2．（3 分）在以下绿色包装、可回收、节水、低碳四个环保图形中，是中心对称图形的是()
A． B．
C． D．
【解答】解： A ．是中心对称图形，故本选项符合题意；
B ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选： A ．
3．（3 分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是( )
1
5
3
10
1
3
1
2
【解答】解：因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑 色区域的面积占了其中的四等份，
所以 P （飞镖落在黑色区域）  4  1 ．
82
故选： D ．
2
4．（3 分）如图，在O 中，弦 AB  2、点C 是圆上一点且ACB  45 ，则O 的直径
为()
2
3 2
2
A．2B． 3C．
【解答】解：ACB  45 ，
AOB  2ACB  2  45  90 ， 在RtAOB 中，
 OA  OB ，
OAB  OBA  45 ，
sin 45  OA ，
AB
D．4
2 2
2 
2
OA ，
解得： OA  2 ．
则O 的直径为 2OA  2  2  4 ． 故选： D ．
5．（3 分）如图，在ABC 中， BAC  55 ， C  20 ，将ABC 绕点 A 逆时针旋转角
度(0   180) 得到ADE ，若 DE / / AB ，则的值为()
A． 65B． 75C． 85D．130
【解答】解：在ABC 中， BAC  55 ， C  20 ，
ABC  180  BAC  C  180  55  20  105 ，
将ABC 绕点 A 逆时针旋转角度(0   180) 得到ADE ，
ADE  ABC  105 ，
 DE / / AB ，
ADE  DAB  180 ，
DAB  180  ADE  75
旋转角的度数是 75 ， 故选： B ．
6．（3 分）如图是二次函数 y  ax2  bx  c 的部分图象，使 y  1 成立的 x 的取值范围是(
)
x1
x1
C． 1x3
D． x1或 x3
【解答】解：由函数图象可知，当 y  1 时，二次函数 y  ax2  bx  c 不在 y  1 下方部分的自变量 x 满足： 1x3 ，
故选： C ．
7．（3 分）如图，正方形 ABCD 的顶点 A 、B 在O 上，顶点C 、D 在O 内，将正方形 ABCD
绕点 B 顺时针旋转度，使点C 落在O 上．若正方形 ABCD 的边长和O 的半径相等，
则旋转角度等于()
A． 36B． 30C． 25D． 22.5
【解答】解：连接 AO ， BO ， OF ，
 AB  AO  BO ，
AOB 是等边三角形，
AOB  OAB  60 ，
同理： FBO 是等边三角形， FBA  2OBA  120 ，
 120  90  30 ，
故选： B ．
8．（3 分）已知 k  0  k ，则函数 y  k1 和 y  k x  1 的图象大致是()
12x2
A． B．
C． D．
【解答】解： k1  0  k2 ， b  1  0 ，
直线过一、三、四象限；双曲线位于二、四象限． 故选： C ．
9．（3 分）二次函数 y  (k 1)x2  2x 1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是()
k0
k0
k0 且 k  1
k  0 且 k  1
【解答】解：二次函数 y  (k 1)x2  2x 1 与 x 轴有交点，
k  1  0
 4  4(k  1)0 ，解得： k0 且 k  1；

故答案选： C ．
10．（3 分）如图，在圆O 的内接四边形 ABCD 中， AB  3 ， AD  5 ，BAD  60 ，点C 为弧 BD 的中点，则 AC 的长是()
3
4 3
3
8 3
3
A．4B． 2C．D．
【解答】解： A 、 B 、C 、 D 四点共圆， BAD  60 ，
BCD  180  60  120 ，
BAD  60 ， AC 平分BAD ，
CAD  CAB  30 ， 如图 1，
将ACD 绕点C 逆时针旋转120 得CBE ，
则E  CAD  30 ， BE  AD  5 ， AC  CE ，
ABC  EBC  (180  CAB  ACB)  (180  E  BCE )  180 ，
 A 、 B 、 E 三点共线， 过C 作CM  AE 于 M ，
 AC  CE ，
 AM  EM  1  (5  3)  4 ，
2
在RtAMC 中， AC 
故选： D ．
AM
cs 30
4  8 3 ；
33
2
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）在平面直角坐标系中，点 P(2, 3) 与点Q(2, m  1) 关于原点对称，则 m  4 ．
【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数， 得 m  1  3 ，
 m  4 ． 故答案为4 ．
12．（3 分）如图， AB 为O 的直径，弦CD  AB 于点 E ，已知CD  6 ， EB  1 ，则O 的
半径为 5．
【解答】解：连接OC ，
 AB 为O 的直径， AB  CD ，
CE  DE  1 CD  1  6  3 ，
22
设O 的半径为 x ，
则OC  x ， OE  OB  BE  x  1， 在RtOCE 中， OC 2  OE 2  CE 2 ，
 x2  32  (x 1)2 ，
解得： x  5 ，
O 的半径为 5， 故答案为：5．
13．（3 分）某厂今年一月份新产品的研发资金为 a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金 y（元) 关于 x 的函数关系式为 y 
a(1  x)2 ．
【解答】解：一月份新产品的研发资金为 a 元，
2 月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 x ，
 2 月份研发资金为 a  (1  x) ，
三月份的研发资金为 y  a  (1  x)  (1  x)  a(1  x)2 ． 故填空答案： a(1  x)2 ．
14．（3 分）随机抽取了某地区 1000 名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm 的概率是
0.68．
【解答】样本中身高不低于170cm 的频率为 550  130  0.68 ，
1000
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm 的概率是 0.68． 故答案为：0.68．
15．（3 分）如图，正比例函数 y  kx(k  0) 与反比例函数 y  1 的图象相交于 A ， C 两点，
x
过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于 B ，连接 BC ，则ABC 的面积为 1．
【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成
身高 x / cm
x  160
160x  170
170x  180
x180
人数
60
260
550
130
的直角三角形面积 S 是个定值，
即 S  1 | k | ，
2
依题意有 S
ABC
 2S
AOB
 2  1  | k | 1 ．
2
故答案为：1．
16．（3 分）将二次函数 y＝﹣x2+2x+3 的图象在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线 y＝x+b 与新函数的图象恰有 3 个公共点时，b 的值为或
﹣3．
【解答】解：二次函数解析式为 y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线 y＝﹣x2+2x+3 的顶点坐标为（1，4），当 y＝0 时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣ ，x2＝3，
则抛物线 y＝﹣x2+2x+3 与 x 轴的交点为 A（﹣1，0），B（3，0）， 把抛物线 y＝﹣x2+2x+3 图象 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴下方，
则翻折部分的抛物线解析式为 y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标 M（1，﹣4），如图，当直线 y＝x+b 过点 B 时，直线 y＝x+b 与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b＝0，
解得：b＝﹣3；
当直线 y＝x+b 与抛物线 y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）只有 1 个交点时，直线 y＝x+b
与该新图象恰好有三个公共点，
即（x﹣1）2﹣4＝x+b 有相等的实数解，
整理得：x2﹣3x﹣b﹣3＝0，Δ＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，
解得：b＝ ，
故答案为：
或﹣3．
所以 b 的值为：﹣3 或，
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4 分）在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标是 A(2, 4) ，B(1, 0) ，C(3,1) ．试画出 ABC
绕点O 逆时针旋转90 的△ A1 B1C1 ，并写出 A1 、C1 坐标．
【解答】解：如图：
由图可知： A1 (4, 2) 、C1 (1, 3) ．
18．（4 分）如图， AD  CB ，求证： AB  CD ．
【解答】证明：同弧所对对圆周角相等，
A  C ， D  B ． 在ADE 和CBE 中，
A  C

 AD  BC ，

D  B
ADE  CBE (ASA) ．
 AE  CE ， DE  BE ，
 AE  BE  CE  DE ，即 AB  CD ．
19．（6 分）如图，一次函数 y  ax  b 与反比例函数 y  k 的图象相交于 A ， B 两点，且与
x
坐标轴的交点为(6, 0) ， (0, 6) ，点 B 的横坐标为4 ．
试确定反比例函数的解析式；
直接写出不等式 ax  b  k 的解集．
x
6  b
【解答】解：（1）把 (6, 0) ， (0, 6) 代入 y  ax  b 得： 0  6a  b ，

b  6
解得： a  1 ，

一次函数的解析式为 y  x  6 ， 把 x  4 代入得： y  4  6  2 ，
 B(4, 2) ，
把 B(4, 2) 代入 y  k 得： 2  k ，
x4
解得： k  8 ，
反比例函数的解析式为 y   8 ．
x
 y  x  6

（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式为： 8 ，
y  
x
解得： x1  4 ， x2  2 ，
 y  2 y  4
 1 2
 A(2, 4) ，
由图可知：当4  x  2 或 x  0 时， ax  b  k ．
x
20．（6 分）已知函数 y  (m  3)xm2  4m 3  5 是关于 x 的二次函数．
求 m 的值；
函数图象的两点 A(1, y1 ) ， B(5, y2 ) ，若满足 y1  y2 ，则此时 m 的值是多少？
【解答】解：（1）由题意得， m2  4m  3  2 ， m  3  0 ，解得， m  1或5 ，
 m 的值为 1 或5 ．
（2）二次函数 y  (m  3)xm2  4m 3  5 的对称轴为 y 轴，
数图象的两点 A(1, y1 ) ， B(5, y2 ) ，若满足 y1  y2 ，
 x  0 时， y 随 x 的增大而减小，
 m  3  0 ，
 m  3 ，
此时 m 的值是5 ．
21．（8 分）某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全 体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整 的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次被调查的学生有 60人；
请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；
通过了解，喜爱“航模”的学生中有 2 名男生和 2 名女生曾在市航模比赛中获奖，现
从这 4 个人中随机选取 2 人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的
2 人恰好是 1 名男生和 1 名女生的概率．
【解答】解：（1）本次被调查的学生有： 9  15%  60 （人) ；故答案为：60；
（2）航模的人数有： 60  9  15  12  24 （人) ， 补全条形统计图如图：
“航模”所对应的圆心角的度数是： 360 24  144 ；
60
（3）设两名男生分别为男 1，男 2，两名女生分别为女 1，女 2，列表如下：
所有可能出现的结果有 12 种，它们出现的可能性相等，其中是 1 名男生和 1 名女生的情况
有 8 种，
则所选的 2 人恰好是 1 名男生和 1 名女生的概率是 8  2 ．
123
22．（10 分）新年将至，家家户户准备大扫除迎接新年，清洁用品需求量增加，商店新进一批桶装消毒液，每桶进价 50 元，每天销售量 y （桶) 与销售单价 x （元) 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
试求每天销量 y 与 x 之间的函数表达式及 x 的取值范围；
每桶消毒液的销售价定为多少元时，商店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
男 1
男 2
女 1
女 2
男 1
（男 2，男1)
（女 1，男1)
（女 2，男1)
男 2
（男 1，男 2)
（女 1，男 2)
（女 2，男 2)
女 1
（男 1，女1)
（男 2，女1)
（女 2，女1)
女 2
（男 1，女 2)
（男 2，女 2)
（女 1，女 2)
【解答】解：（1）设 y 与销售单价 x 之间的函数关系式为： y  kx  b ，

将点(60,100) 、(70,80) 代入一次函数表达式得： 100  60k  b ，
80  70k  b
b  220
解得： k  2 ，

故函数的表达式为： y  2x  220 ；
（2）设药店每天获得的利润为 w 元，由题意得：
w  (x  50)(2x  220)  2(x  80)2  1800 ，
2  0 ，函数有最大值，
当 x  80 时， w 有最大值，此时最大值是 1800，
故销售单价定为 80 元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润 1800 元．
23．（10 分）如图，已知 AB 是O 的直径， CD 与O 相切于点 D ，且 AD / /OC ．
求证： BC 是O 的切线；
延长CO 交O 于点 E ．若CEB  30 ， O 的半径为 2，求 BD 的长．（结果保留)
【解答】（1）证明：连接OD ，
 CD 与O 相切于点 D ，
ODC  90 ，
 OD  OA ，
OAD  ODA ，
 AD / /OC ，
COB  OAD ， COD  ODA ，
COB  COD ， 在COD 和COB 中
OD  OB

COD  COB ，

OC  OC
COD  COB(SAS ) ，
ODC  OBC  90 ，
 BC 是O 的切线；
（2）解：CEB  30 ，
COB  60 ，
COB  COD ，
BOD  120 ，
 BD 的长： 1202  4．
1803
24．（12 分）如图，抛物线 y  ax2  bx  c 的图象与 x 轴交于点 A(1, 0) 、B(3, 0) 与 y 轴交于
点C ，顶点为 D ．以 AB 为直径在 x 轴上方画半圆交 y 轴于点 E ，圆心为 I ， P 是半圆上一动点，连接 DP ，点Q 为 PD 的中点．
试用含 a 的代数式表示c ；
若 IQ  PD 恒成立，求出此时该抛物线解析式；
在（2）的条件下，当点 P 沿半圆从点 B 运动至点 A 时，点Q 的运动轨迹是什么，试求出它的路径长．
【解答】解：（1）抛物线 y  ax2  bx  c 的图象与 x 轴交于点 A(1, 0) 、 B(3, 0) ，
该函数的解析式为 y  a(x  1)(x  3)  ax2  2ax  3a ，
 c  3a ．
连接 DI ，
 P 是半圆上一点，点Q 为 PD 的中点，且 IQ  PD ，
点 D 在I 上，
 DI  1 AB  1 [3  (1)]  2 ，
22
该抛物线的对称轴为直线 x  1  3  1 ，
2
 D(1, 2) ，
把 D(1, 2) 代入 y  ax2  2ax  3a 得： 2  a  2a  3a ， 解得： a  1 ，
2
该抛物线解析式为： y  1 x2  x  3 ；
22
 IQ  PD ，
IQD  90 ，
点Q 在以 DI 为直径的圆上运动，
 A(1, 0) 、 B(3, 0) ， D(1, 2) ，
当点 P 与点 B 重合时，
1  3 , 2) ，即Q (2, 1) ，

Q1 ( 221
当点 P 与点 A 重合时，1  1, 2) ，即Q (0, 1) ，
Q2 ( 222
Q1Q2 / / x 轴， Q1Q2  2 ，
点Q 在以 DI 中点为圆心的半圆上运动，点Q 的路径长为： 1  2 ．
2
答：它的路径长为 ．
25．（12 分）如图，等腰RtABC 中， BAC  90 ， D 是平面上任意一点，且 BD  CD ，
过点 A 作 DB 、 DC 的垂线，垂足为 E 、 F ．
求证： BE  CF ；
当点 D 在平面上任意运动时，试探究线段 DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由；
点 D 在平面上任意运动，当ABD 面积取最大值时，此时，若CD  1 ，请直接写出 AD
的长．
【解答】（1）证明： ABC 为等腰直角三角形，
 AB  AC ， BAC  90 ，
 BD  CD ， AE  DE ， AF  CD ，
EAF  90 ， AFC  AEB  90 ，
BAC  BAF  CAF  90 ， EAF  BAF  BAE  90 ，
CAF  BAE ， 在ABE 和ACF 中，
AFC  AEB  90

CAF  BAE，

 AB  AC
ABE  ACF (AAS ) ，
 BE  CF ．
①当点 D 在 BC 上方时，
由（1）可得ABE  ACF ，
 AE  AF ，
BAC  90 ， BD  CD ， AE  DE ， AF  CD ，
四边形 AEDF 为正方形，
 DE  DF ，
 DA2  DE2  AE2  2DE2 ，则 DA 
2DE ，
 DB  DC  (DE  BE )  (DF  CF )  2DE ，
 DB  DC 
2DA ；
②当点 D 在 BC 下方时，点 A 左侧时，过点 A 作 AM  AD 于点 A ，
BAC  90 ， BD  CD ，
BAC  BAM  DAM  BAM ，即BAD  CAM ，
BAC  90 ， BD  CD ，
 B 、 D 、 A 、C 四点共圆，则ABD  ACD ，
 AB  AC ，
ABC  ACB  45 ，
ABC  ADC  45 ， AD  AM ，
 AM  AD ，
 DM 
DA
cs 45
2DA ，
在ABD 和ACM 中，
BAD  CAM

 AB  AC，

ABD  ACD
ABD  ACM (ASA) ，
 DB  CM ，
 DM  DC  CM  DC  DB ，
 DC  DB 
2DA ；
③当点 D 在 BC 下方时，点 A 右侧时，
同理可得： DM  2DA ， DM  BD  DC ，
 DB  DC 
2DA ，
综上： DB  DC 
2DA 或| DB  DC |
2DA ．
由（2）可得 B 、 D 、 A 、C 四点共圆，
过点 D 作 DN  AB 于点 N ，
 SABD
 1 AB  DN ， AB 为定值，
2
当 DN 最大时， SABD 取最大值，
当 DN 经过点O 时， DN 取得最大值，
 DN 垂直平分 AB ，
 DA  DB ，
当点 D 在 BC 上方时， DB  DC 
2DA ，
1
2 1
2
 DA  1  2DA ，整理得： DA  1．