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    2022-2023学年广东省广州市荔湾区真光中学九年级(上)期末数学试卷(含答案)

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    2022-2023学年广东省广州市荔湾区真光中学九年级(上)期末数学试卷(含答案)

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    这是一份2022-2023学年广东省广州市荔湾区真光中学九年级(上)期末数学试卷(含答案),共30页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.(3 分)一元二次方程3x2  x  2  0 的二次项系数是 3,它的一次项系数是()
    1
    2
    C.1D.0
    2.(3 分)如图所示,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 D 与点 B 重合,点C 落在点C 处,折痕为 EF ,若ABE  20 ,那么EFC 的度数为()
    A.115B.120C.125D.130 3.(3 分)一元二次方程 x2  2(3x  2)  (x  1)  0 的一般形式是()
    A. x2  5x  5  0
    B. x2  5x  5  0
    C. x2  5x  5  0
    D. x2  5  0
    4.(3 分)“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书,每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本,某组共互赠了 210 本图书,如果设该组共有 x 名同学,那么依题意,可列出的方程是( )
    A. x(x  1)  210
    B. x(x 1)  210
    C. 2x(x 1)  210
    D. 1 x(x  1)  210
    2
    5.(3 分)在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个,除颜色外其他完全相同,小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15% 和45% ,则口袋中白色球的个数可能是( )
    A.24B.18C.16D.6
    6.(3 分)路边有一根电线杆 AB 和一块长方形广告牌,有一天小明突然发现在太阳光照射下,电线杆顶端 A 的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G 处,而长方形广告牌的影子刚好落在地面上 E 点(如图),已知 BC  5 米,长方形广告牌的长 HF  4 米,高 HC  3 米, DE  4 米,则电线杆 AB 的高度是()
    A.6.75 米B.7.75 米C.8.25 米D.10.75 米
    7.(3 分)如图,在正方形 ABCD 中,点 E 为 AB 边的中点,点 F 在 DE 上, CF  CD ,过点 F 作 FG  FC 交 AD 于点 G .下列结论:① GF  GD ;② AG  AE ;③ AF  DE ;④ DF  4EF .正确的是( )
    A.①②B.①③C.①③④D.③④
    8.(3 分)设 x , x 是一元二次方程 x2  2x  3  0 的两根,则 x2  x2  ()
    1212
    A.2B. 2
    1
    D.10
    9.(3 分)若关于 x 的方程 x2  2x  m  1  0 有两个实根 x 、 x ,则 x x (x2  x2 )  2x2  4x
    121 2 1211
    的最大值是(
    )
    A.3
    B.4
    C.4.5
    D.5
    10.(3 分)一次函数 y  ax  b 和反比例函数 y  a  b 在同一平面直角坐标系中的大致图象
    x
    是()
    A. B.
    C. D.
    二、填空题(共 7 题,共 28 分)
    11.(4 分)如图,在ABC 中, ACB  90 ,点 D 是 AB 的中点, CD  2 ,则 AB  .
    12.(4 分)已知:如图,矩形 ABCD 的长和宽分别为 2 和 1,以 D 为圆心,AD 为半径作 AE
    弧,再以 AB 的中点 F 为圆心, FB 长为半径作 BE 弧,则阴影部分的面积为.
    13.(4 分)设 a , b 是方程 x2  x  2018  0 的两个实数根,则(a 1)(b 1) 的值为 .
    14 .( 4 分) 关于 x 的一元二次方程 x2  (k 1)x  k  2  0 有两个实数根 x , x , 若
    12
    (x1  x2  2)(x1  x2  2)  2x1 x2  3 ,则 k .
    15.(4 分)若从1 ,1,2 这三个数中,任取两个分别作为点 M 的横、纵坐标,则点 M 在第二象限的概率是.
    16.(4 分)如图,在矩形 ABCD 中, AB  1 , BC  2 , P 为线段 BC 上的一动点,且和 B 、 C 不重合,连接 PA ,过点 P 作 PE  PA 交CD 于 E ,将 PEC 沿 PE 翻折到平面内,使点C 恰好落在 AD 边上的点 F ,则 BP 长为.
    17.(4 分)如图,函数 y  x 与 y  4 的图象相交于 A 、 B 两点,过 A 、 B 两点分别作 x 轴
    x
    垂线,垂足分别为点C 、 D ,则四边形 ACBD 的面积为.
    三、解答题(共 8 题,共 62 分)
    18.(6 分)先观察如图的立体图形,再分别画出从它的正面、左面、上面三个方向所看到的平面图形.
    19.(6 分)已知关于 x 的方程 x2  2mx  m2  4m  1  0
    若这个方程有实数根,求 m 的取值范围;
    若此方程有一个根是 1,请求出 m 的值.
    20.(6 分)将 A , B , C , D 四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛,每组两人.
    A 在甲组的概率是多少?
    A , B 都在甲组的概率是多少?
    21.(8 分)如图,点 D , E 在线段 BC 上, ADE 是等边三角形,且BAC  120
    求证: ABD∽CAE ;
    若 BD  2 , CE  8 ,求 BC 的长.
    22.(8 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, AB  3 , BC  5 .
    尺规作图:作ABC 的平分线 BF ,分别与 AC 、 AD 交于点 E 、 F .
    求 AE 的值.
    EC
    23.(8 分)如图,一棵大树在一次强台风中折断倒下,未折断树杆 AB 与地面仍保持垂直的关系,而折断部分 AC 与未折断树杆 AB 形成53 的夹角.树杆 AB 旁有一座与地面垂直的铁塔 DE ,测得 BE  6 米,塔高 DE  9 米.在某一时刻的太阳照射下,未折断树杆 AB 落在地面的影子 FB 长为 4 米,且点 F 、 B 、C 、 E 在同一条直线上,点 F 、 A 、 D 也在同一条直线上.求这棵大树没有折断前的高度.(参考数据:sin 53  0.8 ,cs 53  0.6 , tan 53  1.33)
    24.(10 分)如图 1,在平面直角坐标系中, OABC 的一个顶点与坐标原点重合, OA 边落
    在 x 轴上,且OA  4 , OC  2
    , COA  45 .反比例函数 y  k (k  0, x  0) 的图象
    2
    x
    经过点C ,与 AB 交于点 D ,连接 AC , CD .
    试求反比例函数的解析式;
    求证: CD 平分ACB ;
    如图 2,连接OD ,在反比例函数图象上是否存在一点 P ,使得 S
    存在,请直接写出点 P 的坐标.如果不存在,请说明理由.
    POC
     1 S
    2
    COD
    ?如果
    25.(10 分)如图 1,在ABC 中,点 D 、 E 分别在 AB 、 AC 上, DE / / BC , AD  AE ,
    (1)求证: B  C ;
    若BAC  90 ,把 ADE 绕点 A 逆时针旋转到图 2 的位置,点 M ,P ,N 分别为 DE ,
    DC , BC 的中点,连接 MN , PM , PN .
    ①判断PMN 的形状,并说明理由;
    ②把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转,若 AD  4 , AB  10 ,试问PMN 面积是否存在最大值;若存在,求出其最大值.若不存在,请说明理由.
    2022-2023 学年广东省广州市荔湾区真光中学九年级(上)期末数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(共 10 题,共 30 分)
    1.(3 分)一元二次方程3x2  x  2  0 的二次项系数是 3,它的一次项系数是()
    1
    2
    D.0
    【解答】解:一次项系数为1 , 故选: A .
    2.(3 分)如图所示,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 D 与点 B 重合,点C 落在点C 处,折痕为 EF ,若ABE  20 ,那么EFC 的度数为()
    A.115B.120C.125D.130
    【解答】解: RtABE 中, ABE  20 ,
    AEB  70 ;
    由折叠的性质知: BEF  DEF ; 而BED  180  AEB  110 ,
    BEF  55 ;
    易知EBC  D  BCF  C  90 ,
     BE / /CF ,
    EFC  180  BEF  125 . 故选: C .
    3.(3 分)一元二次方程 x2  2(3x  2)  (x  1)  0 的一般形式是()
    A. x2  5x  5  0
    B. x2  5x  5  0
    C. x2  5x  5  0
    D. x2  5  0
    【解答】解:一元二次方程 x2  2(3x  2)  (x  1)  0 的一般形式是 x2  5x  5  0 .
    故选: A .
    4.(3 分)“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书,每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本,某组共互赠了 210 本图书,如果设该组共有 x 名同学,那么依题意,可列出的方程是( )
    A. x(x  1)  210
    B. x(x 1)  210
    C. 2x(x 1)  210
    D. 1 x(x  1)  210
    2
    【解答】解:由题意得, x(x 1)  210 , 故选: B .
    5.(3 分)在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个,除颜色外其他
    完全相同,小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15% 和
    45% ,则口袋中白色球的个数可能是()
    A.24B.18C.16D.6
    【解答】解:摸到红色球、黑色球的频率稳定在15% 和 45% ,
    摸到白球的频率为1  15%  45%  40% ,
    故口袋中白色球的个数可能是 40  40%  16 个. 故选: C .
    6.(3 分)路边有一根电线杆 AB 和一块长方形广告牌,有一天小明突然发现在太阳光照射下,电线杆顶端 A 的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G 处,而长方形广告牌的影子刚好落在地面上 E 点(如图),已知 BC  5 米,长方形广告牌的长 HF  4 米,高 HC  3 米, DE  4 米,则电线杆 AB 的高度是()
    A.6.75 米B.7.75 米C.8.25 米D.10.75 米
    【解答】解:过点G 作GQ  BE 于点Q , GP  AB 于点 P ,
    根据题意,四边形 BQGP 是矩形,
     BP  GQ  3 米,
    APG∽FDE ,
     AP  5  2 ,
    34
     AP  21 ,
    4
     AB  21  3  8.25 (米) ,
    4
    故选: C .
    7.(3 分)如图,在正方形 ABCD 中,点 E 为 AB 边的中点,点 F 在 DE 上, CF  CD ,过点 F 作 FG  FC 交 AD 于点 G .下列结论:① GF  GD ;② AG  AE ;③ AF  DE ;④ DF  4EF .正确的是( )
    A.①②B.①③C.①③④D.③④
    【解答】解:连接CG 交 ED 于点 H .如图所示:
    四边形 ABCD 是正方形,
    ADC  90 ,
     FG  FC ,
    GFC  90 ,

    在RtCFG 与RtCDG 中, CG  CG ,
    CF  CD
    RtCFG  RtCDG(HL) ,
    GF  GD ,①正确.
    CF  CD , GF  GD ,
    点G 、C 在线段 FD 的中垂线上,
     FH  HD , GC  DE ,
    EDC  DCH  90 ,
    ADE  EDC  90 ,
    ADE  DCH ,
    四边形 ABCD 是正方形,
     AD  DC  AB , DAE  CDG  90 ,
    EAD  GDC

    在ADE 和DCG 中,  AD  DC,

    ADE  DCH
    ADE  DCG (ASA) ,
     AE  DG ,
    点 E 是边 AB 的中点,
    点G 是边 AD 的中点,
     AE  AG ,②不正确;
    点 H 是边 FD 的中点,
    GH 是AFD 的中位线,
    GH / / AF ,
    AFD  GHD ,
    GH  FD ,
    GHD  90 ,
    AFD  90 ,
    即 AF  DE ,③正确;
     AD  AB , AB  2AE ,
     AD  2 AE ,
    AFE  90  DAE , AEF  DEA ,
    ADE∽FAE ,
     DE  AD  AE  2 ,
    AEAFEF
     DE  2AE , AE  2EF ,
     DF  4EF ,④正确; 故选: C .
    8.(3 分)设 x , x 是一元二次方程 x2  2x  3  0 的两根,则 x2  x2  ()
    1212
    A.2B. 2
    C. 1
    D.10
    【解答】解:根据根与系数的关系可得 x1  x2  2 , x1 x2  3 ,
    12121 2
    所以 x2  x2  (x  x )2  2x x  4  2  (3)  10 .
    故选: D .
    9.(3 分)若关于 x 的方程 x2  2x  m  1  0 有两个实根 x 、 x ,则 x x (x2  x2 )  2x2  4x
    121 2 1211
    【解答】解:关于 x 的方程 x2  2x  m  1  0 有两个实根 x 、 x ,
    12
    △  4  4(m  1)  8  4m0 ,
    m2 ,
    的最大值是(
    )
    A.3
    B.4
    C.4.5
    D.5
     x  x  2 , x  x  m  1 , x2  2x
     m  1 ,
    121211
    12121 2
     x2  x2  (x  x )2  2x x  4  2(m 1)  6  2m ,
     x x (x2  x2 )  2x2  4x
     m2 ,
     (m  1)(6  2m)  2(m  1)  2m2  10m  8  2(m  5 )2  9 ,
    1 2 1211
    22
    1 2 1211
    当 m  2 时, x x (x2  x2 )  2x2  4x 的最大值 4 ,
    故选: B .
    10.(3 分)一次函数 y  ax  b 和反比例函数 y  a  b 在同一平面直角坐标系中的大致图象
    x
    是()
    A.
    B. C. D.
    【解答】解:图 A 、 B 直线 y  ax  b 经过第一、二、三象限,
     a  0 、b  0 ,
     y  0 时, x   b ,即直线 y  ax  b 与 x 轴的交点为( b , 0)
    aa
    由图 A 、 B 的直线和 x 轴的交点知:  b  1 ,
    a
    即b  a , 所以b  a  0
     a  b  0 ,
    此时双曲线在第一、三象限.
    故选项 B 不成立,选项 A 正确.
    图C 、 D 直线 y  ax  b 经过第二、一、四象限,
     a  0 , b  0 ,
    此时 a  b  0 ,双曲线位于第二、四象限, 故选项C 、 D 均不成立;
    故选: A .
    二、填空题(共 7 题,共 28 分)
    11.(4 分)如图,在ABC 中, ACB  90 ,点 D 是 AB 的中点,CD  2 ,则 AB  4.
    【解答】解:ACB  90 , D 为 AB 中点,
    CD  1 AB ,
    2
     AB  2CD ,
    CD  2 ,
     AB  2CD  4 . 故答案为:4.
    12.(4 分)已知:如图,矩形 ABCD 的长和宽分别为 2 和 1,以 D 为圆心,AD 为半径作 AE
    弧,再以 AB 的中点 F 为圆心, FB 长为半径作 BE 弧,则阴影部分的面积为 1.
    【解答】解: AF  BF , AD  1 , AB  2 ,
     AD  BF  1 ,
    扇形 DAE 的面积 扇形 FBE 的面积,
    阴影部分的面积 11  1. 故答案为 1.
    13.(4 分)设 a ,b 是方程 x2  x  2018  0 的两个实数根,则(a  1)(b  1) 的值为 2016 .
    【解答】解:
     a , b 是方程 x2  x  2018  0 的两个实数根,
     a  b  1 , ab  2018 ,
    (a  1)(b  1)  ab  a  b  1  ab  (a  b)  1  2018  (1)  1  2016 , 故答案为: 2016 .
    14 .( 4 分) 关于 x 的一元二次方程 x2  (k 1)x  k  2  0 有两个实数根 x , x , 若
    12
    (x1  x2  2)(x1  x2  2)  2x1 x2  3 ,则 k  2.
    【解答】解:关于 x 的一元二次方程 x2  (k 1)x  k  2  0 的两个实数根为 x , x ,
    12
     x1  x2  k  1 , x1 x2  k  2 .
    (x  x  2)(x  x  2)  2x x  3 ,即(x  x )2  2x x
     4  3 ,
    12121 2121 2
    (k 1)2  2k  4  4  3 , 解得: k  2 .
    关于 x 的一元二次方程 x2  (k 1)x  k  2  0 有实数根,
    △  [(k 1)]2  4 1 (k  2)0 ,
    2
    解得: k2
    1或 k 2
    1 ,
    2
     k  2 .
    故答案为:2.
    15.(4 分)若从1 ,1,2 这三个数中,任取两个分别作为点 M 的横、纵坐标,则点 M 在
    第二象限的概率是1.
    3
    【解答】解:列表如下:
    由表可知,共有 6 种等可能结果,其中点 M 在第二象限的有 2 种结果,
    所以点 M 在第二象限的概率是 2  1 ,
    63
    故答案为: 1 .
    3
    16.(4 分)如图,在矩形 ABCD 中, AB  1 , BC  2 , P 为线段 BC 上的一动点,且和 B 、
    C 不重合,连接 PA ,过点 P 作 PE  PA 交CD 于 E ,将 PEC 沿 PE 翻折到平面内,使点C
    恰好落在 AD 边上的点 F ,则 BP 长为1 或 1.
    3
    【解答】解:作 PH  AD 于 H ,如图,设 BP  x ,则CP  2  x .
     PE  PA ,
    2  3  90 ,
    1  2  90 ,
    1  3 ,
    RtABP∽RtPCE ,
     AB  BP .即 1

     x .
    PCCE
    2  xCE
    CE  x(2  x) .
    PEC 沿 PE 翻折到PEF 位置,使点 F 落到 AD 上,
     EF  CE  x(2  x) , PF  PC  2  x , PFE  C  90 ,
     DE  DC  CE  1  x(2  x)  (x 1)2 .
    5  6  90 .
    4  6  90 ,
    5  4 .
    RtPHF∽RtFDE ,
     PH  PF ,即 1  2  x .

    FDFE
     FD  x ,
    在RtDFE 中,
    FDx(2  x)
     DE2  DF 2  FE2 ,
    [(x 1)2 ]2  x2  [x(2  x)]2 ,
    解得 x  1 , x  1 ,
    132
    1
     BP 的长为
    或 1.
    3
    解法二:过点 A 作 AM  BF 于 M .
    PEF 由PEC 翻折得到,
    PEF  PEC ,
     PF  PC , FPE  EPC ,
    又BPA  EPC  90 , APM  EPF  90 ,
    APB  APM ,
    又B  AMP  90 , AP  AP ,
    ABP  AMP (AAS ) ,
     AB  AM  1, BP  PM ,
    令 BP  x ,则 PC  PF  2  x , BP  PM  x ,
     MF  2  x  x  2  2x ,
     AD / / BC ,
    APB  PAD ,
    又APB  APF ,
    APF 为等腰三角形,
     AF  PF  2  x ,
    在AMF 中, AF 2  AM 2  MF 2 ,
    (2  x)2  12  (2  2x)2 ,
     x  1 或 1 .
    3
    1
    故答案为:
    或 1.
    3
    17.(4 分)如图,函数 y  x 与 y  4 的图象相交于 A 、 B 两点,过 A 、 B 两点分别作 x 轴
    x
    垂线,垂足分别为点C 、 D ,则四边形 ACBD 的面积为 8.
    【解答】解:设 A 的坐标是(m, n) ,则 B 的坐标是(m, n) , mn  4
    则 AC  n , CD  2m .
    则四边形 ACBD 的面积 AC  CD  2mn  8 . 故答案为:8.
    三、解答题(共 8 题,共 62 分)
    18.(6 分)先观察如图的立体图形,再分别画出从它的正面、左面、上面三个方向所看到的平面图形.
    【解答】解:如图所示:
    19.(6 分)已知关于 x 的方程 x2  2mx  m2  4m  1  0
    若这个方程有实数根,求 m 的取值范围;
    若此方程有一个根是 1,请求出 m 的值.
    【解答】解:(1)根据题意知△  (2m)2  4(m2  4m 1)0 ,
    解得: m  1 ;
    4
    (2)将 x  1 代入方程得1  2m  m2  4m 1  0 , 整理,得: m2  6m  0 ,
    解得: m1  0 , m2  6 ,
     m  1 ,
    4
     m  0 和 m  6 均符合题意, 故 m  0 或 m  6 .
    20.(6 分)将 A , B , C , D 四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛,每组两人.
    A 在甲组的概率是多少?
    A , B 都在甲组的概率是多少?
    【解答】解:所有可能出现的结果如下:
    总共有 6 种结果,每种结果出现的可能性相同.
    所有的结果中,满足 A 在甲组的结果有 3 种,所以 A 在甲组的概率是 1 .(2 分)
    2
    甲组
    乙组
    结果
    AB
    CD
    ( AB, CD)
    AC
    BD
    ( AC, BD)
    AD
    BC
    ( AD, BC)
    BC
    AD
    (BC, AD)
    BD
    A C
    (BD, AC)
    CD
    AB
    (CD, AB)
    所有的结果中,满足 A ,B 都在甲组的结果有 1 种,所以 A ,B 都在甲组的概率是 1 .(6
    6
    分)
    21.(8 分)如图,点 D , E 在线段 BC 上, ADE 是等边三角形,且BAC  120
    求证: ABD∽CAE ;
    若 BD  2 , CE  8 ,求 BC 的长.
    【解答】(1)证明: BAC  120 , DAE  60 ,
    BAD  EAC  60 ,
    ADE 是等边三角形,
    ADE  AED  60 ,
    BAD  B  60 , ADB  AEC  120 ,
    B  EAC ,又ADB  AEC ,
     ABD∽CAE ;
    (2)解: ABD∽CAE ,
     BD  AD ,即 AD2  BDCE  16 ,
    AECE
    解得, AD  4 ,则 DE  4 ,
     BC  BD  DE  EC  14 .
    22.(8 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, AB  3 , BC  5 .
    尺规作图:作ABC 的平分线 BF ,分别与 AC 、 AD 交于点 E 、 F .
    求 AE 的值.
    EC
    【解答】(1)解:如图所示:
    (2)证明: ABCD 中 AD / / BC ,
    AFB  FBC ,
    又ABF  FBC ,
    ABF  AFB ,
     AB  AF ,
    AFE  CBE , AEF  CEB ,
    AEF∽CEB ,
    当 AB  3 , BC  5 时,
     AF  3 ,
     AE  AF  3 .
    ECBC5
    23.(8 分)如图,一棵大树在一次强台风中折断倒下,未折断树杆 AB 与地面仍保持垂直的关系,而折断部分 AC 与未折断树杆 AB 形成53 的夹角.树杆 AB 旁有一座与地面垂直的铁塔 DE ,测得 BE  6 米,塔高 DE  9 米.在某一时刻的太阳照射下,未折断树杆 AB 落在地面的影子 FB 长为 4 米,且点 F 、 B 、C 、 E 在同一条直线上,点 F 、 A 、 D 也在同一条直线上.求这棵大树没有折断前的高度.(参考数据:sin 53  0.8 ,cs 53  0.6 , tan 53  1.33)
    【解答】解: AB  EF , DE  EF ,
    ABC  90 , AB / / DE ,
    FAB∽FDE ,
     AB  FB ,
    DEFE
     FB  4 米, BE  6 米, DE  9 米,
     AB 
    4,得 AB  3.6 米,
    94  6
    ABC  90 , BAC  53 , csBAC  AB ,
    AC
     AC 
    AB
    csBAC
     3.6  6 米,
    0.6
     AB  AC  3.6  6  9.6 米,
    即这棵大树没有折断前的高度是 9.6 米.
    24.(10 分)如图 1,在平面直角坐标系中, OABC 的一个顶点与坐标原点重合, OA 边落
    在 x 轴上,且OA  4 , OC  2
    , COA  45 .反比例函数 y  k (k  0, x  0) 的图象
    2
    x
    经过点C ,与 AB 交于点 D ,连接 AC , CD .
    试求反比例函数的解析式;
    求证: CD 平分ACB ;
    如图 2,连接OD ,在反比例函数图象上是否存在一点 P ,使得 S
    存在,请直接写出点 P 的坐标.如果不存在,请说明理由.
    【解答】解:(1)如图 1,过点C 作CE  x 轴于 E ,
    CEO  90 ,
    COA  45 ,
    OCE  45 ,
    POC
     1 S
    2
    COD
    ?如果
    2
     OC  2,
    OE  CE  2 ,
    C(2, 2) ,
    点C 在反比例函数图象上,
     k  2  2  4 ,
    反比例函数解析式为 y  4 ,
    x
    (2)如图 2,过点 D 作 DG  x 轴于G ,交 BC 于 F ,
     CB / / x 轴,
    GF  CB ,
     OA  4 ,
    由(1)知, OE  CE  2 ,
     AE  EC  2 ,
    ECA  45 , OCA  90 ,
    OC / / AB ,
    BAC  OCA  90 ,
     AD  AC ,
     A(4, 0) , AB / /OC ,
    直线 AB 的解析式为 y  x  4 ①,
    反比例函数解析式为 y  4 ②,
    x
    2

    联立①②解得, x  2
     2x  2  2
    2


    (舍) ,
    2
    2
    2
     y  2 2 y  2  2
    2
     D(2
     2 , 2
     2) ,
    2
     AG  DG  2 2 ,
    2
     AD  2DG  4  2,
    2
     DF  2  (2 2  2)  4  2,
     AD  DF ,
     AD  AC , DF  CB ,
    点 D 是ACB 的角平分线上, 即: CD 平分ACB ;
    (3)存在,点C(2, 2) ,
    2
    2
    直线OC 的解析式为 y  x , OC  2,
    2
     D(2
     2 , 2
     2) ,
    2
    CD  2 2
    Ⅰ、如图 3,当点 P 在点C 右侧时,即:点 P 的横坐标大于 2,
     SPOC
     1 S
    2
    COD ,
    设CD 的中点为 M ,
    2
     M ( 2 , 2) ,
    过点 M 作 MP / /OC 交双曲线于 P ,
    直线 PM 的解析式为 y  x  2 ③,
    反比例函数解析式为 y  4 ④,
    x
    联立③④解得,
    5
    5
    x  1 或 x  1 
    5
    (舍) ,
    5

     y  1

     y  1 
    5
     P(
     1 ,
    1) ;
    5
    Ⅱ、当点 P 在点C 左侧时,即:点 P 的横坐标大于 0 而小于 2, 设点 M 关于OC 的对称点为 M  , M (m, n) ,
     m 
    2  2  2 , n 
    2  2 ,
    22
    2
    2
     m  2 , n  4 ,
    2
     M (2 , 4 
    2) ,
     PM  / /OC ,
    直线 PM  的解析式为 y  x  2 ⑤,
    5
    联立④⑤解得, x  1 或x  1 
    5
    (舍) ,
    5
    5

    5
     y  1

     y  1 
    5
    5
    5
    5
     P(
     1 ,
     1) .
    5
    即:点 P 的坐标为(
    1 ,
     1) 或 P(
     1 ,
    1) .
    25.(10 分)如图 1,在ABC 中,点 D 、 E 分别在 AB 、 AC 上, DE / / BC , AD  AE ,
    (1)求证: B  C ;
    (2)若BAC  90 ,把 ADE 绕点 A 逆时针旋转到图 2 的位置,点 M ,P ,N 分别为 DE ,
    DC , BC 的中点,连接 MN , PM , PN .
    ①判断PMN 的形状,并说明理由;
    ②把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转,若 AD  4 , AB  10 ,试问PMN 面积是否存在最大值;若存在,求出其最大值.若不存在,请说明理由.
    【解答】解:(1) AD  AE ,
    ADE  AED ,
     DE / / BC ,
    ADE  B , AED  C ,
    B  C .
    (2)① PMN 是等腰直角三角形,
    理由:点 P , M 分别是CD , DE 的中点,
     PM  1 CE , PM / /CE ,
    2
    点 N , M 分别是 BC , DE 的中点,
     PN  1 BD , PN / / BD ,
    2
     BD  CE ,
     PM  PN ,
    PMN 是等腰三角形,
     PM / /CE ,
    DPM  DCE ,
     PN / / BD ,
    PNC  DBC ,
    DPN  DCB  PNC  DCB  DBC ,
    MPN  DPM  DPN
     DCE  DCB  DBC
     BCE  DBC
     ACB  ACE  DBC
     ACB  ABD  DBC
     ACB  ABC ,
    BAC  90 ,
    ACB  ABC  90 ,
    MPN  90 ,
    PMN 是等腰直角三角形,
    ②由①知, PMN 是等腰直角三角形, PM  PN  1 BD ,
    2
     PM 最大时, PMN 面积最大,
    点 D 在 AB 的延长线上,
     BD  AB  AD  14 ,
     PM  7 ,
     SPMN最大
     1 PM 2  1  72  49 .
    222
    故答案为 49
    2

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