2022-2023学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）方程(x  2)2  9 的解是()
A． x1  5 ， x2  1
B． x1  5 ， x2  1
C． x1  11 ， x2  7
D． x1  11 ， x2  7
2．（3 分）如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180 后得到的图案()
A．B．
C． D．
3．（3 分）将抛物线 y  2x2 向左平移 3 个单位得到的抛物线的解析式是()
A． y  2x2  3
B． y  2x2  3
C． y  2(x  3)2
D． y  2(x  3)2
4．（3 分）平面内，⊙O 的半径为 2，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作⊙O 的切线条数为
（）
A．0 条B．1 条C．2 条D．无数条5．（3 分）下列事件中，随机事件是()
A．掷一枚硬币，正面朝上B．如果 a  b ，那么 a  c  b  c
C．对于实数 a ， a2  0
D．两直线平行，同位角相等
6．（3 分）反比例函数 y  m  3 的图象，当 x  0 时， y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范
x
围是()
m  3
m3
m  3
m3
7．（3 分）若 a 是方程2x2  x  5  0 的一个解，则 4a2  2a 的值是()
A．10B．5C． 5D． 10
8．（3 分）往一个圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若截面圆的直径是70cm ，水面宽 AB  56cm ，则水的最大深度是()
A． 7cmB．14cmC． 21cmD． 28cm
9．（3 分）抛物线 y  2(x 1)2  3 上有三个点(1, y ) ，(0, y ) ，(4, y ) ，那么 y 、y 、y
123123
的大小关系是()
y1  y2  y3
y1  y3  y2
y1  y2  y3
y2  y1  y3
10．（3 分）已知关于 x 的一元二次方程(a  2)x2  (a  2)x  1 a  0 没有实数根，且 a 满足
4
 1  a3
2a  5  1 ，则 a 的取值范围是()

a 2
a  2
a   2
3
C． 2a   2
3
D．  2  a  3 且
3
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）
11．（3 分）二次函数 y  2(x  3)2  4 的对称轴为 ．
12．（3 分）一元二次方程 x(x  3)  0 的解是 ．
13．（3 分）小明爸爸在北京冬奥会期间购买了 3 个“冰墩墩”和 2 个“雪容融”，包装成外观一样的礼物，让小明从中随机抽一份，小明抽到“冰墩墩”的概率是．
14．（3 分）已知点 A(3,  x ) 和点 B(x  3, 2) 都是反比例函数 y  k  6 图象上的点，则 k 的
3x
值是．
15．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是(3, 2) ， OA  1 ，将点 B 绕点 A 顺时针旋转90 得到点C ，则点C 的坐标是．
2
16．（3 分）如图， AB 是O 的直径， ACB 的平分线交O 于 D ， CD  7， BC  8 ，
则O 的半径的长是．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.）
17．（4 分）解方程： x2  6x  7  0 ．
18．（4 分）如图，若四边形 ABCD 是半径为 2 的圆内接正方形．求图中阴影部分的面积．（结果保留)
19．（6 分）如图，抛物线 y  ax2  2x  c 的图象与 x 轴交于点 A ， B(3, 0) ，与 y 轴交于点
C(0, 3) ．
求抛物线的解析式；
若当 x  m ， y  ax2  2x  c 取得最大值时，求 m 的值．
20．（6 分）如图，当电压U 一定时，电流 I （单位： A) 关于电阻 R （单位： ) 的函数关
系式为 I  U ．
R
求这个电阻两端的电压；
如果电流不超过12 A ，求电阻应控制的范围．
21．（8 分）甲、乙两个口袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片所标有的三个数值分别为2 ，4， 6 ，乙袋中的三张卡片所标的数值为2 ，3，5．
小明在乙袋中随机抽取一张卡片，他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率是 ．
小红先从甲袋中随机取出一张卡片，用 x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用 y 表示取出的卡片上的数值，把 x ，y 分别作为点 A 的横坐标和纵坐标．请用列举法写出点 A(x, y) 的所有情况，并求点 A 在第二象限的概率．
22．（10 分）如图，用总长为40m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为 25m ．
如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边 BC 长为 am ，求鸡棚与墙垂直的一边 AB 的长；（用含 a 的式子表示）
设鸡棚与墙垂直的一边 AB 的长为 x m ，求这个矩形鸡棚面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
试探索，这个矩形鸡棚的面积 S 能否等于 250m2 ，若可以，求出此时 AB 的长，若不行，请说明理由．
23．（10 分）如图，四边形 ABCD 是矩形．
尺规作图：将矩形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转一定角度得到矩形 ABCD ，使点 B 落在CD 边上；
若 AB  5 ， BC  3 ，连接 BB ，求 BB 的长；
若DAD  a ，求CBB 的度数（用含 a 的表示）．
24．（12 分）如图，O 为等边ABC 的外接圆，半径为 4，点 D 在劣弧 AC 上运动（不与 A 、
C 重合），连结 DA 、 DB 、 DC ．
若CAD  15 ，求BCD 的大小．
求证： AD  DC  BD ．
试探索：四边形 ABCD 的面积 S 与 BD 的长 x 之间的函数关系，并求出函数解析式．
25．（12 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2  (k  4)x  k 1  0 ．
求证：一元二次方程 x2  (k  4)x  k 1  0 一定有两个不相等的实数根．
若抛物线 y  x2  (k  4)x  k 1 的图象与 x 轴交于 A(3, 0) ，B 两点，与 y 轴交于点C ，一次函数 y  ax  3 图象过 A ， C 两点，点 P(m, n) 在抛物线上．
①若 m  0 ，且 SABP  SABC ，求点 P 的坐标．
②点 P(m, n) 在直线 AC 下方，求四边形 ABCP 的面积的最大值．
2022-2023 学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1．（3 分）方程(x  2)2  9 的解是()
A． x1  5 ， x2  1
B． x1  5 ， x2  1
C． x1  11 ， x2  7
D． x1  11 ， x2  7
【解答】解：(x  2)2  9 ，
 x  2  3 ，
即 x  2  3 或 x  2  3 ， 解得 x1  5 或 x2  1 ，
故选： A ．
2．（3 分）如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180 后得到的图案()
B．
C． D．
【解答】解：由旋转的性质可知只有 D 选项符合题意； 故选： D ．
3．（3 分）将抛物线 y  2x2 向左平移 3 个单位得到的抛物线的解析式是()
A． y  2x2  3
B． y  2x2  3
C． y  2(x  3)2
D． y  2(x  3)2
【解答】解：将抛物线 y  2x2 向左平移 3 个单位所得直线解析式为： y  2(x  3)2 ； 故选： C ．
4．（3 分）平面内，⊙O 的半径为 2，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作⊙O 的切线条数为
（）
A．0 条B．1 条C．2 条D．无数条
【解答】解：∵⊙O 的半径为 2，点 P 到 O 的距离为 2，
∴点 P 在⊙O 上，
∴过点 P 可作⊙O 的一条切线． 故选：B．
5．（3 分）下列事件中，随机事件是()
A．掷一枚硬币，正面朝上B．如果 a  b ，那么 a  c  b  c
C．对于实数 a ， a2  0
D．两直线平行，同位角相等
【解答】解： A 、掷一枚硬币，正面朝上，属于随机事件，故符合题意；
B 、如果 a  b ，那么 a  c  b  c ，属于必然事件，不符合题意；
C 、对于实数 a ， a2  0 ，属于不可能事件，不符合题意；
D 、两直线平行，同位角相等，属于必然事件，不符合题意． 故选： A ．
6．（3 分）反比例函数 y  m  3 的图象，当 x  0 时， y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范
x
围是()
m  3
m3
m  3
m3
【解答】解：当 x  0 时， y 随 x 的增大而增大，
 m  3  0 ， 解得 m  3 ， 故选： A ．
7．（3 分）若 a 是方程2x2  x  5  0 的一个解，则 4a2  2a 的值是( )
A．10B．5C． 5
【解答】解： a 是方程 2x2  x  5  0 的一个解，
 2a2  a  5  0 ，
 2a2  a  5 ，
D． 10
4a2  2a  2(2a2  a)  2  5  10 ，
故选： A ．
8．（3 分）往一个圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若截面圆的直径是70cm ，水面宽 AB  56cm ，则水的最大深度是()
A． 7cmB．14cmC． 21cmD． 28cm
【解答】解：连接OA ，过点O 作OC  AB ，交 AB 于点 D ，交圆O 于C ，如图所示：
OA  OC  35cm ， AD  1 AB  28cm ，
2
OA2  AD2
 OD  21cm ，
 DC  OC  OD  14cm ，
水的最大深度为14cm ； 故选： B ．
9．（3 分）抛物线 y  2(x 1)2  3 上有三个点(1, y ) ，(0, y ) ，(4, y ) ，那么 y 、y 、y
123123
的大小关系是()
y1  y2  y3
y1  y3  y2
y1  y2  y3
y2  y1  y3
【解答】解：根据题意得：抛物线 y  2(x 1)2  3 的对称轴为直线 x  1 ，
2  0 ，
抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小，
 4  1  1  1  0  1，
 y2  y1  y3 ．
故选： D ．
10．（3 分）已知关于 x 的一元二次方程(a  2)x2  (a  2)x  1 a  0 没有实数根，且 a 满足
4
 1  a3
2a  5  1 ，则 a 的取值范围是()

a 2
a  2
a   2
3
C． 2a   2
3
D．  2  a  3 且
3
【解答】解：关于 x 的一元二次方程(a  2)x2  (a  2)x  1 a  0 没有实数根，
4
  (a  2)2  4(a  2)  1 a  6a  4  0 ， a  2  0 ，
4
 a   2 ， a  2 ，
3
 1  a3
 a 满足2a  5  1 ，

由 2a  5  1 得 a  3 ， 由1  a3 得 a 2 ，
2a  3 ，
 2a   2 ．
3
故选： C ．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）
11．（3 分）二次函数 y  2(x  3)2  4 的对称轴为 x  3 ．
【解答】解：由 y  2(x  3)2  4 知该抛物线的对称轴为 x  3 ， 故答案为： x  3 ．
12．（3 分）一元二次方程 x(x  3)  0 的解是 x1  0 ， x2  3 ．
【解答】解： x  0 或 x  3  0 ， 所以 x1  0 ， x2  3 ．
故答案为 x1  0 ， x2  3 ．
13．（3 分）小明爸爸在北京冬奥会期间购买了 3 个“冰墩墩”和 2 个“雪容融”，包装成外
观一样的礼物，让小明从中随机抽一份，小明抽到“冰墩墩”的概率是3．
5
【解答】解： 3 3 ，

3  25
因此小明抽到“冰墩墩”的概率是 3 ，
5
3
故答案为： ．
5
14．（3 分）已知点 A(3,  x ) 和点 B(x  3, 2) 都是反比例函数 y  k  6 图象上的点，则 k 的
3x
值是 0．
【解答】解：把点 A(3,  x ) ， B(x  3, 2) 代入反比例函数 y  k  6 得：
3x
 k  6   x
 33 ，
 k  6
 2
 x  3
x  6
解得： k  0 ；

故答案为：0．
15．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是(3, 2) ， OA  1 ，将点 B 绕点 A 顺时针旋转90 得到点C ，则点C 的坐标是(3, 4) ．
【解答】解： 如图， 过点 C 作 CD  x 轴于点 D ， 过点 B 作 BE  x 轴于点 E ， 则
ADC  AEB  90 ，
BAE  ABE  90 ，
根据题意得： AC  AB ， BAC  90 ，
BAE  CAD  90 ，
ABE  CAD ，
ABE  CAD ，
 AD  BE ， CD  AE ，
点 B 的坐标是(3, 2) ，
OE  3 ， AD  BE  2 ，
OA  1 ，
OD  3 ， CD  AE  4 ，
点C 的坐标为(3, 4) ． 故答案为： (3, 4) ．
2
16．（3 分）如图， AB 是O 的直径， ACB 的平分线交O 于 D ， CD  7， BC  8 ，
则O 的半径的长是 5．
【解答】解：过点 B 作 BE  CD 于点 E ，如图所示：
 AB 是O 的直径，
ACB  ADB  90 ，
 CD 平分ACB ，
 DAB  BCD  1 ACB  45 ，
2
ABD ， BEC 都为等腰直角三角形，
 CE  BE 
2
 CD  7
2 BC  4 2, AB 
2
，
2BD ，
2
 ED  3，
DE2  BE2
2
 BD  5，
 AB  2BD  10 ，
O 的半径的长 5； 故答案为：5．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.）
17．（4 分）解方程： x2  6x  7  0 ．
【解答】解： x2  6x  7  0 ，
(x  7)(x  1)  0 ，
 x1  7 或 x2  1 ．
18．（4 分）如图，若四边形 ABCD 是半径为 2 的圆内接正方形．求图中阴影部分的面积．（结果保留)
【解答】解：连接 AC ， BD 交于点O ，如图：
四边形 ABCD 是半径为 2 的圆内接正方形，
点O 是圆心， OD  OC  2 ， DOC  90 ，
O 的面积为： OD2  4，
正方形 ABCD 的面积为： 4S
DOC
 4  1 OD  OC  4  1  2  2  8 ，
22
阴影部分的面积为： 4 8 ．
19．（6 分）如图，抛物线 y  ax2  2x  c 的图象与 x 轴交于点 A ， B(3, 0) ，与 y 轴交于点
C(0, 3) ．
求抛物线的解析式；
若当 x  m ， y  ax2  2x  c 取得最大值时，求 m 的值．
【解答】解：（1）把点 B(3, 0) ， C(0, 3) 代入抛物线 y  ax2  2x  c 得：
9a  6  c  0 ，

c  3
 c  3
解得： a  1 ，

抛物线解析式为 y  x2  2x  3 ；
（2）由（1）可知抛物线解析式为 y  x2  2x  3 ，则有抛物线开口向下，对称轴为直线
x  
2
2  (1)
 1 ，
当 x  1 时，抛物线 y  x2  2x  3 有最大值，即为 y  12  2  3  4 ；
 m  1 ．
20．（6 分）如图，当电压U 一定时，电流 I （单位： A) 关于电阻 R （单位： ) 的函数关
系式为 I  U ．
R
求这个电阻两端的电压；
如果电流不超过12 A ，求电阻应控制的范围．
【解答】解：（1）把点 A(9,3) 代入 I  U 得：
R
3  U ，解得： U  27 ，
9
即这个电阻两端的电压 27V ；
（2）由（1）得：电流 I （单位： A) 关于电阻 R （单位： ) 的函数关系式为 I  27 ，
R
当 I  12 时，12  27 ，
R
解得： R  9 ，
4
 27  0 ， R  0 ，
 I 随 R 的增大而减小，
电流不超过12 A ，
电阻应控制的范围为 R 9  ．
4
21．（8 分）甲、乙两个口袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片所标有的三个数值分别为2 ，4， 6 ，乙袋中的三张卡片所标的数值为2 ，3，5．
小明在乙袋中随机抽取一张卡片，他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率是
2．
3
小红先从甲袋中随机取出一张卡片，用 x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用 y 表示取出的卡片上的数值，把 x ，y 分别作为点 A 的横坐标和纵坐标．请用列举法写出点 A(x, y) 的所有情况，并求点 A 在第二象限的概率．
【解答】解：（1）他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率为 2 ；
3
故答案为： 2 ；
3
（2）根据题意点 A(x, y) 的所有情况有：(2, 2) ，(2, 3) ，(2, 5) ，(4, 2) ，(4,3) ，(4,5) ，
(6, 2) ， (6, 3) ， (6, 5) ，
一共有 9 种等可能结果，其中点 A 在第二象限的有 4 种，
所以点 A 在第二象限的概率为 4 ．
9
22．（10 分）如图，用总长为40m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为 25m ．
如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边 BC 长为 am ，求鸡棚与墙垂直的一边 AB 的长；（用含 a 的式子表示）
设鸡棚与墙垂直的一边 AB 的长为 x m ，求这个矩形鸡棚面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
试探索，这个矩形鸡棚的面积 S 能否等于 250m2 ，若可以，求出此时 AB 的长，若不行，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得： AB  40  a  (20  1 a)m ；
22
（2）由题意得： S  x(40  2x)  2x2  40x ，
0  40  2x25 ，
7.5x  20 ；
（3）这个矩形鸡棚的面积 S 不能等于 250m2 ， 理由如下：由（2）可知： 2x2  40x  250 ， 化简得 x2  20x  125  0 ，
△  b2  4ac  400  4 125  100  0 ，
该方程无实数解，
即这个矩形鸡棚的面积 S 不能等于 250m2 ．
23．（10 分）如图，四边形 ABCD 是矩形．
尺规作图：将矩形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转一定角度得到矩形 ABCD ，使点 B 落在CD 边上；
若 AB  5 ， BC  3 ，连接 BB ，求 BB 的长；
若DAD  a ，求CBB 的度数（用含 a 的表示）．
【解答】解：（1）如图所示：
如图所示即为所求．
由旋转性质可知 AB  AB  5 ，
在矩形 ABCD 中， AD  BC  3 ， ADB  90 ，
AB2  AD2
52  32
 DB 
CB  5  4  1 ．
(CB)2  BC2
.BB 
 4 ，
12  32
10
；
由旋转的性质可知， DAD  BAB  a ， AB  AB ，
ABB  ABB ，
?
ABB  ABB  180   90   ，
22
 AB / /CD ，
?
CBB  ABB  90   ，
2
24．（12 分）如图，O 为等边ABC 的外接圆，半径为 4，点 D 在劣弧 AC 上运动（不与 A 、
C 重合），连结 DA 、 DB 、 DC ．
若CAD  15 ，求BCD 的大小．
求证： AD  DC  BD ．
试探索：四边形 ABCD 的面积 S 与 BD 的长 x 之间的函数关系，并求出函数解析式．
【解答】（1）解： ABC 是等边三角形，
BAC  60 ，
CAD  15 ，
BAD  BAC  CAD  75 ，
四边形 ABCD 为圆内接四边形，
BCD  BAD  180 ，
BCD  105 ；
证明：如图，在线段 BD 上取点 P ，使 PD  CD ，
ABC 是等边三角形，
ACB  BAC  60 ， AC  BC ，
BDC  BAC  60 ，
PDC 是等边三角形，
 PC  CD ， PCD  DPC  60 ，
PCD  ACB ，
ACD  BCP ，
ACD  BCP(SAS ) ，
 AD  BP ，
 BD  BP  PD ，
 AD  DC  BD ；
解：如图，过点 B 作 BE  AC 于点 E ，连接OA ，则OA  4 ， AC  2 AE ，
O 为等边ABC 的外接圆，则点O 在 BE 上，
OA  OB  4 ， ABE  CAO  30 ，
 OE  1 OA  2 ，
2
3
 AE  2，
3
 AC  2 AE  4，
点 D 在劣弧 AC 上运动，
3
3
 4 BD4  2  8 ，即 4 x8 ，
如图， 把 ABD 绕点 B 顺时针旋转 60 得到 CBH
DBH  60 ，
 S  SADB  SBDC  SBDH ，
四边形 ABCD 为圆内接四边形，
BAD  BCD  180 ，
BCH  BCD  180 ，
点 D ， C ， H 三点共线， BDH 是等边三角形，
过点 H 作 HG  BD 于点G ，则 BG  1 BD  1 x ，
22
， 则 BD  BH
， BAD  BCH ，
 GH 
 S
3 x ，
2
 1 BD  GH  1 x 

3 x 
3 x 2 ，
BDH
2224
即四边形 ABCD 的面积 S 与 BD 的长 x 之间的函数关系为二次函数， 函数解析式为
3
S 3 x2 (4 4
 x8) ．
25．（12 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2  (k  4)x  k 1  0 ．
求证：一元二次方程 x2  (k  4)x  k 1  0 一定有两个不相等的实数根．
若抛物线 y  x2  (k  4)x  k 1 的图象与 x 轴交于 A(3, 0) ，B 两点，与 y 轴交于点C ，一次函数 y  ax  3 图象过 A ， C 两点，点 P(m, n) 在抛物线上．
①若 m  0 ，且 SABP  SABC ，求点 P 的坐标．
②点 P(m, n) 在直线 AC 下方，求四边形 ABCP 的面积的最大值．
【解答】（1）证明：由题意得：关于 x 的一元二次方程 x2  (k  4)x  k 1  0 ，
a  1 ， b  k  4 ， c  k  1 ，
△  b2  4ac  (k  4)2  4 1 (k 1)  k 2  4k  20  (k  2)2  16  0 ， 故该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）解：①把 A(3, 0) 代入 y  x2  (k  4)x  k 1 ，
得： 0  (3)2  3(k  4)  k 1， 解得： k  2 ，
抛物线解析式为： y  x2  2x  3 ， 当 y  0 时， 0  x2  2x  3 ，
解得： x1  3 ， x2  1 ，
点 B(1, 0) ，
当 x  0 时， y  0  0  3  3 ，
点C(0, 3) ，
 AB  1 (3)  4 ，
 SABC
 1  AB  CO  1  4  3  6 ，
22
 P(m, n) ，过点 P 作 PH  AB 交 AB 于点 H ，
 PH | n | ，
 SABP
 1  AB  PH  1  4 | n | 2 | n | ，
22
 SABP  SABC ，
 2 | n | 6 ，
解得： n  3 或 n  3 ，
当 n  3 时， 3  m2  2m  3 ， 解得： m  2 或 m  0 （舍去），当 n  3 时， 3  m2  2m  3 ，
7
7
解得： m   1或 m  1（舍去）；
7
点 P(2, 3) 或 P( 1, 3) ；
②把 A(3, 0) 代入 y  ax  3 ， 得： 0  3a  3 ，
解得： a  1 ，
 y  x  3 ，
点 P(m, n) 在抛物线上，且在 AC 下方，
 n  m2  2m  3 ，
过点 P 作 PH  x 轴，作 PN  y 轴，
 PH | n | m2  2m  3 ，
PN  m ，
 S四边形ABCP  SBOC  SOPC  SAOP ，
又 S
AOP
 1  3  (m2  2m  3)   3 m2  3m  9 ，
222
SOPC
 1  3  (m)   3 m ，
22
SBOC
 1 1 3  3 ，
22
 S四边形ABCP
  3 m2  3m  9  3 m  3   3 m2  9 m  6 ，
222222
3 3 275

即 S四边形ABCP   2 m  2   8 ，
当 m   3 时，四边形 ABCP 的面积有最大值，最大值为 75 ．
28