2022-2023学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A． B．
C． D．
2．（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是()
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心C．班里的两名同学的生日是同一天
D．从一个只装有白球的袋中摸球，摸出黄球
3．（3 分）在平面直角坐标系中，点(5,1) 关于原点对称的点的坐标是()
A． (5, 1)
B． (5,1)C． (1, 5)
D． (5, 1)
4．（3 分）用配方法解方程 x2  2x  2 时，配方后正确的是()
A． (x 1)2  3
B． (x  1)2  6
C． (x 1)2  3
D． (x 1)2  6
5．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2  4x  k  0 没有实数根，则 k 的取值范围是()
k  4
k  4
k  4
k  4
6．（3 分）如图， ABC 内接于O ， AD 是O 的直径，若B  20 ，则CAD 的度数是
()
A． 60B． 65C． 70D． 75
7．（3 分）如图， P 为O 外一点， PT 与O 相切于点T ，OP  10 ，OPT  30 ，则 PT
的长为()
3
3
5
D．8
3
8．（3 分）一个扇形的弧长是10，面积为60，则其半径为()
A．6B．36C．12D．144
9．（3 分）点 A(m  1, y ) ，B(m, y ) 都在抛物线 y  x2 上．若 y  y ，则 m 的取值范围为()
m  4
12
m  4
12
m  1
2
m  1
2
10．（3 分）用 12 米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是()
A．方案 1B．方案 2C．方案 3D．方案 1 或方案 2
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）抛物线 y  3(x  2)2  2 的顶点坐标为 ．
12．（3 分）一个布袋里放有 1 个红球和 2 个白球，它们除颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出 1 个球，摸到白球的概率是．
13．（3 分）关于 x 的方程 x2  3x  m  0 有两根，其中一根为 x  1 ，则两根之积为 ．
14．（3 分）右表是某球员在罚球线上投篮的结果．则估计该球员投篮一次投中的概率约为
（结果保留小数点后一位）
投篮次数
20
40
100
200
400
1000
投中次数
15
33
78
158
321
801
15．（3 分） O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8，若 P 为 AB 的中点，则OP  ．
16．（3 分）一副三角板按图 1 放置，O 是边 BC(DF ) 的中点，BC  20cm ．如图 2，将 ABC
绕点O 顺时针旋转60 ， AC 与 EF 相交于点G ，则 FG 的长是．
三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8 分）解方程： x2  7x  8  0 ．
18．（8 分）如图，已知ABC 中， BD 是中线，且 BD  4 ．
用尺规作EAD ，使它与BCD 关于点 D 中心对称；
若 m  AB  BC ，求 m 的取值范围．
19．（8 分）已知抛物线 y  ax2  bx  c 与 y 轴相交于点 A ， y 与 x 的部分对应值如表所示，写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点 A 的坐标．
x
1
0
1
2
3
y
0
■
4
3
0
20．（8 分）某校九（1）班学生成立了一个“关于新冠肺炎 45 个知识点”的防疫科普宣传小组，其中男生 2 人，女生 3 人，现从小组中选人进社区宣传．
若选 1 人，则恰好选中女生的概率是；
若选 2 人，求恰好选中一男一女的概率．
21．（8 分）如图，在ABC 中， AB  AC ， BC  6cm ．完成以下两个小题的解答：
用尺规作 BC 的中点 D ，并以 AD 为半径作 A（不写作法，保留作图痕迹），求证： A
与边 BC 相切；
若 A 恰好交于边 AB 的中点，求 A 的半径长．
22．（8 分）某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间定价 100 元时，房间会全部住满，
当每个房间定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲，若宾馆在某一个时间段把每个房间定价增加10x 元(x 为正整数且 x15) ．
当宾馆每天收入为 8000 元，求 x 的值．
如果宾馆每天收入要最大，请直接写出每个房间的定价．
23．（8 分）老师给小明出了一道题，小明感到有困难，请你帮助小明解决这个问题，题目是这样的：一个三角形两边长分别是 3 和 4，第三边长是 x2  8x  15  0 的一个实数根，请结合作图求这个三角形的外接圆面积．
24．（8 分）已知关于 x 的方程 x2  2bx  c  0 有两个相等的实数根．
若b  1 ，求 c 的值；
在ABC 中，已知点 A(0, c) ，点 B(b  1 , 1)(b  0) ，点C 在 x 轴上，且该方程的解是点
b c
C 的横坐标．
①过点C 作CD  x 轴，交边 AB 于点 D ，求证： CD 的长为定值；
②求ABC 面积的最小值．
25．（8 分）在边长为 10 的正方形 ABCD 中，以 AB 为直径作半圆，圆心为O ， E 是半圆上一动点，过点 E 作 EF  AB ，垂足为 F ，连接 DE ．
如图 1，若直线 DE 与圆O 相切，求线段 DE 的长；
求 DE 的最小值；
如图 2，若t  EA2  EB2  EC 2  ED2 ，求t 的最小值．
2022-2023 学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A． B．
C． D．
【解答】解： A 、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C 、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D 、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选： C ．
2．（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是()
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心C．班里的两名同学的生日是同一天
D．从一个只装有白球的袋中摸球，摸出黄球
【解答】解： A 、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意；
B 、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不符合题意；
C 、班里的两名同学的生日是同一天是随机事件，不符合题意；
D 、从一个只装有白球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，符合题意； 故选： D ．
3．（3 分）在平面直角坐标系中，点(5,1) 关于原点对称的点的坐标是()
A． (5, 1)
B． (5,1)C． (1, 5)
D． (5, 1)
【解答】解：点(5,1) 关于原点对称的点的坐标是(5, 1) ， 故选： A ．
4．（3 分）用配方法解方程 x2  2x  2 时，配方后正确的是()
A． (x 1)2  3
B． (x  1)2  6
C． (x 1)2  3
D． (x 1)2  6
【解答】解：两边同时加 1，得： x2  2x  1  3 ， 配方，得： (x 1)2  3 ．
故选： A ．
5．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2  4x  k  0 没有实数根，则 k 的取值范围是()
k  4
k  4
k  4
k  4
【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2  4x  k  0 没有实数根，
△  （4） 2 4  (k)  0 ，
解得： k  4 ． 故选： D ．
6．（3 分）如图， ABC 内接于O ， AD 是O 的直径，若B  20 ，则CAD 的度数是
()
A． 60B． 65C． 70D． 75
【解答】解：连接 BD ，
 AD 是O 的直径，
ABD  90 ，
ABC  20 ，
CBD  ABD  ABC  70 ，
CAD  CBD  70 ， 故选： C ．
7．（3 分）如图， P 为O 外一点， PT 与O 相切于点T ，OP  10 ，OPT  30 ，则 PT
的长为()
3
3
5
D．8
3
【解答】解：连接OT ，
 PT 与O 相切于点T ，
OT  PT ，
 PT  OP  csOPT  10 
故选： B ．
3  5．
3
2
8．（3 分）一个扇形的弧长是10，面积为60，则其半径为()
A．6B．36C．12D．144
【解答】解： S  1 lr ，弧长是10，面积为60，
2
 60 1 10 r ，
2
解得 r  12 ， 故选： C ．
9．（3 分）点 A(m  1, y ) ，B(m, y ) 都在抛物线 y  x2 上．若 y  y ，则 m 的取值范围为()
1212
m  4
m  4
m  1
2
m  1
2
【解答】解：点 A(m  1, y ) ， B(m, y ) 都在二次函数 y  x2 的图象上，
12
 y1
 (m 1)2 ，
2
y  m2 ，
 y1  y2 ，
(m 1)2  m2 ，
(m 1)2  m2  0 ，
即2m  1  0 ，
 m  1 ，
2
故选： D ．
10．（3 分）用 12 米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是()
A．方案 1B．方案 2C．方案 3D．方案 1 或方案 2
【解答】解：方案1 :
设垂直于墙面的一边长为 x ，则平行于墙面的边长为(12  2x) ， 则菜园面积 x(12  2x)  2x2  12x  2(x  3)2  18 ， (0  x  6)
当 x  3 时， y 有最大值，最大值为 18；
方案 2 :
设等腰三角形底边长为 d ，高为 h ，
ABC 为等腰三角形，
 AD  1 AB  d ， AC  BC  1 12  6 ，
222
d
2d 2
 AD2  CD2  AC 2 ，即( )2  h2  36 ，整理得： h  36 ，
24
 S  1 dh ，
2
 S 2
 1 d 2h2  1 d 2 (36  d ) ，
2
444
TT
2
令 d 2  T ，则 S 2  1 T (36 )   9T   1
(T  72)2
 324 ，
441616
当T  72 时， S 2 有最大值，最大值为 324，
6
当 d  2时， S 有最大值，最大值为 18，
方案3 :
设半圆半径为 r ，
半圆的弧长为 12 米，
r  12 ，解得： r  12 ，

()
 S  1 12 2 ，
2
18  72 ，

最佳方案是方案 3． 故选： C ．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）抛物线 y  3(x  2)2  2 的顶点坐标为 (2, 2) ．
【解答】解：抛物线 y  3(x  2)2  2 ，
抛物线 y  3(x  2)2  2 的顶点坐标为(2, 2) ． 故答案为： (2, 2) ．
12．（3 分）一个布袋里放有 1 个红球和 2 个白球，它们除颜色外其余都相同，从布袋中任
意摸出 1 个球，摸到白球的概率是2．
3
【解答】解：摸到白球的概率
2  2 ，
故答案为： 2 ．
3
1  23
13．（3 分）关于 x 的方程 x2  3x  m  0 有两根，其中一根为 x  1 ，则两根之积为 2．
【解答】解：设方程的另一个根为 a ，
方 x2  3x  m  0 有两根，其中一根为 x  1 ，
 a  1  3 ， m  a 解得： m  2 ， 即两根之积为 2． 故答案为：2．
14．（3 分）右表是某球员在罚球线上投篮的结果．则估计该球员投篮一次投中的概率约为
0.8（结果保留小数点后一位）
【解答】解：15  20  0.75 ，
33  40  0.825 ，
78  100  0.78 ，
158  200  0.79 ，
321  400  0.8025 ，
801 1000  0.801 ，
由此发现，随着投篮次数的增多，投中的频率在 0.8 附近摆动． 根据频率的稳定性，估计这名球员一次投中的概率为 0.8．
故答案为：0.8．
15．（3 分） O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8，若 P 为 AB 的中点，则OP  3．
【解答】解：连接 AO ， OP ，
 P 为 AB 的中点，
 OP  AB ， AP  1 AB  4 ，
2
O 的直径为 10，
 AO  5 ，
AO2  AP2
52  42
根据勾股定理可得： OP  3 ．
故答案为：3．
投篮次数
20
40
100
200
400
1000
投中次数
15
33
78
158
321
801
16．（3 分）一副三角板按图 1 放置，O 是边 BC(DF ) 的中点，BC  20cm ．如图 2，将 ABC
3
绕点O 顺时针旋转60 ， AC 与 EF 相交于点G ，则 FG 的长是(5 5)cm ．
【解答】解：如图所示， BC 交 EF 于点 N ，
由题意得， EGF  BAC  90 ， DEF  60 ， DFE  30 ， ABC  ACB  45 ，
BC  DF  20cm ，
根据点O 是边 BC(DF ) 的中点，可得： BO  OC  DO  FO  10cm
ABC 绕点O 顺时针旋转60 ， DFE  30 ，
BOD  NOF  60 ，
NOF  F  90 ，
FNO  180  NOF  F  90 ，
ONF 是直角三角形，
ON  1 OF  5cm ，
2
OF 2  ON 2
3
 FN  5， NC  OC  ON  5cm ，
FNO  90 ， ACB  45 ，
GNC  180  FNO  90 ，
CNG 是直角三角形，
NGC  180  GNC  ACB  45 ，
CNG 是等腰直角三角形，
 NG  NC  5cm ，
 FG  FN  NG  (5 3  5)cm ，
3
故答案为： (5
 5)cm ．
三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8 分）解方程： x2  7x  8  0 ．
【解答】解： x2  7x  8  0 ，
(x  1)(x  8)  0 ，
则 x  1  0 或 x  8  0 ， 解得 x1  1 ， x2  8 ．
18．（8 分）如图，已知ABC 中， BD 是中线，且 BD  4 ．
用尺规作EAD ，使它与BCD 关于点 D 中心对称；
若 m  AB  BC ，求 m 的取值范围．
【解答】解：（1）如图，延长 BD 到点 E ，使得 BD  DE ，连接 AE ，则EAD 即为所求．
（2）EAD  BCD ， BD  4 ，
 AE  BC ，
 m  AB  BC  AB  AE  BE  2BD  24  8 ．
19．（8 分）已知抛物线 y  ax2  bx  c 与 y 轴相交于点 A ， y 与 x 的部分对应值如表所示，写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点 A 的坐标．
【解答】解：由表可知：抛物线经过(1, 0) ， (3, 0) ，
该抛物线的对称轴为直线： x  1  3  1 ，
2
当 x  1 时， y  4 ，
该抛物线顶点坐标为(1, 4) ，
当 x  1 时， y 随 x 的增大而增大，当 x  1 时， y 随 x 的增大而减小，
抛物线开口向下，
该抛物线对称轴为直线 x  1 ，且经过(2,3) ，
当 x  0 时， y  3 ，即 A(0, 3) ，
综上：抛物线开口向下，对称轴为直线 x  1 ，顶点坐标(1, 4) ，点 A 坐标为(0, 3) ．
20．（8 分）某校九（1）班学生成立了一个“关于新冠肺炎 45 个知识点”的防疫科普宣传小组，其中男生 2 人，女生 3 人，现从小组中选人进社区宣传．
若选 1 人，则恰好选中女生的概率是3；
5
若选 2 人，求恰好选中一男一女的概率．
【解答】解（1）男生 2 人，女生 3 人，
x
1
0
1
2
3
y
0
■
4
3
0
选 1
人，则恰好选中女生的概率是 3 ．
5
3
故答案为： ．
5
（2）根据题意，画树状图如下：
共有 20 种等可能的结果，其中符合题意的有 12 种，
 P  12  3 ．
205
21．（8 分）如图，在ABC 中， AB  AC ， BC  6cm ．完成以下两个小题的解答：
用尺规作 BC 的中点 D ，并以 AD 为半径作 A（不写作法，保留作图痕迹），求证： A
与边 BC 相切；
若 A 恰好交于边 AB 的中点，求 A 的半径长．
【解答】（1）解：如图，点 D 和 A 即为所求； 证明： AB  AC ， D 为 BC 的中点，
 AD  BC ，
 AD 为 A 的半径，
 A 与边 BC 相切；
（2）解：设边 AB 的中点为点 E ，  A 的半径为 r cm ，
 AD  AE  BE  r
 BC  6cm ，
 BD  3cm ， 在RtABD 中，
cm ，
 AB2  BD2  AD2 ，
(r  r)2  32  r2 ，
3
解得： r （负值舍去），即 A 的半径为 3cm ．
22．（8 分）某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间定价 100 元时，房间会全部住满，
当每个房间定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲，若宾馆在某一个时间段把每个房间定价增加10x 元(x 为正整数且 x15) ．
当宾馆每天收入为 8000 元，求 x 的值．
如果宾馆每天收入要最大，请直接写出每个房间的定价．
【解答】解：（1）由题意可得，
宾馆每个房间定价增加10x 元后， 这天游客租住了 (50  x) 间房， 每间房间的利润是
(100  10x) 元，
由题意可得， (100  10 x)(50  x)  8000 ， 解得 x1  10 ， x2  30 ，
 x 为正整数且 x15 ，
 x  10 ，
答：宾馆每天的收入为 8000 元时， x  10 ；
（2）设利润为W 元，
由题意可得W  (100  10x)(50  x)  10(x  20)2  9000 ，
该函数图象开口向下，对称轴为 x  20 ，
 x 为正整数且 x15 ，
 x  15 时取得最大值，此时W  8750 ，100  10x  100  10 15  250 ， 答：房价定为 250 元时，宾馆每天的利润最大．
23．（8 分）老师给小明出了一道题，小明感到有困难，请你帮助小明解决这个问题，题目是这样的：一个三角形两边长分别是 3 和 4，第三边长是 x2  8x  15  0 的一个实数根，请结合作图求这个三角形的外接圆面积．
【解答】解： x2  8x  15  0 ， 解得： x1  3 ， x2  5 ，
当第三边长是 3 时，三角形三边长为 3，3，4，
如图， AB  AC  3 ， BC  4 ，点O 为ABC 的外接圆，连接OA ，OB ，OA 交 BC 于点 D ，
点O 为ABC 的外接圆， AB  AC  3 ，
OD 垂直平分 BC ，
 BD  1 BC  2 ，
2
AB2  BD2
5
 AD ， 设OA  OB  r ，
 OB2  BD2  OD2 ，
 r 2  (r  5)2  22 ，
解得： r  9 5 ，
10
这个三角形的外接圆面积为 (9 5 )2  81；
1020
当第三边长是 5 时，三角形三边长为 3，4，5，
如图， AB  3 ， AC  4 ， BC  5 ，点O 为ABC 的外接圆，连接OA ，
 AB  3 ， AC  4 ， BC  5 ，，
 AB2  AC 2  BC 2 ，
BAC  90 ，
点O 为ABC 的外接圆，
 BC 为圆O 的直径，
OA  1 BC  5 ，
22
这个三角形的外接圆面积为 ( 5)2  25；
24
综上所述，这个三角形的外接圆面积为 81或 25．
204
24．（8 分）已知关于 x 的方程 x2  2bx  c  0 有两个相等的实数根．
若b  1 ，求 c 的值；
在ABC 中，已知点 A(0, c) ，点 B(b  1 , 1)(b  0) ，点C 在 x 轴上，且该方程的解是点
b c
C 的横坐标．
①过点C 作CD  x 轴，交边 AB 于点 D ，求证： CD 的长为定值；
②求ABC 面积的最小值．
【解答】解：（1）关于 x 的方程 x2  2bx  c  0 有两个相等的实数根，
△  (2b)2  4c  0 ，
b2  c ，，
当b  1 时， c  b2  1 ；
（2）①关于 x 的方程 x2  2bx  c  0 有两个相等的实数根，
 x   b
2a
  2b  b ，
2
点C(b, 0) ，
点 B(b  1 ， 1)(b  0) ，
bc
b  1  b ，
b
点C 在点 B 的左侧，
b2  c ， A(0, c) ，
 A(0,b2 ) ，点 B(b  1 ， 1 )(b  0) ，
bb2
设直线 AB 的解析式为 y  kx  b2 ，
 1  k (b  1)  b2 ，
b2b
解得 k  1  b ，
b
直线 AB 的解析式为 y  (1  b)x  b2 ，
b
当 x  b 时， y  (1  b)  b  b2  1 ，
b
 D(b,1) ，
 CD  1  0  1 ，是定值．
② b  0 ， 1  0 ，
b
b
(
1 )20 即b  1 2 ，
b
b
 S 1  CD | B | 1 1 (b  1 )1 ，
ABC2x2b
ABC 面积的最小值为 1．
25．（8 分）在边长为 10 的正方形 ABCD 中，以 AB 为直径作半圆，圆心为O ， E 是半圆上一动点，过点 E 作 EF  AB ，垂足为 F ，连接 DE ．
如图 1，若直线 DE 与圆O 相切，求线段 DE 的长；
求 DE 的最小值；
如图 2，若t  EA2  EB2  EC 2  ED2 ，求t 的最小值．
【解答】解：（1）连接OE ， OD ，
边长为 10 的正方形 ABCD ，直线 DE 与O 相切， E 为切点，
 AD  10 ， OAD  OED  90 ， OA  OE ， 在OED 和OAD 中，
OA  OE
OD  OD ，

RtOED  RtOAD(HL) ，
OE  AD  10 ．
如图 1，连接OD ，
设OD 与半圆于点 M ，当点 E 与点 M 重合时， DE 最短，
边长为 10 的正方形 ABCD ，
 AD  10 ， OAD  90 ， OA  OE  OM  5 ，
AD2  OA2
102  52
5
OD  5，
5
 DE  OD  OE  5 5 ．
 AB 为直径，
 AB  10 ， AEB  90 ，
 EA2  EB2  100 是定值，
故t 的最小值，有 EC 2  ED2 的最小值确定，
点 E 在半圆弧上，
在正方形 ABCD 中， EDC 只能是锐角三角形或者直角三角形，不可能是钝角三角形，
 EC 2  ED2CD2  100 ，
当且当 E 位于正方形对角线交点处时（此时EDC 是直角三角形），取等号．
 EC 2  ED2  100 ，
t  EA2  EB2  EC 2  ED2  200 ， 故t 的最小值为 200．