2022-2023学年广东省广州市天河中学九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市天河中学九年级（上）期末数学试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()
A． B．
C． D．
2．（3 分）若两个相似三角形的面积之比为 4 : 9 ，则它们对应角的平分线之比为()
2
3
3
2
6 3
6 2
3．（3 分）下列事件是随机事件的是()
打开电视机，正在播足球比赛
当室外温度低于0 C 时，一碗清水在室外会结冰
在只装有五个红球的袋中摸出一球是红球D．在只装有 2 只黑球的袋中摸出 1 球是白球
4．（3 分）下列各点中，在函数 y   6 图象上的是()
x
A． (2, 4)
B． (2,3)C． (1, 6)
D． ( 1 ， 3) 2
5．（3 分）用配方法解一元二次方程 x2  8x  9 时，原方程可变形为()
A． (x  8)2  25
B． (x  8)2  17
C． (x  4)2  25
D． (x  4)2  17
2
6．（3 分）如图是用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为 1，高为 2
，则这个圆锥
的侧面积是()
A． 4B． 3C．D． 2
7．（3 分）关于函数 y  3(x  1)2  2 ，下列描述错误的是()
开口向下
对称轴是直线 x  1
函数最大值是2
当 x  1 时， y 随 x 的增大而增大
8．（3 分）下列各组线段中，成比例的是()
A．1cm ， 2cm ， 3cm ， 4cmB． 2cm ， 3cm ， 4cm ， 5cm
C．1cm ， 2cm ， 3cm ， 5cmD．1cm ， 2cm ， 5cm ，10cm
9．（3 分）如图， AB 是O 的直径， BC  CD  DE ， COD  38 ，则AEO
的度数是()
A． 52B． 57C． 66D． 78
10．（3 分）如图，矩形 ABCD 中， AB  5 ， AD  12 ，将矩形 ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点 B 在两次旋转过程中经过的路径的长是()
2
A． 25B．13C． 25D． 25 2
二、填空题：（每题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）点 P(2, 3) 关于原点的对称点 P 的坐标为 ．
12．（3 分）已知 x ， x 是一元二次方程 x2  5x  6  0 的两个根，则 x  x  ．
1212
13．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2  ax  6  0 的一个根是 2，则 a 的值为 ．
14．（3 分）抛物线 y  2x2 向下平移 1 个单位，再向右平移 3 个单位后的解析式是 ．
15．（3 分）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了 150 次，其中有 50 次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球 10 个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有 个白球．
16．（3 分）如图， AB 是O 的直径，点C 是半圆上的一个三等分点，点 D 是 AC 的中点，点 P 是直径 AB 上一点，若O 的半径为 2，则 PC  PD 的最小值是．
三、解答题：（共 72 分）
17．（4 分）解方程： (2x 1)2  3(2x 1) ．
18．（4 分）如图是反比例函数 y  1  k 的图象的一支，根据图象回答问题：
x
图象的另一支位于哪个象限？常数 k 的取值范围是什么？
若点 M (x ，y ) ，N (x ，y ) 均在反比例函数 y  1  k 的图象上，若0  x
 x ，比较 y ，
1112
y2 的大小关系．
x121
19．（6 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，BF  1 ，E 为 AB 的中点．求证：AED∽BFE ．
20．（6 分）在平面直角坐标系内，ABO 的三个顶点坐标分别为 A(1, 3) ，B(4, 3) ，O(0, 0) ．
画出ABO 绕点O 逆时针旋转90 后得到△ A1B1O1 ，写出点 A1 的坐标；
在（1）的条件下，求点 A 旋转到点 A1 ，线段OA 所扫过的面积．
自选项目
立定跳远
三级蛙跳
跳绳
实心球
铅球
人数/ 人
9
13
8
b
4
频率
a
0.26
0.16
0.32
0.08
21．（8 分）某校对九年级学生参加体育“五选一”自选项目测试进行抽样调查，调查学生所报自选项目的情况统计如下：
（1） a ， b ．
该校有九年级学生 350 人，请估计这些学生中选“跳绳”的约有多少人？
在调查中选报“铅球”的 4 名学生，其中有 3 名男生，1 名女生．为了了解学生的训
练效果，从这 4 名学生中随机抽取两名学生进行“铅球”选项测试，请用列举法求所抽取的
两名学生中恰好有 1 名男生和 1 名女生的概率．
22．（10 分）如图，已知抛物线 y1  x  mx 与 x 轴交于点 A(2, 0) ．
2
求 m 的值和顶点 M 的坐标；
求直线 AM 的解析式 y2 ；
根据图象，直接写出当 y1  y2 时 x 的取值范围．
23．（10 分）某农场今年第一季度的产值为 50 万元，第二季度由于改进了生产方法，产值提高了 20% ；但在今年第三、第四季度时该农场因管理不善．导致其第四季度的产值与第
二季度的产值相比下降了 11.4 万元．
求该农场在第二季度的产值；
求该农场在第三、第四季度产值的平均下降的百分率．
24．（12 分）在平面直角坐标系中，二次函数 y  ax2  bx  4(a  0) 的图象与 x 轴交于点
A(2, 0) 和 B(4, 0) ，与 y 轴交于点C ，直线 BC 与对称轴交于点 D ．
求二次函数的解析式；
若抛物线 y  ax2  bx  4(a  0) 的对称轴上有一点 M ，以O 、C 、D 、M 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M 的坐标．
25．（12 分）如图， AB 为O 直径， C ， D 为O 上的两点，且ACD  2A ， CE  DB
交 DB 的延长线于点 E ．
求证： CE 是O 的切线；
若 DE  2CE ， AC  4 ，求O 的半径．
2022-2023 学年广东省广州市天河中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）
1．（3 分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()
A． B．
C． D．
【解答】解： A ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选： D ．
2．（3 分）若两个相似三角形的面积之比为 4 : 9 ，则它们对应角的平分线之比为( )
2
3
3
2
6 3
6 2
【解答】解：两个相似三角形的面积之比为 4 : 9 ，
两个相似三角形的相似比为 2 : 3 ，
它们对应角的平分线之比为 2 : 3 ， 故选： A ．
3．（3 分）下列事件是随机事件的是()
打开电视机，正在播足球比赛
当室外温度低于0 C 时，一碗清水在室外会结冰
在只装有五个红球的袋中摸出一球是红球D．在只装有 2 只黑球的袋中摸出 1 球是白球
【解答】解： A 、打开电视机，正在播足球比赛是随机事件，故本选项正确；
B 、当室外温度低于0 C 时，一碗清水在室外会结冰是必然事件，故本选项错误；
C 、在只装有五个红球的袋中摸出一球是红球是必然事件，故本选项错误； D 、在只装有 2 只黑球的袋中摸出 1 球是白球是不可能事件，故本选项错误． 故选： A ．
4．（3 分）下列各点中，在函数 y   6 图象上的是()
x
A． (2, 4)
B． (2,3)C． (1, 6)
D． ( 1 ， 3) 2
【解答】解： A 、(2)  (4)  8  6 ，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B 、 2  3  6  6 ，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C 、(1)  6  6 ，此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D 、( 1 )  3   3  6 ，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
22
故选： C ．
5．（3 分）用配方法解一元二次方程 x2  8x  9 时，原方程可变形为()
A． (x  8)2  25
B． (x  8)2  17
C． (x  4)2  25
D． (x  4)2  17
【解答】解： x2  8x  9 ， 则 x2  8x  16  9  16 ，
(x  4)2  25 ， 故选： C ．
2
6．（3 分）如图是用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为 1，高为 2
，则这个圆锥
的侧面积是()
A． 4B． 3C．D． 2
(2 2)2  12
【解答】解：锥的母线长 3 ，
所以这个圆锥的侧面积 1  21 3  3．
2
故选： B ．
7．（3 分）关于函数 y  3(x  1)2  2 ，下列描述错误的是()
开口向下
对称轴是直线 x  1
函数最大值是2
当 x  1 时， y 随 x 的增大而增大
【解答】解：抛物线 y  3(x  1)2  2 ，
该抛物线开口向下，故选项 A 不符合题意； 对称轴是直线 x  1 ，故选项 B 不符合题意；
当 x  1 时，该函数取得最大值2 ，故选项C 不符合题意； 当 x  1 时， y 随 x 的增大而减小，故选项 D 符合题意；
故选： D ．
8．（3 分）下列各组线段中，成比例的是()
A．1cm ， 2cm ， 3cm ， 4cmB． 2cm ， 3cm ， 4cm ， 5cm
C．1cm ， 2cm ， 3cm ， 5cmD．1cm ， 2cm ， 5cm ，10cm
【解答】解： A 、由于1 4  2  3 ，所以不成比例，不符合题意；
B 、由于2  5  3  4 ，所以不成比例，不符合题意； C 、由于1 5  2  3 ，所以不成比例，不符合题意； D 、由于110  2  5 ，所以成比例，符合题意．
故选： D ．
9．（3 分）如图， AB 是O 的直径， BC  CD  DE ， COD  38 ，则AEO
的度数是()
A． 52B． 57C． 66D． 78
【解答】解： BC  CD  DE ， COD  38 ，
BOC  EOD  COD  38 ，
AOE  180  EOD  COD  BOC  66 ．
又OA  OE ，
AEO  OAE ，
AEO  1  (180  66)  57 ．
2
故选： B ．
10．（3 分）如图，矩形 ABCD 中， AB  5 ， AD  12 ，将矩形 ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点 B 在两次旋转过程中经过的路径的长是()
2
A． 25B．13C． 25D． 25 2
【解答】解：连接 BD ， BD ，
 AB  5 ， AD  12 ，
52  122
 BD  13 ，
 BB  90 13  13 ，
1802
 BB  90 12  6，
180
点 B 在两次旋转过程中经过的路径的长是： 13  6 25 ．
22
故选： A ．
二、填空题：（每题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）点 P(2, 3) 关于原点的对称点 P 的坐标为 (2, 3) ．
【解答】解：因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， 所以：点(2, 3) 关于原点的对称点的坐标为(2, 3) ．
故答案为： (2, 3) ．
12．（3 分）已知 x ， x 是一元二次方程 x2  5x  6  0 的两个根，则 x  x  6 ．
1212
【解答】解： x 、 x 是一元二次方程 x2  5x  6  0 的两根，
12
 x1 x2  6 ．
故答案为： 6 ．
13．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2  ax  6  0 的一个根是 2，则 a 的值为 5．
【解答】解：把 x  2 代入可得 22  2a  6  0 ， 解得 a  5 ．
故答案为：5．
14 ．（ 3 分） 抛物线 y  2x2 向下平移 1 个单位， 再向右平移 3 个单位后的解析式是
y  2(x  3)2 1 ．
【解答】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为(3, 1) ，
平移后抛物线解析式为 y  2(x  3)2 1． 故答案为： y  2(x  3)2 1．
15．（3 分）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共
摸了 150 次，其中有 50 次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球 10 个和白球若干个，这些球除颜
色外，其他都一样，由此估计口袋中有 20个白球．
【解答】解：摸了 150 次，其中有 50 次摸到黑球，则摸到黑球的频率是 50
 1 ，
设口袋中大约有 x 个白球，则 10 1 ，

1503
x  103
解得 x  20 ．
故答案为：20．
16．（3 分）如图， AB 是O 的直径，点C 是半圆上的一个三等分点，点 D 是 AC 的中点，
2
点 P 是直径 AB 上一点，若O 的半径为 2，则 PC  PD 的最小值是2．
【解答】解：作 D 关于 AB 的对称点 E ，连接CE 交 AB 于点 P ，连接OC ， OE ，
则根据垂径定理得： E 在O 上，连接 EC 交 AB 于 P ，则若 P 在 P 时， DP  CP 最小，
 C 是半圆上的一个三等分点，
AOC  1 180  60 ，
3
 D 是 AC 的中点，
AOE  1 AOC  30 ，
2
COE  90 ，
2
CE  2OC  2，
2
即 DP  CP  2，
2
故答案为 2．
三、解答题：（共 72 分）
17．（4 分）解方程： (2x 1)2  3(2x 1) ．
【解答】解：移项得： (2x 1)2  3(2x 1)  0 ，
(2x 1)(2x  4)  0 ，
即 2x  1  0 ， 2x  4  0 ， 解得： x  1 ， x  2 ．
122
18．（4 分）如图是反比例函数 y  1  k 的图象的一支，根据图象回答问题：
x
图象的另一支位于哪个象限？常数 k 的取值范围是什么？
若点 M (x ，y ) ，N (x ，y ) 均在反比例函数 y  1  k 的图象上，若0  x
 x ，比较 y ，
1112
y2 的大小关系．
x121
【解答】解：（1）反比例函数的一个分支位于第二象限，
另一个分支应该位于第四象限，
1  k  0 ， 解得： k  1；
（2）在每一个象限内， y 随 x 的增大而增大， 0  x1  x2 ，
 y1  y2 ．
19．（6 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，BF  1 ，E 为 AB 的中点．求证：AED∽BFE ．
【解答】证明：四边形 ABCD 是正方形，
 AB  BC  AD  4 ， A  B  90 ，
 E 为 AB 的中点，
 AE  BE  2 ，
 AD  AE  2 ，
BEBF
又A  B  90 ，
AED∽BFE ．
20．（6 分）在平面直角坐标系内，ABO 的三个顶点坐标分别为 A(1, 3) ，B(4, 3) ，O(0, 0) ．
画出ABO 绕点O 逆时针旋转90 后得到△ A1B1O1 ，写出点 A1 的坐标；
在（1）的条件下，求点 A 旋转到点 A1 ，线段OA 所扫过的面积．
【解答】解：（1）如图，△ A1B1O1 即为所求．点 A1 的坐标(3, 1) ；
12  32
10
（2）OA ．
90 ( 10)2
5
线段OA 所扫过的面积．
3602
自选项目
立定跳远
三级蛙跳
跳绳
实心球
铅球
人数/ 人
9
13
8
b
4
频率
a
0.26
0.16
0.32
0.08
21．（8 分）某校对九年级学生参加体育“五选一”自选项目测试进行抽样调查，调查学生所报自选项目的情况统计如下：
（1） a  0.18， b ．
该校有九年级学生 350 人，请估计这些学生中选“跳绳”的约有多少人？
在调查中选报“铅球”的 4 名学生，其中有 3 名男生，1 名女生．为了了解学生的训
练效果，从这 4 名学生中随机抽取两名学生进行“铅球”选项测试，请用列举法求所抽取的
两名学生中恰好有 1 名男生和 1 名女生的概率．
【解答】解：（1）根据题意得： a  1  (0.26  0.16  0.32  0.08)  0.18 ；
样本容量为13  0.26  50 ，
b  50  32%  16 ； 故答案为：0.18，16；
（2） 350  0.16  56 （人) ，
答：估计这些学生中选“跳绳”的约有 56 人；
（3）男生编号为 A 、 B 、C 女生编号为 D ，
由列举法可得： AB 、 AC 、 AD 、 BC 、 BD 、CD 共 6 种，其中 AD 、 BD 、CD 恰好有 1
名男生和 1 名女生，符合题意，
抽取的两名学生中恰好有 1 名男生和 1 名女生的概率为： 3  1 ．
62
22．（10 分）如图，已知抛物线 y1  x  mx 与 x 轴交于点 A(2, 0) ．
2
求 m 的值和顶点 M 的坐标；
求直线 AM 的解析式 y2 ；
根据图象，直接写出当 y1  y2 时 x 的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线 y1  x  mx 与 x 轴交于点 A(2, 0) ，
2
 0  4  2m ， 解得： m  2 ，
抛物线解析式为 y1  x  2x  (x 1) 1 ，
22
 m  2 ， M (1, 1) ；
设直线 AM 的解析式 y2  kx  b(k  0) ，
 y2  kx  b 过点 A(2, 0) 和点 M (1, 1) ，
1  k  b
 0  2k  b ，

b  2
解得： k  1 ，

直线 AM 的解析式 y2  x  2 ；
由图象可知，
当 y1  y2 时， x  2 或 x  1 ．
23．（10 分）某农场今年第一季度的产值为 50 万元，第二季度由于改进了生产方法，产值提高了 20% ；但在今年第三、第四季度时该农场因管理不善．导致其第四季度的产值与第
二季度的产值相比下降了 11.4 万元．
求该农场在第二季度的产值；
求该农场在第三、第四季度产值的平均下降的百分率．
【解答】（1）解：设该农场在第二季度的产值为 m 万元， 根据题意得 m  50  (1  20%)  60 （万元）
（2）解：设该农场在第三、第四季度产值的平均下降百分率为 x ， 根据题意得：该农场第四季度的产值为60  11.4  48.6 万元
列方程，得： 60(1  x)2  48.6
即(1  x)2  0.811  x  0.9
解得： x1  0.1x2  1.9 （不符题意，舍去）
答：该农场在第三、第四季度产值的平均下降百分率为10%
24．（12 分）在平面直角坐标系中，二次函数 y  ax2  bx  4(a  0) 的图象与 x 轴交于点
A(2, 0) 和 B(4, 0) ，与 y 轴交于点C ，直线 BC 与对称轴交于点 D ．
求二次函数的解析式；
若抛物线 y  ax2  bx  4(a  0) 的对称轴上有一点 M ，以O 、C 、D 、M 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M 的坐标．
【解答】解：（1）将点 A(2, 0) 和点 B(4, 0) 代入抛物线解析式 y  ax2  bx  4(a  0) ，
4a  2b  4  0
a   1
则
16a  4b  4  0
，解得： 2 ，
b  1

抛物线解析式为 y   1 x2  x  4 ；
2
（2）由（1）知抛物线解析式为 y   1 x2  x  4   1 (x  1)2  9 ，
222
抛物线的对称轴为：直线 x  1 ， 令 x  0 ，则 y  0 ，
C(0, 4) ，
直线 BC 的解析式为： y  x  4 ， OC  4 ，
 D(1, 3) ．
点 M 在对称轴上，
 DM / /OC ，
若以O 、C 、 D 、 M 四点为顶点的四边形是平行四边形，则OC  DM ，
| 3  yM | 4 ，
解得 yM  1 或 7．
点 M 的坐标为(1, 1) 或(1, 7) ．
25．（12 分）如图， AB 为O 直径， C ， D 为O 上的两点，且ACD  2A ， CE  DB
交 DB 的延长线于点 E ．
求证： CE 是O 的切线；
若 DE  2CE ， AC  4 ，求O 的半径．
【解答】（1）证明：连接OC ，
 CE  DE ，
E  90 ，
 OA  OC ，
A  ACO ，
ACD  2A ，
ACD  2ACO ，
ACO  DCO ，
A  DCO ，
A  D ，
D  DCO ，
OC / / DE ，
E  OCE  180 ，
OCE  90 ，
 OC 是O 的半径，
直线CE 与O 相切；
（2）解：连接 BC ，
 AB 是O 的直径，
ACB  90 ，
ACO  OCB  90 ，
OCB  BCE  OCE  90 ，
ACO  BCE ，
D  A  ACO ，
D  BCE ，
又BEC  CED  90 ，
BCE∽CDE ，
 CE  DE  2 ，
BECE
 BC 
5 CE ，
2
OC  OB ，
OCB  OBC ，
 OC / / ED ，
OCB  CBE ，
CBE  OBC ，
E  ACB  90 ，
BEC∽BCA ，
 CE  AC ，
BCAB
CE
5 CE
 AC  2 5 ，
AB5
2
 AC  4 ，
5
 AB  2，
5
OA ，
5
即O 的半径为．