广西北海市合浦县2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第七章、选择性必修第一册第一章至第三章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将抛物线化为标准形式，根据焦点坐标公式即可解出．
【详解】得到，则焦点坐标为．
故选：D.
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的性质即可求解.
【详解】由，得，，
所以渐近线方程为，即
故选：C
3. 已知直线与.若，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线平行列方程，从而求得的值.
【详解】由于，所以，
此时两直线方程分别，
不重合，符合题意，所以
故选：B
4. 已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】根据概念得到，即可得到结果.
【详解】由题意易得，则，
因为椭圆的离心率为，所以，
则，
故的标准方程为，
故选：A．
5. 一束光线从点射出，经轴反射后经过点，则该束光线从点到点路径长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出关于轴的对称点,再根据两点间距离公式计算即可.
【详解】点关于轴对称的点为，
则该光线从点到点的路径长为．
故选：B.
6. 阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，，为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若，则椭圆C的焦距为( ).
A. 3B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先通过，确定a的值，再通过椭圆的面积公式求出b，最后求出c，即可得到椭圆的焦距.
【详解】根据题意可得，则，
因为，所以a=2，则，
所以椭圆C的焦距为：
故选：D.
7. 已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线的定义可求的最小值.
【详解】
由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部，
过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D，
则有，
当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立，
所以的最小值为
故选：C.
8. 金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（ ）
A. A与C是对立事件B. C与D相互独立
C. A与D相互独立D. B与D不互斥
【答案】C
【解析】
【分析】列举出甲、乙两名同学选择两个项目参加的所有情况，计算每个事件的概率，可得选项A错误；由相互独立的定义可知选项B错误，选项C正确；由互斥事件的概念可知选项D错误.
【详解】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有：
（1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213），
（1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314），
（2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224），
（1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36种，
其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，D有9种情况，则，，，.
由可得A与C不是对立事件，选项A错误.
，C与D不相互独立，选项B错误.
，A与D相互独立，选项C正确.
由B与D不可能同时发生可知B与D互斥，选项D错误.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的方程可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线结合双曲线性质得出A，C选项错误；将直线与双曲线两个方程联立，得到的一元二次方程有一正一负根，即可得解．
【详解】双曲线的焦点在轴上，且渐近线方程为，则直线与双曲线的左支只有一个交点，A错误；
因为，所以直线与双曲线无交点，C选项错误；
联立，消y得，
，所以方程有两个根，
，所以方程有一正一负根，
联立，消y得，
，所以方程有两个根，
，所以方程有一正一负根，
直线，均与双曲线的左、右两支各有一个交点，B,D选项正确.
故选：BD.
10. 已知圆的半径为2，则下列命题是真命题的是（ ）
A.
B. 点在圆的外部
C. 若直线平分圆的周长，则
D. 圆与圆外切
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据圆的半径、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】圆的半径为2，所以，A选项正确.
所以圆的方程为，圆心为，半径为，
，所以点在圆的外部，B选项正确.
直线平分圆的周长，则直线过圆心，
即，所以C选项错误.
圆的圆心为，半径为，
与的距离为，
所以圆与圆外切，D选项正确.
故选：ABD
11. 在空间直角坐标系中，已知，则（ ）
A. 为质数
B. 为直角三角形
C. 与所成角的正弦值为
D. 几何体的体积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于ABC：根据空间向量的坐标运算分析求解即可；对于D：分析可知几何体为三棱台，且与该三棱台的底面垂直，结合台体的体积公式运算求解.
【详解】对于选项A：因为，
所以不是质数，A错误；
对于选项B：因为，则，
所以为直角三角形，B正确；
对于选项C：因为，
所以与所成角的正弦值为，C正确；
对于选项D：根据已知6个点的空间直角坐标可得几何体为三棱台，
且与该三棱台的底面垂直，，
所以几何体的体积为，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 直线与直线之间的距离为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】由于与直线平行，故距离为，
故答案为：
13. 甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是，，和，，，则甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为__________.
【答案】##0.375
【解析】
【分析】根据相互独立事件概率加法计算公式即可求得.
【详解】由题意知甲，乙两人选择景点游玩相互独立，
所以甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为
故答案为：
14. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】联立的方程与渐近线方程，可得坐标，根据两点斜率公式结合平行求解的斜率，即可化简得，进而可求解离心率.
【详解】由题意可得F1−c,0，，
由于为平行四边形，故,
直线的方程为，渐近线方程，
联立，
故,
所以，
因此，化简得，
故离心率为，
故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，平面，平面，四边形为正方形，E，F位于平面的两侧．
（1）若，试用，，表示；
（2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图形，用，，表示出即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，直线的方向向量与法向量所成角的余弦值即为直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
连接，由题意得，
又，
所以；
【小问2详解】
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0，，，，
所以，，．
设平面的法向量为m=x,y,z，
则
令，得，
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成交的正弦值为.
16. 已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等．
（1）求直线的倾斜角；
（2）若直线过点，求直线的方程；
（3）若直线与直线垂直，且直线被圆截得的弦长为2，求直线在轴上的截距．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意设出直线的截距式，即可求出斜率以及倾斜角；
（2）将点的坐标代入到直线方程中即可；
（3）根据弦长得到圆心到直线的距离，即可求出结果.
【小问1详解】
设直线，即，
则直线的斜率为，根据，
可求得倾斜角为；
【小问2详解】
将点的坐标代入，可得，
所以直线的方程为；
【小问3详解】
因为直线与直线垂直，所以可设，
因为点到直线的距离，
所以，
解得，
则直线在轴上的截距为.
17. 已知在中，，，．
（1）求的外接圆的标准方程；
（2）过点作的外接圆的切线，求该切线方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将三顶点代入圆的标准方程，解出即可；
（2）由两直线垂直得到斜率关系，再由点斜式得到直线方程即可；
【小问1详解】
设的外接圆的标准方程为，
则
解得
故的外接圆的标准方程为．
【小问2详解】
由（1）得外接圆的圆心为，半径为5．
因为，所以切线的斜率为，
故所求切线方程为，即．
18. 动点Mx,y与定点的距离和到定直线的距离的比为.记点的轨迹为.
（1）求的方程.
（2）已知直线.
①若直线与相交.求的取值范围；
②当直线与相交时，证明：直线被截得的线段的中点在同一条直线上.
【答案】（1）
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）用坐标表示几何条件化简可得点轨迹方程；
（2）①联立直线方程与椭圆方程，消去可求的取值范围；
②法一，由①可得，进而求得中点坐标，消去参数可得直线被截得的线段的中点所在直线方程.
法二，设直线与交于，两点.设Ax1,y1，Bx2,y2，利用点差法可得结论.
【小问1详解】
根据题意可得，
化简得，
即的方程为.
【小问2详解】
①解：由，得.
由，
解得，所以的取值范围为.
②证明：（方法一）由①中，得.
设直线被截得的线段的中点坐标为，
则，.
由，消去可得，
所以直线被截得的线段的中点在直线上.
（方法二）设直线与交于，两点.
设Ax1,y1，Bx2,y2，线段的中点坐标为，
则直线的斜率为，，.
因为点，在上，所以，
两式相减得，
化简得，
即，
所以直线被截得的线段的中点在直线上.
19. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，渐近线方程为，，直线与的左、右支分别交于点，（异于点，）.
（1）求的方程；
（2）若直线与直线的斜率之积为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可以得到，解此方程组即可求出结果；
（2）联立直线和双曲线的方程，消去得到，根据题意知，利用韦达定理写出，，根据直线方程求出，，写出直线，的斜率分别为，，并计算的值，化简即可求解.
【小问1详解】
因为AB=4，渐近线方程为，
所以，解得，，
所以双曲线的方程为．
【小问2详解】
设点,，,，根据题意知，
由，得，
则，
，，
而；
由于，
；
，，
，
化简可得，解得，或，
当时，，不符合题意，舍去，
故